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文档简介
1、 专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力,数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数量关系的变“与 不变”性的试题,就其运动对象而言,有点动、线动、面动三大类,就其运动形式而言,有轴对称(翻折) 、平移、旋转(中心对称、滚动)等,就问题类型而言,有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解,而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为
2、基架而精心设计的考题,可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题,其考点包括线段(和差)为定值问题;角度(和差)为定值问题;面积(和差)为定值问题;其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法,一般有两种:第一种是分两步完成:先探求定值.它要用题中固有的几何量表示 .再证明它能成立.探求的方法,常用特殊位置定值法,即把动点放在特殊的位置,找出定值的表达式,然后写出证明第二种是采用综合法,直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中,动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中,动态几何之定值(恒等)问题的重点是线段(和差)为定值问题,问
3、题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知: ABC是等腰直角三角形,/BAC=90。,将4ABC绕点C顺时针方向旋转得到 ABC, 记旋转角为 %当90v /V 180时,作ADXAC,垂足为D, AD与BC交于点E.图1S2(1)如图1,当/CAD=15。时,作/AEC的平分线EF交BC于点F.写出旋转角”的度数;求证:EAEC=EF;(2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线AD上的一个动点,连接PA, PF,若AB=戊,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)【举一反三】如图(1),已知/ MON =90,点P为射线O
4、N上一点,且OP=4 , B、C为射线OM和ON上的两个动点(OC OP),过点P作PA BC ,垂足为点 A,且PA=2 ,联结BP .Im倍力S PAC 1八(1)若- 彳时,求tan BPO的值;S3边形 ABOP 2(2)设PC x, 2 y求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;BC(3)如图(2),过点A作BP的垂线,垂足为点 H ,交射线ON于点Q,点B、C在射线OM和ON上运动 时,探索线段OQ的长是否发生变化?若不发生变化, 求出它的值。若发生变化,试用含x的代数式表示OQ 的长.类型二【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图,矩形ABCD中,AB 2,BC 5, BP 1,
5、 mpn 900 ,将 MPN绕点P从PB 处开始按顺时针方向旋转, PM交边AB (或AD )于点E , PN交边AD (或CD )于点F .当PN旋转 至PC处时, MPN的旋转随即停止.(1)特殊情形:如图 ,发现当PM过点A时,PN也恰好过点D ,此时 ABP是否与 PCD相似?并 说明理由;PEPF(2)类比探究:如图,在旋转过程中, 匚三的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由;(3)拓展延伸:设 AE t时,EPF的面积为S,试用含t的代数式表示S;在旋转过程中,若t 1时,求对应的 EPF的面积;在旋转过程中,当EPF的面积为4.2时,求对应的t的值.【举一反三】
6、如图1,已知直线y=a与抛物线y1 2、一 X交于A、B两点(A在B的左侧,交y轴于点C 4(1)若AB = 4,求a的值 一.一 1.一 一一(2)若抛物线上存在点 D(不与A、B重合),使CD AB ,求a的取值范围 22于M、如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点 E、F,点P是抛物线上的动点,延长PE、PF分别交直线y=-N两点,MN交y轴于Q点,求QM QN的值。类型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如图,在4ABC中,Z ABC 60, /BACv60,以AB的同侧),连接CD.(1)若/ABC 90, /BAC 30,求 / BDC 的度数;(2)当/BAC 2/BDC时,请判
7、断 ABC的形状并说明理由;(3)当/ BCD等于多少度时,/ BAC 2 / BDC恒成立.AB为边作等边4ABD (点CD在边【举一反三】 如图1,抛物线W : y ax2 2的顶点为点 A,与x轴的负半轴交于点 D,直线AB交抛物线 W于另一点C ,点B的坐标为1,0 .(1)求直线AB的解析式;(2)过点C作CE x轴,交x轴于点E,若AC平分 DCE,求抛物线 W的解析式;-41(3)若a将抛物线 W向下平移m m 0个单位得到抛物线 W1 ,如图2,记抛物线W,的顶点为A,与x轴负半轴的交点为 D1,与射线BC的交点为C1.问:在平移的过程中,tan D1C1B是否恒为定值?若是,
