数值计算课后问题详解4

1、习题四解答1、设xo=0,x1=l ,写出f(x) = e-的一次插值多项式厶(X),并估计插值误差。 解：根据已知条件，有X01y1el设插值函数为厶(x) = ax + b I由插值条件，建立线性方程组为 aO+b=1,-l)x + l因为 yx = -e-yx) = e-所以，插值余项为心)=f (X)-pW = 7-0,+(W)( + l)!2(x)=(Z)U-)U-V)=_(X-O)(X-I)(0J)所以Ir(X)I - max 八 11 2 oI-Oll=-e X- = -2482、给定函数表max Ix(X-I)I0 xl 11OV0.10.30.71.1/3)0.9950.99

2、50.7650.454选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)o解：设三次插值多项式为f (X) = alx + U2X2 + a3xi I由插值条件，建立方程组 为86 6 C8 寸 S62 9 H SI寸ohNIEOlH860+ Fo+ 一9寸O 9L 二 H 寸寸E 0+ 8 寸0+ 9o0 OH;ozoo+,o00+0 ,66o!ooii,0 O + 氢 OlE-s.7SOl9Z； I H 扌8&0 + fWo 仆 0 8ZO O + 80.0 + W寸 0 66.0 玄 00.0i,Oo + hiOIOD 寸寸O 1 EEl + hl Z I + 一2 I + O

3、B 9卜0 寸E.0+ 6寸.0+ /0+ OUV n660 rzoo + 600+打0 + OU 66 0 H boooli,Oo + 戈0| 寸寸0 H二X + jIX & +1IX + S 9卜0 0 +0 + Lo 富 + OU 660 HeO X + 玄0 + E O h + 66.0 J(Iol) +rhol) J + (IOI) + 7 i(I+oi(I+oOH(Xkgk)一P- (X)x3(一+=Jp- H(X) d KH (XM s苗叵 0 丄 Ol- v(x) 7 N k (X) 7MH (X) Md M 也 Z SXXHSE 0丄H7nh()c、1 U 世 亠 XH(X)

4、JHMX O、tpffi只 UX 70 XM SWiraSSffi (I) - SOi-O (1:7TOHr)OH(X) 7lx)M( 0)X Oi-,(VlZTOMa)XM(X)7VM(I).su EtpIfltwel+u 酿(：7TOHWX 寸卜二 IHOoO 866 +0 X 8寸S 8.0 X 6z9 IlpOH (0 160-HdoX 866+Zox 8寸SleOX 6e9 II 寸OHQoS oh866+h8 寸TK6C9I 一寸.0 N (K)J 只怔&1恥川fl所以 ,(x)Af =XAr-0结论得证。(2 )取函数/(X) = (XT)仃=0,1,2,“ 对此函数取节点 =

5、0,l,2,.,n),则对应的插值多项式为Pn(X) = (Xi-t)k Ij W IJ-O由余项公式，得厂(X) = (x-t)k -X(Xi-t)kli(x) =tn+n()() = -l-x-t)k |；，+1 () = O所以(x-t)k =X(X-I)kIlM(-0Vt=X ,Xi-X)kll(x) = O4、给定X2.02.12.22.4f(x) 1.4142141.4491381.483201.54919试用(2)试用二次NeWtOn插值多项式计算f(2.15)的近似值,并估计误差。解：用线性插值计算f(23),取插值节点为2.2和2.4 ,则相应的线性插值多项 式是,、C 1.

6、54919-1.48320 z 、P(X) = 1.48320 +(X - 2.2)2.4-2.2=1.48320 + 0.32995(x - 2.2)用X二2.3代入，得/(2.3) 1.48320 + 0.32995 (2.3-2.2) = l .450205(2)作差商表如下fx,Q人*fc T-9 1 /11/191/1 QC19 11 11C QQ 17A d1C7 1 A 7 C9 91 Q3on1 RQCA U 匚Oo9 A1 R1Q1 Q根据定理2,f(x) = f(Xo) + fxo Z Xl(X-XO)+fxo f Xl , 2(X-Xo)(X-Xl) + .+ f0 ,

