线性代数之行列式的性质与计算

1、第二节行列式的性质与计算 2.1行列式的性质a11a12La1na21a22La2 nLLLLan1an2Lann考虑D将它的行依次变为相应的列，得Aia21Lan1&2a22Lan2LLLLaina2nLannDt称DT为D的转置行列式.性质1行列式与它的转置行列式相等(DTD)事实上，若记DTBi b12 b21 b22L L L L bn1 bn2LLLLbmb2nLbnn则 bijaji (i, j 1,2,L ,n)DT( 1) (PlP2L Pn)b1pp2P2L bnpn(1)(P1限 Pn)aR1ap22L apnnD说明：行列式中行与列具有同等的地位，因此行列式的性质凡是对行

2、成立的结论对列也同样成立.性质2互换行列式的两行rj）或两列（GCj）,行列式变号.例如推论 若行列式D有两行（列）完全相同，则D 0.证明：互换相同的两行，则有D D,所以D 0.性质3行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ,等于数k乘以此行列式，即a)1a12Laina11&2LanLLLLLLLLkai1ka2Lkainkai1a 2LdnLLLLLLLLan1an2Lannan1an 2Lann推论：（1） D中某一行（歹I）所有元素的公因子可提到行列式符号的外面;（2） D中某一行（歹1）所有元素为零,则D 0;性质4:行列式中如果有两行（歹【）元素对应成比例，则此行列式等于零.

3、（列）的性质5:若行列式某一行（歹I）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式 的和.这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行 元素与原行列式相同.即为Lanai1a12La1na11a12LanLLLLLLLLLLLLai1 3a 2bi 2Lainbnai1a 2Lainbi1b2LbinLLLLLLLLLLLLan1an 2Lannan1an2Lannan1an 2Lann证：由行列式定义D （ 1）（PlP2L Pn）aipia2p2L （a。、）L a吗aiPi LanPn(PlP2L Pn),(1)al pi a2 P2 L biPi LanPn

4、 .性质6行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一数k加到另一行（列）的相应元n krj素上，行列式的值不变（D D）,即a11a2Lan加a12L即L L L Lri krjLLLLai1ai2Lainai1 kaj1&2 kaj2 L 七kajnL L L LLLLLan1an2Lannan1an2Lann计算行列式常用方法：利用性质2,3,6,特别是性质6把行列式化为上（下）三角形行列式，从而，较容易的计算行列式的值.例1：计算行列式(1) D21303 11113 11113 11113解:r1 r2(1) D214r 2rr2 104“ 3r105012323232304286242

5、5232188“ 8 r2r4 4ri100023230r4_i1885805862030371000188058 6214329Q)46 6 6 6r1ri2 1 3 1 1D113 1111311611此方法称为归边法.例2:计算n阶行列式解：1 311431(1)58 / 2-ri r106i 2,3,401 1 12 0 00 2 00 0 26 (1 2 2 2)48.ri r12,3,L ni 2,3,L ,na11 L1x a L a11 a2 L1a x L a(2) DnLL L LnL L L L11 L 1 ana a L x(a 0,i 1,2,L,n)Dna20 L0

6、 a3 L M M M100M0 a2 La1a2 LL La100 L anan 10 L10Lan(箭形行列式)a2a3L1 1 Li 2 aa 0a2 LL L L00 Lananaa2L an(1aa2L an(1(2)注意到行列式各行元素之和等于x (n 1)a,有 TOC o 1-5 h z x(n1)aaLc1cx(n1)axLi 2,3,L ,n LL Lx (n 1)aa aLxx(n1)aaL0 x (n 1)a.a0Lx an 1X (n 1)a(x a)证：对Di作行运算rikrj,把Di化为下三角形行列式PiiD1 M O pki L0PkkPiiLPkk；对D2作列

