专题09动态几何定值问题(原卷版)

1、 专题九动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的变“与 不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折） 、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为

2、基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值.它要用题中固有的几何量表示 .再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问

3、题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一【线段及线段的和差为定值】【典例指引1】已知： ABC是等腰直角三角形，/BAC=90。，将4ABC绕点C顺时针方向旋转得到 ABC, 记旋转角为 %当90v /V 180时，作ADXAC,垂足为D, AD与BC交于点E.图1S2(1)如图1,当/CAD=15。时，作/AEC的平分线EF交BC于点F.写出旋转角”的度数；求证：EAEC=EF；(2)如图2,在(1)的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA, PF,若AB=戊,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)【举一反三】如图(1),已知/ MON =90,点P为射线O

4、N上一点，且OP=4 , B、C为射线OM和ON上的两个动点(OC OP),过点P作PA BC ,垂足为点 A,且PA=2 ,联结BP .Im倍力S PAC 1八(1)若- 彳时，求tan BPO的值；S3边形 ABOP 2(2)设PC x, 2 y求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；BC(3)如图(2),过点A作BP的垂线，垂足为点 H ,交射线ON于点Q,点B、C在射线OM和ON上运动 时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化， 求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示OQ 的长.类型二【线段的积或商为定值】【典例指引2】如图，矩形ABCD中，AB 2,BC 5, BP 1,

5、 mpn 900 ,将 MPN绕点P从PB 处开始按顺时针方向旋转， PM交边AB (或AD )于点E , PN交边AD (或CD )于点F .当PN旋转 至PC处时， MPN的旋转随即停止.(1)特殊情形：如图 ，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D ,此时 ABP是否与 PCD相似？并 说明理由；PEPF(2)类比探究：如图，在旋转过程中， 匚三的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设 AE t时，EPF的面积为S,试用含t的代数式表示S;在旋转过程中，若t 1时，求对应的 EPF的面积；在旋转过程中，当EPF的面积为4.2时，求对应的t的值.【举一反三】

6、如图1,已知直线y=a与抛物线y1 2、一 X交于A、B两点(A在B的左侧，交y轴于点C 4(1)若AB = 4,求a的值 一.一 1.一 一一(2)若抛物线上存在点 D(不与A、B重合)，使CD AB ,求a的取值范围 22于M、如图2,直线y=kx+2与抛物线交于点 E、F,点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y=-N两点，MN交y轴于Q点，求QM QN的值。类型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如图，在4ABC中，Z ABC 60, /BACv60,以AB的同侧)，连接CD.(1)若/ABC 90, /BAC 30,求 / BDC 的度数；(2)当/BAC 2/BDC时，请判

7、断 ABC的形状并说明理由；(3)当/ BCD等于多少度时，/ BAC 2 / BDC恒成立.AB为边作等边4ABD (点CD在边【举一反三】 如图1,抛物线W : y ax2 2的顶点为点 A,与x轴的负半轴交于点 D,直线AB交抛物线 W于另一点C ,点B的坐标为1,0 .(1)求直线AB的解析式；(2)过点C作CE x轴，交x轴于点E,若AC平分 DCE,求抛物线 W的解析式；-41(3)若a将抛物线 W向下平移m m 0个单位得到抛物线 W1 ,如图2,记抛物线W,的顶点为A,与x轴负半轴的交点为 D1，与射线BC的交点为C1.问：在平移的过程中，tan D1C1B是否恒为定值？若是，

8、请求出tan DQ1B的值；若不是，请说明理由.类型四【三角形的周长为定值】【典例指引4】如图，现有一张边长为 2J2的正方形ABCD,点P为正方形 AD边上的一点(不与点 A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点 B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP, BH.(1)求证：EPBEBP;(2)求证：APBBPH ;(3)当点P在边AD上移动时，4PDH的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；(4)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式.【举一反三】如图，在等腰直角三角形 ABC中，ZC=90, AB = 8 J2 ,点。是AB的中点

9、.将一个边长足 够大的RtADEF的直角顶点E放在点。处，并将其绕点 O旋转，始终保持 DE与AC边交于点G , EF与 BC边交于点H.(1)当点G在AC边什么位置时，四边形 CGOH是正方形.(2)等腰直角三角ABC的边被RtA DEF覆盖部分的两条线段 CG与CH的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出 CG与CH之和的值：如发生变化，请说明理由.类型五【三角形的面积及和差为定值】【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以 矩形的旋转”为主题开展数学活动.具体要求：如图 1,将长与宽都相 等的两个矩形纸片 ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线

10、 AC和EG互相重合.固定矩形 ABCD ,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点 E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动. 操作发现：(1)雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边 AB与EF交于点M,边CD与GH交于点N,如图2、图3 所示，则线段 AM与CN始终存在的数量关系是 .(2)雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论.(3)雄鹰小组还发现在问题(2)中的四边形 QMRN中/MQN与旋转角/ AOE存在着特定的数量关系， 请你写出这一关系，并说明理由.实践探究：(4)在图3中，随着

11、矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化.若矩形纸片的长为 2+J2，宽为J2,请你帮助雄鹰小组探究当旋转角ZAOE为多少度时，四边形 QMRN的面积最大？最大面积是多少？(直接写出答案)E【举一反三】如图1,矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形 EFG的两边EF , EG分别过点B,C, ZF = 30.(1)求证：BE=CE(2)将 EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到 EF与AD重合时停止转动.若EF, EG分别与AB,BC相交于点M, N.(如图2)求证：ABEMA CEN;若AB = 2,求4BMN面积的最大值；当旋转停止时，点 B恰好在FG上(