7、Xl ,，Xn(X-)(X-Xl).(-n-l)+ f0 , Xl Z . , Xn , x(x) O以表中的上方一斜行中的数为系数，得f(2.15) = 1.41421+ 0.3501 (2.15-2.0) - 0.047 (2.15-2.0) (2.15-2.1)= 1.663725指出：误差未讨论。5、 TOC o 1-5 h z x1245y01646880试求各阶差商Z并写出牛顿插值多项式和插值余项。解：作差商表如下Xf()阶差商二阶差商三阶差商四阶差商001611673052246-37621_25T4881093-8850 TOC o 1-5 h z 根据定理2 ,以表中的上方一

8、斜行中的数为系数，得57P(X) = 0 + 16x + 7x(x -1)X(X-I)(X-2)X(X-I)(X- 2)(X - 4)。26指出：余项未讨论。5*XO1234yO164688O试求各阶差分,并求等距节点插值。解：由已知条件,显然,Xo-O Z h=l Z X=t。 作差分如下八GzXH 八R人*八口人*八rQH1 G11 a1 QCO9C.1 91 f -)1/10Q1 QQQR根据等距节点插值公式,讥 +斫几(沪0 + 収16 + 与14+心1丫 2)-2) + i(J)(7(j40)35-(r-1)(/-2)(/-3) o= 6/ + 7/(r_l)_( 1)(/ 2)3指

9、出：在本题这种情况下,实际上Pnt) = PII(X),也就是说,在这样的条件下,t的多项式就 是X的多项式,可以直接转换。般情况下,把t的关系转换为X的关系需要根据X=o+th ,将t用X表示，即将/= 代入得到的多项式。 IJ给定数据表X0.1250.25003750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)R f(0.636)o 解：所给节点是等距结点：XQ = 0.125 Jl = 0.125, Xi =XQ + ij = 0J,2,3,4,5o 计算差分得fFA

10、RAM八AKITnRA KXrnAH VXA 7d Q 99Q1HXCC 77QQ/1n AnC-7n HOaZZQn nno CiH Q7 匚A IA Q 71n HAQQCc An1 QQ QQqQ 1 1C(X CnnA-7A11 Qn HHQOQn AnnOQ 17Q1 9n COCCU匚Un CCUXA C匚CH7 匚 CA父CQ令X = XQ=根据等距结点插值公式，得hPn (Xo + th) = Pn =0.79618 + r (-0.02284) + 斗J (-0.00679)+ r(ZI)(Ir 2) X(-0.00316) + 一 1)(：)(二3)X0.00488 + &

11、一以一半二理二勺 X(-0.00460) 3!4!5!则/(0.1581) pn(0.1581) = pn(0.125+0.2648/?) =0.790294822,/(0.636) Pn (0.6363) = Pn (025+4.088/?) = 0.6518048267、设俭)在卜4,4有连续的4阶导数Z且 /(-D = Ij(O) = 2/(0) = 0(3) = 1/(3) = 1(1)试构造一个次数最低的插值多项式P(X),使其满足P(-1) = /(-1) = -1, P(O) = /(0) = 2, /7(0)=广(0) = 0, X3) = /(3) = 1, /7(3)=广=

12、1(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。解：(1)由严可以求出满足P(O) = /(0) = 2, /(0)=广(0) = 0, /9(3) = /(3) = 1,卩(3)=广=1 的三次埃尔米特插值多项式= Xi-v 2o TOC o 1-5 h z 52设P(X) = H(X)+ (x-3厂= X3 at + 2 + g(b-3)x * 则 P(X)满足273P(O) = /(0) = 2, Pt(Q)=广(0) = 0, p(3) = /(3) = 1, ”(3)=广=1 f110852(-l)3 一一X(-1)2 + 2 + (一1 一3)2(_1)2 =Ina所以 TOC