7、运算Ci kcj把D2化为下三角形行列式i 2,3,L ,nLaiiL aikMM0aiiLaikbiiLbin例3:设D010akiLakk,DiMM,D2MMGi LCikbiiLbinakiLakkbniLbnnMM MMCniLCnkbniLbnn证明：DD1D2.qii0D2M OqiiL qnn.qniL f5nkkCj,把D化为先对D的前kk行作行运算ri krj ,然后对D的后n列作列运算g下三角形行列式：Pii TOC o 1-5 h z M O0PkiL PkkCiiLCikqiiM MM OCni LCnkqni L qnn故，DPiiL Pkk qiiL qnnDiD2

8、.思考练习i.计算行列式a1 1 a1 2La na? 1 a2 2La2 n(n 2)MMMMDnan 1 an 2 Lann TOC o 1-5 h z 2512(1)D3 71 4592 74612bccaabcb1c1Ga12a1b1Gb2c2Qa2a2b2c2a b2.证明阚ba2 b23.证明2 a222(a 1)2 (a 2)2 (a 3)2aeb2(b 1)2(b 2)2(b 3)2de 4abcdef (2)ooo2 c(c 1)2 (c 2)2(c 3)2efd2(d 1)2 (d 2)2 (d 3)2ab ac(1) bd cd bf cf0abcdaa b ab cab

9、 c da2a b 3a2b c 4a3b 2c da3a b 6a3b c 10a6b 3c d4.计算行列式DC11.(1)D4C33 2 r2r4r2r2*321r1a1 13)(2) Dnc C1a212,3,L ,n Ma a2,n20,n 2an 1 1 L n 1a b2.左边=a1b1a2 b2bbiac2c3 c2a1bia2b2c2c ac1c22cabcac2c12a1b1Ga1G2c2a2b2c2a2c2cc1c2cc1c2a1a2aa1a2b b1 b2a01a2a1a2C2 C32aia2b bi b2aia2CiC23.证左边abCdef(2)左边4.解:a000

10、 2.2b bi b2(3ClC2aiCia2C2a2b bi b2CiC2riabCdefrlr2(3abCdef4abCdef.2 a2ai4a46a92 a2ai26b22bi4b46b9C3 2c 2b22bi262C2ci4c46c9C4 3c 22 c2ci26d22di4d46d9d22di26Ci Ci0i 2,3,4后行减前行得,从第4行开始,a2a3aC b b ba3a6ad b2b3b3右边a b cda b cd0 a a b a b c430 a a b a b00 a2a b0 0 a2a00 a3a b0 00a32C b行列式按行(列)展开对于三阶行列式，容易

11、验证:aiia12a13a2ia22a23a3ia32a33aiia22a23a32a33a2ia3ia23a33a2ia3ia23a33可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算 .问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个 ni阶行列式来计算?、余子式与代数余子式定义：在n阶行列式Ddi&2a2iLa22Lanian2LLLLaina2nLann的元素按原来的顺序构成的中，划去元素aj所在的第i行和第j歹I，余下i阶行列式，称为 元素aj的余子式，记作Mj ；而Aj（ I j Mj称为元素a。的代数余子式.例如三阶行列式aiia21a31a12a22a32ai3a23a32中元素aij

12、的余子式为M 23a1a3a12a32元素a23的代数余子式为A232 3(1) M23 M23四阶行列式101015201131中元素x的代数余子式为A32 （ i）32、行列式按行（列）展开a11ai2Laina21a22La2nLLLLanian2Lann定理 n阶行列式D代数余子式的乘积之和，即Daii Ai或 Daij Aj等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的ai2A2 L ain An (i 1,2,L ,n) a2jA2j L anj Anj (j 1,2,L , n)证 （1）元素aii位于第一行、第一列，而该行其余元素均为零；此时Da11a21Lani(j2j3L jn)