12、如图3),求sin / EBG的值.【新题训练】1 .已知在平行四边形 ABCD中，AB=6, BC=10, /BAD=120, E为线段BC上的一个动点(不与 B, C重合)，过E作直线AB的垂线，垂足为 F, FE与DC的延长线相交于点 G,(1)如图1,当AELBC时，求线段BE、CG的长度.(2)如图2,点E在线段BC上运动时，连接 DE, DF, BEF与4CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(3)如图2,设BE=x, ADEF的面积为y,试求出y关于x的函数关系式.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A,点P是

13、抛物线上 点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PFLBC于点F,点D、E的坐标分别为(0, 6), (-4, 0),连接 PD, PE, DE.(1)求抛物线的解析式;(2)小明探究点P的位置是发现：当点 P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P, PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由;(3)请直接写出4PDE周长的最大值和最小值.如图，四边形 ABCD 中，AD / BC, /ABC=90.(1)直接填空：/ BAD = (2)点P在CD上，连结AP, AM平分/DAP, AN平分/FAB, AM、AN分别与射线 BP交于点M、N.设求/

14、BAN的度数(用含a的代数式表示).若ANLBM,试探究/AMB的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用 a的代数.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC, DE.探究Saabc与Saadc的比是否为定值.（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，Saabc ： Saade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30。角的直角三角板时，Saabc： Saade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由.（图）（3）两块三角板中，ZBAE+ZCAD=180, AB=a, AE=b, AC=m,

15、 AD = n （a, b, m, n 为常数），Saabc： S/xade是否为定值？如果是，用含 a, b, m, n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由.（图）.（解决问题）如图1,在 ABC中，AB AC 10, CG AB于点G .点P是BC边上任意一点，过 点P作PE AB , PF AC ,垂足分别为点 E ,点F .(1)若 PE 3, PF 5,则 ABP 的面积是, CG 且 PE BC,(2)猜想线段PE , PF , CG的数量关系，并说明理由.PG的值.(3)(变式探究)如图2,在 ABC中，若AB AC BC 10,点P是 ABC内任意

16、一点,PF AC , PG AB ,垂足分别为点E ,点F ,点G ,求PE PF(4)(拓展延伸)如图3,将长方形 ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF上的任意一点，过点 P作PG BE , PH BC,垂足分别为点8, CF 3,直接写出PG PH的值.P1B图3.如图，已知锐角 ABC中，AB、AC边的中垂线交于点 O(1)若/ A= e (0 “V 90),求/ BOC;(2)试判断/ ABO+/ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由. OO的直径AB= 15cm,有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动(点C和A、点D与B不重合)，且

17、 CELCD 交 AB 于 E, DFLCD 交 AB于 F.(1)求证：AE=BF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形 CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值, 若不是，请说明理由.如图，动点M在以。为圆心，血 为直径的半圆弧上运动（点 M不与点4 B及轴 的中点F重合），连接0n .过点a/作neids于点,以ee为边在半圆同侧作正方形 bcde ,过加点作二o的切线交 射线DC于点X ,连接BAF、SX.（1）探究：如左图，当 a1动点在石上运动时；判断四1二是否成立？请说明理由；设 丝二二 二匕 六是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设上U3N=）,值

18、是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点 3/在手丑上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）.如图，已知。的半径为2, AB为直径，CD为弦.AB与CD交于点M ,将Cd沿着CD翻折后, 点A与圆心O重合，延长OA至P ,使AP OA,链接PC .（1）求CD的长.(2)求证：PC是。的切线.(3 )点G为ADB的中点，在PC延长线上有一动点 Q ,连接QG交AB于点E ,交？C于点F ( F与B、C不重合).则GE GF为一定值.请说明理由，并求出该定值.在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的

19、正半轴和y轴的正半轴上，且 OA=6, OB=8 ,点D是AB的中点.(1)直接写出点D的坐标及AB的长;(2)若直角/ NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N,射线DM交x轴于点M,连接MN .当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若 PDMsmon,求点N的坐标;在直角ZNDM绕点D旋转的过程中，/DMN的大小是否会发生变化？请说明理由.11.如图, AOB 中，A ( 8, 0),B (0, 32), AC平分/OAB,交y轴于点C,点P是x轴上一点,3OP经过点A、C,与x轴于点D,过点C作CELAB,垂足为E, EC的延长线交x轴于点F,(1) OP的半径为;

20、(2)求证：EF为。P的切线；(3)若点H是CD上一动点，连接 OH、FH ,当点值，求其值；若不是定值，请说明理由.H在CD上运动时，试探究 OH是否为定值？若为定FH12.如图，在菱形 ABCD中，Z ABC=60, AB=2.过点A作对角线BD的平行线与边 CD的延长线相交于点E. P为边BD上的一个动点(不与端点 B, D重合)，连接PA, PE, AC.(1)求证：四边形 ABDE是平行四边形；(2)求四边形ABDE的周长和面积；(3)记4ABP的周长和面积分别为 Ci和Si, APDE的周长和面积分别为 C2和S2,在点P的运动过程中, 试探究下列两个式子的值或范围：C1+C2,S

21、1+S2,如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围.如图，在eO中，圆心O关于弦AB的对称点C恰好在eO上，连接AC、BC、BO、AO. (1)求证：四边形AOBC是菱形；(2)如图，若点Q是优弧AmB (不含端点A、B)上任意一点，连接 CQ交AB于点P, e O的半径为2.3试探究线段CP与CQ的积CP CQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由;求CPPO的取值范围.如图，抛物线的顶点坐标为 C (0, 8),并且经过A (8, 0),点P是抛物线上点 A, C间的一个动点(含 端点)，过点P作直线y=8的垂线，垂足为点 F,点D, E的坐标分别为(0, 6), (4, 0),连接