13、o 1-5 h z 52 1P(X) = H(x) + a(x-3)2x2 = x3 - - x2 + 2(x-3)2x22731081413 33 2 CX + 4 X +2108544余项具有如下结构HX) = f(x) -PM = Ar(X)(X + l)x2 (X 一 3)2 作辅助函数 (t) = /(r) - IKt) - k (x)(t + l)r G- 3)2 则显然卩在点,70,3处有6个零点(其中O , 3是二重零点)，即 (P(X) = 0,祕一 1) = 0,0(0) = 0,0(0) = 0,0(3) = 0,0(3) = 0 ,不妨假设x (-l,0)o由罗尔定理，

14、 (-l,x),2 e(x,0 (0,3) f使得0) = 0,0(2) = 0,0迄)=0 ,再注意到0(0) = 0,0(3) = 0 ,即t)有5个互异的零点i 2 O3 + aix + a2x2 + aix +a3x I将条件代入Z建立一 个5元的线性方程组,求出各参数,就可以求出插值多项式。求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构 和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数 构造和埃尔米特插值基函数构造相似。以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中,首先利用4个条件构 造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一

15、般形式,保证其满足 埃尔米特插值条件,代入未利用条件解方程(组)，求出其中的未知参数，即可 求出插值多项式。本题也可以先利用 /X-l) = /(-1) = -1, P(O) = /(O) = 2, /X3) = /=1 构造一个 2 次插值多项式宀，以此为基础构造4次插值多项式几,p4(x)的结构是 P4W = P2M + 3+b)(x+I)X(X一3),满足/X-D = f(-l) = -1, MO) = /(0) = 2, p(3) = /(3) = 1再根据/(0)=广(0)= 0, /(3)=广=1列出两个线性方程组成的方程组,求出a、 b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函

16、数余项心)的常用方法是：) = O) - P(X)应具有如下形式(以本题为例)r(x) = f(x) -PM = k(x)(x + l)x2 (X 一 3)2作辅助函数(t) = /(r) - P-k (x)(t + l)r G- 3)2则卩在点忑-1,0,3处有6个零点(其中0 ,3是二重零点1反复应用罗尔定理, 直到至少有一个氏(-4,4),使得泸) = 0。此时即有卩(C = / )_5 W(X)=O n代入余项表达式即可求出。7设f(x)在卜4,4有连续的4阶导数,且/(0) = 2,广(O) = Oj(3) = 1/(3) = 1试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(X),使其满

17、足P(O) = /(0) = 2,/(0)=广(0) = 0, p(3) = /(3) = 1, p,(3)=广=1。解一(待定系数法)：解:设 H(X) = 0 + alx + a2x2 + a3x3 I 则H ,(x) = a + Ia2X + 3a3x2 I由插值条件得2 = H(O) FO = H(O) = qI = H(I) = a0 + a + a2 + Ciy1 = H(l) = a +2a1 +3他解之彳号吗=2,d =0卫2 =_|，佝=君 / 所以 H(X) =-x3-x2 + 2o TOC o 1-5 h z 273解二(基函数法)： 解:设/3(x) = /(JVO)0

18、(x) + /(x1)l(x) + ft(x)Q(X) + f(xi)i(x) t因为线性拉格朗日插值基函数为=XO-Xl 0-33X-XD x-0 X Zl(X) =-,X1-X03-03由得W = l-2( -) ! /()(A)X-XI-l=丨 1 _ 2(x _ X0)1一召 k-=ii-2c-O)o(M227-9x2+2x327同理1(x) = l2儿一比 I州一心丿- 2疋27由得/7O(X) = (X-XO)X-XI92=X5 OHM = -X3-x2 + 2o&设/ = (0 xl),试作一个二次多项式P(X),使其满足 /7(0) = /(O), /(O) = /70), P

19、(I) = /(1),并导出余项估计式。解：设此二次式为P(X) = a + bx + cx2 ,因为 f() = ef,(x) = ex , 所以，由已知条件P(O) = /(0) = 1, p(0) = ,(0) = 1, P(I) = /(1) = e将其代入 P(X) = a + bx + CX2i p,(x) =b + 2cx I 得所以，要求的二次多项式为P(X) = + x + (e-2)x2 o因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式:心)=f(x) -P(X) = K(X)(X - O)2(x-l) I其中K(X)为待定函数。固定X ,作辅助函数(t) =

