第9节-时钟问题

1、第9节时钟问题答：再经过21暑分钟时针正好和分针重合。类比：“追及路程”是20小格，“速度差”是11,求追及时间。12120+ 1 -I 12J121111【内容例题】钟面上的时针和分针一慢一快，朝着同一个方向不停地运动着， 就好像是两个人在环形跑道上赛跑，一会儿两针成直角、一会儿两针在一条直线上；一会儿 分针追上了时针，一会儿分针又超过了时针。因此，小学数学竞赛中常常根据 这一特殊的现象编出一些十分有趣的数学问题。解这类时钟问题，看上去好像很复杂，但我们运用行程问题中的“追及问题”的基本思路去分析，解起来就 不困难了。例1从时针指向4点开始，至少再经过多少分钟时针正好和分针重合？【分析】钟面

2、的一周分为60小格，分针每小时走 60小格，每分钟走1小格；51时针每小时走 5小格，每分钟走 一=一。60 12 111每分钟分针比时针多走 1 -= 小格。12 124点整，时针在前，分针在后，两针相距20小格。分针走的快，时针走的慢，从 4点开始两针同时走，两针要重合，就是分针要追赶上时针。这就可与追及问题1112 _ . 9=20+=20 X =21（分）。【评注】此题也可以这样解：因为时针1小时走1个字，分针1小时走12个字，所以从4点开始，到分 针与时针重合，所用时间为此题还可以这样解：4+ （121）4，一，=一（小时）119= 21-（分）11分针60分钟走一周，转动角度为 3

3、60；所以分针1分钟走了 1周二竺0=6二6060时针1小时走了 工周二卫乡二？。、1212所以时针1分钟走了 30 =0.5 60因4点时，分针和时针的夹角为 120；设在4点x分钟时，分针和时针重合，由题意得6x=120+0.5xox= 21 11所以再过21 9分钟分针和时针重合。11相遇时两针共走了 3个字，即15小格。1”，即【例2】6点整时，分针与时针正好在一条直线上，至少再经过多少分钟，两 针正好垂直？【解】假设时针沿反时针方向前进，两针相遇时做相向运动，分针的速度为每分钟走1小格.时针的速度是【分析】由上例的分析可知，6点整，时针指向6,分针指向12,分针比时针落后 30小格。

4、时针与分针垂直，则分针比时针落后15小格或时针比分针落后 15小格。由于问题是“至少再经过多少分钟，两针正好垂直？”所以本题是分针比时针落后15小格。从“分针比时针落后 30格”到“分针比时针落后15格”可见，分针要“追及”时针 3015=15(小格)，即“追及”路程为15小格。已知速度11差11 ,求“追及”时间。12【解】11112 4 ，八(30 15)+ . 1 =15 + =15 X = 161 (分)。.121211111两针共走15小格，用1215Y1+工）1213=15 +1211=13一（分钟）。13图9- 111答：当钟面上是 3小时13分，也就是分针13,11 .行走13

5、看分钟时，两针离3”的距离相等，且在“ 3”的两旁。【例3】钟面上3时几分时，时针和分针离“ 3”的距离相等，并且在“ 3”的 两旁？(第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛初赛试题)【分析】由于时针与分针离“ 3”的距离相等，且在“ 3”的两旁，所以假设从3时起时针沿反时针方向前进，那么两针相遇的时间即为所求时间。【评注】(1)如图91, /AOC =NBOC ,也就是分针从原来的位置走到 AO位置，同时日针转到 OB位置时，才能符合两针在“3”的两旁，且离“ 3”距离相等。(2)本题与例l不同的是设分针的速度为“1”，从字“ 12”到“3”的距离是15小格，求出的时间单位是“分钟”。(3)本题

6、也可用方程求解：因 3点时，分针和时针的夹角为90。设钟面上3时过x分，时针和分针离“ 3”的距离相等，并且在“ 3”的两 旁，由题意得0.5 x=90 6 0 x.6.5 x=90 .【例5】在4点到5点之间，时针与分针何时成直角?11.x= 13 一(分钟)。1312036060 =201一，分针多走20小12【例4】从3点钟开始，分针与时针第二次形成30度角的时间是三点几分?(北京市第六届小学生“迎春杯”数学竞赛决赛试题)【分析】这是一个同向而行的问题。下午3点时两针成90。角。第二次形成30。角时，分针比时针多走120 。，从而可求出分针多走多少小格。90+30= 120(度)。即在钟

7、面上分针多走的小格是分针走的速度是I,即每分钟走1小格，时针走的速度是 格，由此得到如下解法。【解】20+ 1 -,12【分析】因为4点时，分针在时针后 20小格。两针成直角时，时针与分针之间相差15小格。这时有两种情况，由此得到如下解法。【解】(1)分针在时针后15小格。这种情况分针要比时针多走(20 15)小格。1(20-15)(1-)12115 八=5 = 5一(分)。(2)分针在时针前15小格。这种情况分针应比时针多走(20+ 15)小格。(20+ 15) + (1 )12112=35 - - = 38(分)。5 .2 .答：4点57分与4点38m分两个时刻，时针与分针成直角。12=2

8、0 11_ . 9=21 一（分钟）。11答：所求时间是3点212分。11【评注】(1)解这类题时思考要周密，稍有疏忽，就会功亏一簧。(2)此题也可以用方程求解：因4点时，分针和时针的夹角为 120。设分针与时针垂直的时刻是4点x【评注】此题若用方程求解，要比上述思路难。读者不妨一试，以做比较。分。分针在时针后，由题意得0.5 o x+12 0 6 0 x= 90 0。5.5 0 x= 30 0,5 5，八、x= 5一（分）。11分针在时针前，由题意得6 0 x- 120 0-0.5 0 x= 90 0。5.5 0 x= 210 0,2x= 38 一（分）。11标准表走l小时, TOC o 1