8、请求出tan DQ1B的值;若不是,请说明理由.类型四【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图,现有一张边长为 2J2的正方形ABCD,点P为正方形 AD边上的一点(不与点 A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点 B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP, BH.(1)求证:EPBEBP;(2)求证:APBBPH ;(3)当点P在边AD上移动时,4PDH的周长是否发生变化?不变化,求出周长,若变化,说明理由;(4)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式.【举一反三】如图,在等腰直角三角形 ABC中,ZC=90, AB = 8 J2 ,点。是AB的中点
9、.将一个边长足 够大的RtADEF的直角顶点E放在点。处,并将其绕点 O旋转,始终保持 DE与AC边交于点G , EF与 BC边交于点H.(1)当点G在AC边什么位置时,四边形 CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的边被RtA DEF覆盖部分的两条线段 CG与CH的长度之和是否会发生变化,如不发生变化,请求出 CG与CH之和的值:如发生变化,请说明理由.类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践:矩形的旋转问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以 矩形的旋转”为主题开展数学活动.具体要求:如图 1,将长与宽都相 等的两个矩形纸片 ABCD和EFGH叠放在一起,这时对角线
10、 AC和EG互相重合.固定矩形 ABCD ,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转,直到点 E与点B重合时停止,在此过程中开展探究活动. 操作发现:(1)雄鹰小组初步发现:在旋转过程中,当边 AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图3 所示,则线段 AM与CN始终存在的数量关系是 .(2)雄鹰小组继续探究发现:在旋转开始后,当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时,如图3所示,四边形QMRN为菱形,请你证明这个结论.(3)雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形 QMRN中/MQN与旋转角/ AOE存在着特定的数量关系, 请你写出这一关系,并说明理由.实践探究:(4)在图3中,随着
11、矩形纸片EFGH的旋转,四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为 2+J2,宽为J2,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角ZAOE为多少度时,四边形 QMRN的面积最大?最大面积是多少?(直接写出答案)E【举一反三】如图1,矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF , EG分别过点B,C, ZF = 30.(1)求证:BE=CE(2)将 EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到 EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分别与AB,BC相交于点M, N.(如图2)求证:ABEMA CEN;若AB = 2,求4BMN面积的最大值;当旋转停止时,点 B恰好在FG上(
12、如图3),求sin / EBG的值.【新题训练】1 .已知在平行四边形 ABCD中,AB=6, BC=10, /BAD=120, E为线段BC上的一个动点(不与 B, C重合),过E作直线AB的垂线,垂足为 F, FE与DC的延长线相交于点 G,(1)如图1,当AELBC时,求线段BE、CG的长度.(2)如图2,点E在线段BC上运动时,连接 DE, DF, BEF与4CEG的周长之和是否是一个定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.(3)如图2,设BE=x, ADEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点 C为顶点的抛物线经过点 A,点P是
13、抛物线上 点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PFLBC于点F,点D、E的坐标分别为(0, 6), (-4, 0),连接 PD, PE, DE.(1)求抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置是发现:当点 P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想:对于任意一点P, PD与PF的差为定值,请你判定该猜想是否正确,并说明理由;(3)请直接写出4PDE周长的最大值和最小值.如图,四边形 ABCD 中,AD / BC, /ABC=90.(1)直接填空:/ BAD = (2)点P在CD上,连结AP, AM平分/DAP, AN平分/FAB, AM、AN分别与射线 BP交于点M、N.设求/