20、r(t)-K(x)(t-O)2 (t-l)显然仅O) = O,0(0)=0,似 X)=O,0(1)=0 f不妨假设X (0,l)o由罗尔定理,存在(0,x),2 (x,l),使得0) = o,0G) = O /再注意到0(0) = 0再次由罗尔定理得,存在帀 (0,) (0,1),1 (,)(0,l),使得 x) = O, n1) = O再次应用罗尔定理，存在 (帀,2)u (OJ)使得矿) = 0。注意到m(t) = r) - 3! K(X) = (0-3! K(X)(r() = /(z)-7(r)中p(t)是2次函数，其3次导数为O 所以m = ()-3lK(X)=OK(X)=I代入余项表

21、达式,有HX) = /(X)-P(X) =(X一O)2(X一 1)= X2(X-I)o指出：石瑞民数值计算关于余项讨论很清楚。9、给出SinX在0,的等距结点函数表,用线性插值计算SinX的近似值,使其截断误差为10-4 ,问该函数表的步长h取多少才能满足要求？解：设兀伙=0,1,.)为等距结点，步长为h ,贝k+l=k+h当XW xjt,x*+1时，作f(x)的线性插值厶(X) =+ F则有f (x)-Ll(X)=(X - x )(x - XA.+1),由此易知IJ(x)-LIGv)I - pax (x) I(X- x. )(x-x+i) - ,x xk,Z xl -X-Xi+1Z4因此,2

22、/(x)-L1 ()-由 -104 Z /70.02O8 2指出：关于最大值的计算与12题相同。IOX求/(X) = X4在区间b上的分段埃尔米特插值Z并估计误差。 解：由分段三次埃尔米特插值多项式弘=+/)0i()/-0则/(X) = X4的分段埃尔米特插值为H、(X)= 士 If(XM (A) + f(i)i(X)/-0=(X)+ 4?I(A)/-0其中0(兀)=l + i2(X-Xf)J X_和 Xi I兀一兀41 +!0,其他(x_xJ（X_兀）I Xi 一 1Vv-70,其他2J；xxiJ0,x1 xxmJh,Xi xxlJ 0.Xi Xz+1 7其余项估计式为= 7.5-2.5 =

23、 511.已知数据表I012兀2.57.510/U.)4.07.05.0广（兀）0.13-0.13求三次样条插值函数。解：这是第一类边界条件，要求解方程组V 1 (P/ &)H 2 A1=g 1 2 丿IMJ其中hl =X-I-XI= 10-7.5 = 2.5= - = 0.66667 + l 3AJ = I-XZl = 0.333338O = (- I J- )O) = 0564l-A) = -I.12oo2 ?I + h2H2z)=i6os厶将以上数据代入方程组V 1 0、SZ go“12 Aj=g0 1 2 丿I g2丿解之得X =0.807339 Ml =-1.050678=1.329

24、334将获得的数据代入到S) =陆13T +随上虫+ (X厂竺土+ (廿叫仍d ,rl 6hl16A.川 6 I hi 6 l hi中，得S(X)= 0.0269 ll(7.5-x)3 一 0.035023 (x-25) +0.127218 (7.5-x) + 2.275565 (x-2.5)-0.0745 (10-x)3-0.088622 X (X- 7.5)3 + 3.237783 (5.0-x)+ 1.446 IllX(X- 7.5)12、设f(x)eC2a9b(具有二阶连续导数)，且f(a)=f(b)=O J证明: ic(x)1(Z,-)7x) 证明：以a. b为节点进行插值I得 f

25、M = PiW + rM=斗 /3 + 二 /(b) + 补 ()(x - a)(x- b) a_bb-a2!fx-ax-b(a ( + hx： + ex；)- = 0/-= 5 + b 兀 +cf X；-y, =0/-r-1(-1V = 2( + bxi + cx( + +cx)-yjxr =0(-1a Xi + z 才 + c 岸 一 巧=0r-1rl/-IJ-IQT 5=+bxt c2) i( + bxj+cx,2)-j7 =O/-= A7 +z 甫 + C 工 4 一 X a； % = 0r-/-IZ-I/-1将各数据点的数值代入，得方程组为5 + 10c = 2.910/7 = 4.

