异面直线距离求解方法

1、浅议异面直线距离求解方法638404 四川省武胜中心中学校 段 方 建求异面直线的距离问题，是立体几何中的一个重、难点。在现行教材中占有十分重要的地位，但学生在学习中遇到此类问题时，常感到困难，无所适从。本文就人教版高中数学第二册（下B）的习题9.8第4题求解方法的分析、探讨。归纳了几种求异面直线的距离问题的常用方法，仅供参考。题目：已知正方体的棱长为1，求直线与的距离。利用定义求异面直线的距离利用定义求异面直线的距离，首先应作出异面直线的公垂线段，或转化为线面、面面距离求解，则要求作出线面、面面距，并证明。然后再将其放置于平面几何图形中利用相关策略求解，解答的关键是要找到所求的“线段”，按“

2、作”、“证”、“求”的步骤求解。 解：如图，连结，则面，连结分别与交于连，过作于 又 面 因此即为直线与的距离.在中，可求得利用向量方法求异面直线的距离利用向量方法求异面直线的距离，首先要针对题目要求建立恰当的空间直角坐标系，然后求出两条异面直线的公共法向量，再计算两条异面直线上各取一点连结的线段在公共法向量上的射影长，即应用求两条异面直线间的距离.解：如右图所示，建立空间直角坐标系.可知：设且即又，故异面直线与的距离是.利用等体积法求异面直线的距离利用等体积法求异面直线的距离，就是说将距离看成几何体体积表示的一个要素，一般是指可以将其看成高线的时候，可以把几何体的体积通过换底换高，用不同的方

3、式表示，进而建立方程的办法求解，其基本思想就是利用体积不变性。解：因为直线平面，且平面，所以直线与平面之间的距离即为与的距离.设到平面的距离为，连结.由 得：.故异面直线与的距离是. 四、利用异面直线间距离公式求异面直线的距离利用异面直线间距离公式求异面直线的距离，关键就是要找准公式中所涉及的相关量，并准确运用列方程求解. 解：设是异面直线与的公垂线段，长为设，易知：直线与所成的角为，又=1， 由异面直线间距离公式得：解之得：. 所以异面直线与的距离是. 五、利用函数求异面直线间的距离利用函数求异面直线间的距离，就是在两条异面直线上任取两点连结的线段中，最短的线段就是异面直线间的距离，为此可将

4、两条异面直线上任取两点连结的线段，通过设置变量，表示成函数，通过对函数最小值的探究，解决问题，但这种方法有一定的难度。 解：设是上任意一点，作于 作于由三垂线逆定理可知： 设.在Rt中，当时，取得最小值.即异面直线与的距离是.通过上述求解分析我们可以看出，异面直线距离问题的求解，终归还是在于对数学知识的把握，以及在立体几何中化归、转化思想的运用。在解题过程中要注意挖掘题中、图中的隐含条件，多层次审题、多角度识图，在注意向量的工具性的同时要积极提升逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和语言表达能力。“函数的单调性”课例一.教材分析1地位及重要性函数的单调性一节属高中数学第一册(上)的必修内容，在

5、高考的重要考查范围之内。函数的单调性是函数的一个重要性质，也是在研究函数时经常要注意的一个性质，并且在比较几个数的大小、对函数的定性分析以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用。通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握函数单调性的概念和证明函数单调性的步骤，又可加深对函数的本质认识。也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。2教学目标(1)了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念；(2)了解能用图形语言正确表述具有单调性的函数的图象特征；(3)明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤；并能用定义证明某些简单函数的单调性；(4)培养学生

6、严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看问题。3教学重难点重点是对函数单调性的有关概念的本质理解。难点是利用函数单调性的概念证明或判断具体函数的单调性。二.教法解析根据本节课的内容及学生的实际水平，我尝试运用“问题解决”与“多媒体辅助教学”的模式。力图通过提出问题、思考问题、解决问题的过程，让学生主动参与以达到对知识的“发现”与接受，进而完成对知识的内化，使书本知识成为自己知识；同时也培养学生的探索精神。三.学法探究在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学

7、生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。四.导学过程通过设置问题情景、课堂导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求培养学生的自主学习的能力，以点拨、启发、引导为教师职责。(一)设置问题情景引例学校准备建造一个矩形花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米。记花坛受限制的一边长为x米，半周长为y米。(1) 写出y与x的函数表