14、BAN的度数(用含a的代数式表示).若ANLBM,试探究/AMB的度数是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请用 a的代数.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转,连接BC, DE.探究Saabc与Saadc的比是否为定值.(1)两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时,Saabc : Saade是否为定值?如果是,求出此定值,如果不是,说明理由.(图)一块是等腰直角三角板,另一块是含有30。角的直角三角板时,Saabc: Saade是否为定值?如果是,求出此定值,如果不是,说明理由.(图)(3)两块三角板中,ZBAE+ZCAD=180, AB=a, AE=b, AC=m,
15、 AD = n (a, b, m, n 为常数),Saabc: S/xade是否为定值?如果是,用含 a, b, m, n的式子表示此定值(直接写出结论,不写推理过程),如果不是,说明理由.(图).(解决问题)如图1,在 ABC中,AB AC 10, CG AB于点G .点P是BC边上任意一点,过 点P作PE AB , PF AC ,垂足分别为点 E ,点F .(1)若 PE 3, PF 5,则 ABP 的面积是, CG 且 PE BC,(2)猜想线段PE , PF , CG的数量关系,并说明理由.PG的值.(3)(变式探究)如图2,在 ABC中,若AB AC BC 10,点P是 ABC内任意
16、一点,PF AC , PG AB ,垂足分别为点E ,点F ,点G ,求PE PF(4)(拓展延伸)如图3,将长方形 ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C处,点P为折痕EF上的任意一点,过点 P作PG BE , PH BC,垂足分别为点8, CF 3,直接写出PG PH的值.P1B图3.如图,已知锐角 ABC中,AB、AC边的中垂线交于点 O(1)若/ A= e (0 “V 90),求/ BOC;(2)试判断/ ABO+/ACB是否为定值;若是,求出定值,若不是,请说明理由. OO的直径AB= 15cm,有一条定长为9cm的动弦,CD在弧AB上滑动(点C和A、点D与B不重合),且
17、 CELCD 交 AB 于 E, DFLCD 交 AB于 F.(1)求证:AE=BF(2)在动弦CD滑动过程中,四边形 CDFE的面积是否为定值,若是定值,请给出证明,并求这个定值, 若不是,请说明理由.如图,动点M在以。为圆心,血 为直径的半圆弧上运动(点 M不与点4 B及轴 的中点F重合),连接0n .过点a/作neids于点,以ee为边在半圆同侧作正方形 bcde ,过加点作二o的切线交 射线DC于点X ,连接BAF、SX.(1)探究:如左图,当 a1动点在石上运动时;判断四1二是否成立?请说明理由;设 丝二二 二匕 六是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由;设上U3N=),值
18、是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由;(2)拓展:如右图,当动点 3/在手丑上运动时;分别判断(1)中的三个结论是否保持不变?如有变化,请直接写出正确的结论.(均不必说明理由).如图,已知。的半径为2, AB为直径,CD为弦.AB与CD交于点M ,将Cd沿着CD翻折后, 点A与圆心O重合,延长OA至P ,使AP OA,链接PC .(1)求CD的长.(2)求证:PC是。的切线.(3 )点G为ADB的中点,在PC延长线上有一动点 Q ,连接QG交AB于点E ,交?C于点F ( F与B、C不重合).则GE GF为一定值.请说明理由,并求出该定值.在平面直角坐标系中,点A和点B分别在x轴的
19、正半轴和y轴的正半轴上,且 OA=6, OB=8 ,点D是AB的中点.(1)直接写出点D的坐标及AB的长;(2)若直角/ NDM绕点D旋转,射线DP分别交x轴、y轴于点P、N,射线DM交x轴于点M,连接MN .当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时,若 PDMsmon,求点N的坐标;在直角ZNDM绕点D旋转的过程中,/DMN的大小是否会发生变化?请说明理由.11.如图, AOB 中,A ( 8, 0),B (0, 32), AC平分/OAB,交y轴于点C,点P是x轴上一点,3OP经过点A、C,与x轴于点D,过点C作CELAB,垂足为E, EC的延长线交x轴于点F,(1) OP的半径为;
20、(2)求证:EF为。P的切线;(3)若点H是CD上一动点,连接 OH、FH ,当点值,求其值;若不是定值,请说明理由.H在CD上运动时,试探究 OH是否为定值?若为定FH12.如图,在菱形 ABCD中,Z ABC=60, AB=2.过点A作对角线BD的平行线与边 CD的延长线相交于点E. P为边BD上的一个动点(不与端点 B, D重合),连接PA, PE, AC.(1)求证:四边形 ABDE是平行四边形;(2)求四边形ABDE的周长和面积;(3)记4ABP的周长和面积分别为 Ci和Si, APDE的周长和面积分别为 C2和S2,在点P的运动过程中, 试探究下列两个式子的值或范围:C1+C2,S
21、1+S2,如果是定值的,请直接写出这个定值;如果不是定值的,请直接写出它的取值范围.如图,在eO中,圆心O关于弦AB的对称点C恰好在eO上,连接AC、BC、BO、AO. (1)求证:四边形AOBC是菱形;(2)如图,若点Q是优弧AmB (不含端点A、B)上任意一点,连接 CQ交AB于点P, e O的半径为2.3试探究线段CP与CQ的积CP CQ是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;求CPPO的取值范围.如图,抛物线的顶点坐标为 C (0, 8),并且经过A (8, 0),点P是抛物线上点 A, C间的一个动点(含 端点),过点P作直线y=8的垂线,垂足为点 F,点D, E的坐标分别为(0, 6), (4, 0),连接
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