26、21 Oa + 34C = 7解之得 a=0.4086 , b二0。42 , c=0.0857 Z所以数据点所反映的函数的近似关系为y = 0.4086 + 0.42x + 0.0857x2解二：设所求的拟合函数为y = a+b.x + cx2 I鹽据代入方程得t/-2/? + 4c = -0.1a b + c = 0 a = 0.4 + b + c = 0.9 + 2b + 4e = 1.61 -2 4、(1 IIIr1 -1 15 Ol(TArA =-2-10121 0 0=0 10 0 ,410 14,1 1 1Jo 034,J 2 4丿(一01) 1110.1QyA1B =-2-102

27、0.4=4.214104,0.9 +硏)-)订=0/-55=5 + b工斤-D严O/-1r-l=22(+hxr2) - yixf = 0Ob Zr=(“ +加;)-卯才=0r-1Z=0fl/-1/-1将数据代入得5 + Z?x(192 +252+312 +382+442)-(19.0 + 32.3 + 49.0 + 73.3+97.8)=0 (192 +252 +312 +382 +442)+(194 + 254 +314 +384 +444)-(192 19.0 + 252 32.3+312 49.0 + 382 73.3 + 44297.8) = 0化简得5+5327/?-271.4 =

28、05327 + 7277699 - 369321.5 = 0第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得5 +5327/?-271.4 = 02 + 1604444/; - 80279.5 = 0解之得 = 1.01b = 0.05则X与y的函数关系是y=1.01+0.05x2o此时，平方逼近误差为L = G+7X,2)-yr.2 =0.017r-1所以,均方误差为0.017 =0.13o指出：均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。15、观测物体的直线运动,得出如下数据:时间 t(s)O0.91.93.03.95.0距离 s(m)610305080UO求运动方程。解：设运动方程为S二

29、a+bt则666D=I47； =53.63,r-1/-1/-J6= 280,工佰= 1078/-I将上述数据代入方程组/-1666UTJZy工恬.r-l/-I/-!得方程组& +14.7b = 280147& + 53.63b = 1078解之得a = -7.8550478b = 22.25376所以，S = -7.8550478 + 22.25376/。指出：利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。16、在某化学反应中,由实验得分解物浓度与时间关系如下:时间t05101520253035浓度 y(104)01.272.162.863.443.874.154.37时间t40455055浓度

30、 y(104)4.514.584.624.64用最小二乘法求y=f(t)解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随看 t的增大,y的增速放缓,故设by = ael O两边取对数，得Iny = In t/ + /? - It令Iny = Z,l = s,ln=c I则拟合函数转化为线性拟合关系乙=c + bs O1! 11工 =0.6039755.工； =0.06232136为召= 13.639649,工邛=0.5303303。 r-lJ-I将上述数据代入c+X=2尺J-IJ-IJ-I得1 Ic+ 0.6039755/? = 13.6396490.6039755C +

31、0.06232136b = 0.5303303解之得b = -7.4961692,c = 1.6515592 = = 5.2151048所以7.4961692y = 5.2151048/O指出：T=O,该拟合函数不适用。专业的变化规律(经验函数)应当由专业人员给出。仅仅从有限数据的草 图得出的规律可能不具普遍性。17、给定数据表X7.22.73.54.14.8y6560535046用最小二乘法求形如y = aebx的经验公式。 解：对y = 0两边取对数，得ny = na+bx IIn y = YyIna = aQ.b = a I则Y = UO + UlX I代入数据,建立方程组为5t + 1

32、7.3rt1 =19.9796881517.3O + 64.23I = 6&55117703解之得a（）= 4.45380a =凸=85.9529Ie= -0.132329 b = a = -0.132329所以y = 85.9529e-0,32329xo18、用最小二乘法求方程组2x + 4y = 113x-5y = 3x+2y=6x + 2y = 14的近似解。分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组,是矛盾方程组,用最小二乘 法求解。解：设方程组中各个方程的一般形式为aix + by=ci I则L = +y)-2对x、y分别求偏导，并令偏导数等于0,得= + ,A - g = 0乩丄