13、a22L1)n25LLLLLa2nLannjn)a2j2Ljianjn而 Ai ( i)11M11(2) Da11M0MamLMLML(1)(j1j2Lj1aiiM11M11,故 D -Ai；aijMaijManjLMLMLainM0Mann)(j/L jn)al ji a2 j2 L anjn( 1)a1jia2j2 L anjnji 1将D中第i行依次与前i1行对调，调换i1次后位于第一行；将D中第j列依次与前j 1列对调，调换j 1次后位于第一列；经（i1) (j 1)2次对调后，a。就位于第一行、第一列，即1)ij 2 aij M ij(1)ijaij M ijaij Aij.般地为

14、L ai1 0 LL%Lai2LLLLLLL金L0Lan为a12LainanLain加a12LanLLLLLLLLLLLLai10L00ai2L0L00LainLLLLLLLLLLLLan1an2Lannan1an2Lannan1an 2Lannai1 A1ai2A2Lain Anan2Lann同理有 Da1jAja2j A2 j推论n阶行列式Dana21La22Lan1an2LLLLa a2Lann的任意一行的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零,an As1& j Aitai 2 As2 L ain Asn a2jA2t L anj Ant0(is)0(jt)证考虑辅助行列式

15、D1Aa?an1LLMLa1j a2jManji列LLMLa1j a2jManjLLMLa1na2nMa2n按第t列展a1j A1ta2j A2tLanjAnt 4t）.该行列式中有两列对应元素相等.而D1 0 ,所以t) 0.al j Alta2 j A2tL anj Ait (j关于代数余子式的重要性质nD , iakiAjD 0k 10 , ij, j;na, A D ik jkijk 1D,i0,ij，其中 j；1.i j,0,i j.在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个 阶行列式换成n个（n-1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或

16、某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义.但展开定理在理论上是重要的.、行列式的计算利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列 式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含 1个非零元素，再按此行（列） 开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式 .计算行列式常用方法：化零，展开.例4:计算四阶行列式c.解：Dc4c12cl20122067按第2行展1 2r2(1)C2C3c12C1按第1行展224.例5已知4阶行列式，求 M41M 42 M 43 M 44的值.其中M ij为aj的余子式.*+*+IjIj解：（方法1）直接计算A4i（i

17、1,2,3, 4）的值，然后相加（略）（方法2）利用行列式的按列展开定理，简化计算M41 M42M43 M441A4A24A34A441 A411 A42( 1) A431 A44142828.例6:计算n阶行列式Dn(2) Dn按第1列展解：(1)Dna11A11a21A21L amAm1 1x( 1)n 1 n(1) y .0L00y00L00yL00 xy0L00MMMM1 y( 1)n 1MMMMMM0Lxy000Ly00L0 x000Lxy0 00 0 x y0 XM M按第1列展 Dna11 A11a21 A21L an1An1n 1(1) n(1)n1n!.例7:计算四阶行列式D

18、4解：按第1行展开，有D4 (a b)( 1)11(ab)( 1)1410对等式右端的两个3阶行列式都按第3行展开，得22D (a b)2 (a b)2例8:证明范得蒙行列式VandermondeDn其中xiLn 1XiX2L n 1X2LLLLLn 1Xn(X Xj)(n 2),1 j i n(xi%)表示所有可能的 3Xj )(j i)的乘积.证：(用数学归纳法)n 2 时，D2x2 %,结论正确;假设对n-11范得蒙行列式结论成立,以下考虑 n阶情形.Dn100 M100 M0按第1列展提取公因子X22X2nX2XiX2XMn 1X2 XiX32X3n 1X3XiX3X1Mn 2X3 XiLLLMLXn2Xnn 1XnXiAXMn 2Xn Xix2 x1X2(X2X1)X3X3(X3XiXi)nX2M2(X2X1)n 2X3M(X3X1)LLLMLXnXn (XnXiXi)n 2XnM(XnX)n(Xii 2X1)X2L n 2X2X3L n 2X3LLLLXnL n 2Xn(X Xj).n例9用范德蒙行列式计算4阶行列式1416641392717493431525125解：对照范德蒙行列式，此处Xi4, X23, x