8、达式；(2) 求(1)中函数的最大值。（用多媒体出示问题，并让学生思考）通过问题情景的设置主要是为了达到以下两个目的：第一问为了复习回顾函数的表达式；思想目标：通过本节课的教学，启示学生养成细心观察、认真分析严谨论证的良好习惯.通过第二问激发学生对探索研究、学习新知识的热情，为导人新课及顺利完成教学任务做了思想上的准备。(一)揭示课题，导入新课通过对第二问的分析知，要解决问题只要搞清函数的函数值y随x的变化情况即可。接着用多媒体给出函数的图象,让学生利用初中所学的知识,结合图象观察得出函数值y随x的变化情况,初步概括出增函数与减函数的概念。但仅从图象看显然不过严密，我们必须对它进行系统的、科学

9、的研究。(板书课题)(二)讲授新课在上述的基础上进一步启发学生，让学生用数学语言归纳出增函数、减函数的概念，教师进行补充，接着用多媒体显示增函数、减函数的定义。紧接着引导学生结合教材中的图29（或用多媒体给出的屏幕）仔细体会定义中的两个简单不等关系“”和“或”，它刻划了函数递增或递减的性质。这就是数学魅力！对定义作了初步分析以后，指导学生再次阅读和分析定义，同时教师提出以下问题：定义中的关键词语是哪些？（学生思索）教师在学生思索过程中进行一次有感情地朗读定义，并在关键词语处加重语气，学生感到困难时，给以适当的提示。（这一环节是学生正确地、深入地理解概念的关键，教师应该启发引导学生如何深入理解一

10、个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力）通过学生的分析讨论得出以下几个关键词语：(1)“定义域内某个区间”（多媒体中对这八个字用红色显示）。这里包含两层意思：第一函数的单调性只能在定义域内讨论；第二函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，否则无法讨论其单调性。（教师举例说明）(2)“任意两个”和“都有”。就是说这里的在给定区间上具有任意性，不能用特殊值来判断函数的单调性（要特别强调），而且只要，则 （或）恒成立。以上两点让学生通过构造反例来进一步说明。（通过学生的积极思维探索，从抽象到具体，并通过反例反衬，使学生对概念有了本质的认识，同时也锻炼了学生的逻辑思维能力）接着教师作以下阐述：反

11、过来，如果我们已知在某个区间上是增函数或减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判断函数值的大小，也可以有函数值的大小去判断自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之不然，这恰是辨证法中一般和特殊的关系。（用辩证法的原理来解释数学知识的同时，用数学知识去理解辩证法的原理，这样分析有助于深入地理解和掌握概念，培养学生自主学习的能力）学生看书了解单调性与单调区间的有关概念。(三)知识的应用例1：（用多媒体给出书中P59页例1）通过对本例的解答达到以下目的：（1）会根据图象写单调区间；（2）明确区间的端点值不影响函数在这一区间上的单调性。例2：（书P59例2多媒体给出）借助函数的图象看单调性既形象又

12、直观，是一个好办法，但是在理论上不够严密，尤其是不易画出图像的函数，因此我们还必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径。（指出用定义证明的必要性）提问：怎样用定义来证明呢？学生思索并动笔，教师不断点拨启发，最后师生共同完成（教师认真规范地板书证明过程，以对学生起到示范作用）回顾解题过程达到以下要求：(1) 总结归纳出用定义证明函数单调性的步骤（用多媒体给出）。(2) 变式训练：讨论函数（为常数，且）。通过变式训练使学生认识到一次函数的单调性决定于一次项系数，同时训练了学生进行分类讨论的重要数学思想。经过以上两例使学生巩固定义，初步具备解决相关问题的能力。(四)终结阶段(1) 课堂练习,巩固概念,强化学生对这节课的掌握。练习为书本中P60页第一、二题，其中第一题学生口答，第二题叫一位中等学生板演。教师及时点评。(2) 与学生一起解决引例中的第二问。并作以下变式：求函数的值域。（学生课后思考，为下节课作铺垫）(3) 课堂小结（内容由多媒体给出）通过小结使学生理清本节课的重难点。(4) 布置作业书本P64页