33、=0= XYJaibl + y2- = 0 r-!r-1J-I将数据代入得15x-3y-51 = 0&/ +述 一乞X=O TOC o 1-5 h z r-11-1Qi 8- = 2(a + bxi)-yixi=0= Xi + b为 xi2 一 兀X = 0=( + )-y.xj. =Or-1/-1/-186/ + 36/?-419.9 = 0360 + 204/7-2479.4也 + 36/?-4199 = 0-84/? + 8737.9 = 0将数据代入，得 8 8 8+xr=r-1r-1*ati z,V -iiyi =0.r!r-1r-1解之得a = 520.587 = -104.02所

34、以，所求的拟合函数为P(X) =1O520.58-104.02x20、在平面上给出三个点Z它们的坐标是Xl =(l,l)r,x2 =(2,0)7 ,x3 =(1.5,3)7 f每 个点对应一个函数值石=1 .&5 = 2.6,=3.1 ,找出一个通过这三个点的平面。解:这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。 由解析几何知识可知，平面的三点式方程为Xy z TOC o 1-5 h z x1拆I=U2y2z21%3,2Z31将三点坐标代入,解此方程就可求出所求平面方程。(以下从略)补充题(-)1、求次数不超过2和3的多项式p2(x)和p3(x

35、)o使得p2(0) = P3(O) = 0 f P2二 Ps(I) = 1 , P2=P3二 8f P3二 27o 解一：设二次多项式为P2()=a0+a+a2x2,则有ao+alO + a1 O2 =0V a +ai + a22 = 1a0+al2 + a2 22 =8解之得 I UVt = 0,4 = -2, 2 = 3。所以p2(x) =-2x+ 3x2 o设三次多项式为P3(x)=a0+aix+a2x2 + a3x3 ,则有勺 + q X 0 + a2 O2 +13 0? = 0+ 1 + I2 + = 1a0+al2 + 4 22 +6/,23 =8o + a】X 3 + 他 X 3

36、, + Ci3 35 = 27解之彳孚,5 = Oyal =0,a2= 0,他=1。所以p2(x) = x解二：由题6 ,可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。解三：在学习了差商和差分后,也可以利用牛顿插值公式或等距节点 插值公式求出所求多项式。对f(x)0,lf2,3处求差商得Xf(x)阶差商二阶差商三阶差商001/()(x)=(x) =1137128619327所以,P2(x)=P2(0)+1 (X-O)+3 (X-O)(X-I)=32-2x ,p3(x)=p3(0) + l (x-0)+3 (X-O)(X-I) +1 (X-O)(X-I)(X-2)=x302、已知函数f(x)在

37、节点-IZOXI处的值分别是03679,1.000,2.7182 ,用 待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1 :设所求的多项式为P2 W = 0 + g + U1X2 I把已知条件代入得5 +1 (-l) + 2 (-l)2 = 0.3679 5 + X (0) + a1 (O)2 = 1.0005 +1 (1) + UI (1)2 = 2.7182解之得aQ = Lrtl = 1.751,=0.5431所以p2(x) = l + 1.1751x + 0.5431o解2 :由插值基函数公式fl(-vJA-O3=Ila-兀)A-OCV-O)(X-I)(-1-0)(-1-1)X-

38、(-1)(-1)0-(-1)(O-I)= -(x + l)(-l)I( Y)_ 兀_(_1)(兀_0) _ ( + l)2 1_(_I)Kl_0)T代入插值公式得p2 (x) = O.3679o () +1 .OOO1 (x) + 2.7182/, (x)即p2(x) = l + 1.1751x + 0.5431o3、设f(x)二4 ,试利用拉格朗日插值余项定理写出以-IIolII2为插值 节点的三次插值多项式。解：记三次插值多项式为P(X),由插值余项定理f-p=-0,+()()仇 + 1)!=2 /()(X + I)(X - O)GV- 1)(- 2)4!= (x + l)(x-0)(x-

39、l)(x-2)所以，P(X) = f(x) -(X + I)(X - O)(兀 一 I)(X - 2)=X4 - X(X2 - I)(X - 2)=2x + x 2x思考：用插值多项式公式直接求插值多项式与本题求出的多项式比较一下。4、已知 Sino.32二0.314 567,SinO.34二0.333 487,Sino.36=0.352 274 ,用 抛物线插值计算SinO.3367。解:Sino.3367 二 0.330 374o5、设 lk(x)(k=0,l,2,.fn) n + 1 个互异节点 xo,xf3f.x的 n 次基本插值 多项式,证明下面的恒等式成立土 x：lk () = x

40、n (m = 0,1,2,A-O证明：由拉格朗日插值定理，以X0,Xl,X2,.Xn为插值节点，对y=f()=xm作 n次插值，插值多项式为PnM=X1iMyi I/-0而yi=i% 所以Pn ()=XIiwyi = YJliMX0fO同时，插值余项 心)=Zl -Pn (X) = -严 (X) = - (xn,) Z R(X) = 002 + 1)!(H + 1)!：所以=n,结论得证。指出：本题说明，任何次数不超过n的多项式的n次拉格朗日插值多项式就 是它本身。我们也可以证明：/) = 1。r-()6、设xo,x,X2,.Xn是任意给定的n+1个互异节点，证明f(x)=ao+ax+.+ a

41、nn关于这组节点的n次插值多项式Pn(X)就是f(x)o证明：记n次插值多项式为Pn(X),由插值余项定理1 Z(L + ClXX + + a Xt(h + 1)! 0,W龙(X)=0所以 PnM = fW o补充题(二)IS令X0=O,x1=l Z写出y() = Q的一次插值多项式f并估计误差。2、Bioo = o,i2T = n,i44 = i2,求 J并估计误差。3、证明对任意的XWR ,都有f厶三1 ,其中A(X), = 0,1,2, ,)定义为r-()=八=1, X = e T O由线性插值公式IyM = ex的以人)=0,i = 1为插值节点的一次插值多项式为P(X) = I+ (

42、e1 -I)XO因为/(x) = -e-/(X) = X 所以，插值余项为心)=/(X)-P(X) = -L-flX)(x)5+1)!=1/(Z)(w)2X)(-Xi)(X-XI)= I(X-O)(X-I)(0,i)厶所以觀 IgI)I-e X- = -2482、解：将已知的插值条件代入抛物线插值多项式得(115-100)(115-121)12(144 100)(144 121)(115-121)(115-144) “ (115 1 OO)(II5-144)Pd 15) = 10 + 11 +(IOO-121)(100-144)(121-100)(121-144)二 10.7228记 y(x)

43、 = 7 f 显然 f-11 -23 -yx) = -X yXv) = -x 2,y%v) = -x 240因为心)=/()-X) = 一1YZtw(X)5 + 1)!= /住 W(X)= fi)(X-XO)(X-XJ(X-X2)O所以Ir(II5) = ,y, ()(-0)(a-a-1)(x-x2)1 3 2= - 2 (115-100)(115-121)(115-144)3-100 2 (115-100)(115-121)(115-144)6 8= 0.163x10-23、分析:关于插值基函数(),(/=0,1,2,的性质的证明,在考虑证明方 法时，应该从对函数进行插值入手,通过耐心地推证或巧妙地选取被插值函数， 获得所需要的结论。由拉格朗日插值多项式的结构,本题的被插值函数显然应当取为f(x)二1。证明：由拉格朗日插值定理，以XO,X1,X2,.X为插值节点，对)U /(X)三1作 n次插值，插值多项式为IlPnM = jhMy /-0而yi=l所以/-0r-()同时I插值余项HzlH)(IIfh(elzl)(zl)(zl)(I+el)(Zlx)(Im(寸XI OX)(WlOX)(H,IOx)(HIOX)(寸XlX)(H,IXHIH)(KIx)OIp(hOV(WlX)C-ffl- S On(IJI 川 3M- Ji(I+5i(I