9、-5 h z 中生市土 3570 363014399,计手表要走x小时=小时，3600 36004 3600于是手表每小时比标准时间慢14399 .11 打1 小时=-秒，4 36004 3600 41所以手表一昼夜比标准时间慢24X =6秒。4答：王叔叔的手表一昼夜比标准时间差6秒。【评注】通过分析本例，找到了答案，它是一种最常用的思维方法。【例6】王叔叔有一块手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒，而闹钟比标准时间每小时慢30秒。那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？【分析】这个时钟问题涉及到手表、闹钟和标准表（即标准时间）。问题是“手 表一昼夜比标准时间差多少秒？”所以首先要研究

10、手表比标准表每小时快或慢多少时间。【解】标准表走1小时，闹钟只走3600秒一30秒=3570秒=3570小时;3600而闹钟走1小时，3630 ，一手表要走3600秒+30秒=3630秒=3630小时。3600【例7】小洁晚8点多钟开始做家庭作业，当时时针和分针正好在一条直线上（成180）。小洁做完家庭作业又看了看钟，此时时针与分针正好第一次重合。小洁做家庭作业共用了多少时间？【分析】有的同学在解这道题时，想先了解小洁是什么时刻开始做家庭作业，又是到什么时候做完了家庭作业，然后算出这中间所花的时间。但这样，就使问题变得更加复杂难解了。其实，我们只要抓住“当时时针和分针正好在一条直线上”，此时分

11、针与时针之间的差距必定是 30个分格，分针“追上”时针的时间就是小洁做作业的时 间。由此得如下解法。因此,.11 ）【解】30+ 1 -I 12 J11=30 一12= 32（分）11可知指针转了 45圈又18格。而2018= 2。因此，昨晚8点整时，指针指在第 2格。答：昨晚8点整时，指针指着第 2格。【评注】此例解法浅显简易，可谓匠心独运，别出心裁!抓住两针在一条直线上,16圈，3针重合了图92答：小洁做家庭作业共用 32分钟。11【评注】本例的解法关键在于敢于打破习惯思维影响, 从而找到了解题途径。【例8】科技馆里有一只奇妙的钟，一圈共有 20个格。每过7分钟，指针跳 一次就要跳过9个格

12、，今天早晨8点整的时候，指针恰好从 0跳到9,问昨天 晚上8点整的时候指针指着几？（1994年陕西省小学数学奥林匹克总决赛试题）【分析】钟的指针按停、跳、停、跳、停、,（或者跳、停、跳、停、跳、,）规 律旋转，因此可以求出该钟跳的次数及转过的圈数。【解】从昨晚8点到今晨8点，由于每过7分钟，指针跳一次60 M 2 月=720 7=102,6。指针共跳了 102次。由于这钟一圈有20格，9M02 e0= 918 20=45,18。【例9】把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转 秒针转36圈，开始时3针重合。问：在时针旋转一周的过程中， 几次？（不计起始和终止的位置）【分析】本题是关

13、于三针重合问题，可以先找出时针与分针重合位置和时针与秒针的重合位置, 然后再找出两者的共同位置，即为三针重合的位置。【解】先看时针和分针重合的情形。假设时针与分针 AB次在B点重合, 从开始到重合，时针走了路程AB,而分针走了一圈后又走了 AB。 已知分针速度是时针速度的16倍，因此，AB 是一一圈的、11+ （ 161）=。15这样时针和分针重合的 123位置是在表盘的 、 、 、 、151515同理，时针与秒针相重合的位置在表盘的1因此，三针重合的位置是在表盘的15答：三针共重合了 4次。一的地方24，一.3、幺、4处，三针共重合了 4、次。5 55【评注】三针重

14、合问题的解法是通过研究二针重合而得到O【例11】甲、乙两时钟都不准确，甲钟每走 24小时，恰好快1分钟；乙钟每走24小时，恰好慢1分钟。假定今天下午 3点钟的时候，将甲、乙两钟都调好，指在准确的时间上，任其不停地走下去，问下一次这两只钟都同样指在3点时，要隔多少天？（江西省第二届“八一杯”小学数学竞赛决赛试题）【分析】可以先求出甲钟比标准时钟多转一圈所需天数、标准时钟比乙钟多走一圈所需天数，然后再求二者的最小公倍数。【例10】钟表在中午12时三针重合，问几分钟后秒针走在分针和时针乏间， 并平分其夹角？【分析】三针于12点整后，分针走在时针前面，秒针又走在分针的前面，因 此秒针走在分针和时针之间

15、必在一周之后，两周之前，即在一分钟与二分钟之间。【解】设x分钟（1x2）后，秒针走在分针和时针之间且平分其夹角，则这 时它们与12点线所成的角分别为：时针为 0.5x度，分针为6x度，秒针为360（x1）度，依角平分线定义列方程：360(x 1) 0.5x =6x- 360(x-1).整理得 713 .5x= 720。由此解得x=1上 142713 即13一分钟后，秒针走在分针与时针之间，且平分其夹角。1427【解】甲钟与标准时钟下一次同时指向三点时，甲钟比标准时钟多转一圈，也就是多走12小时，即60 X 12分钟，需要60 M2 寸61 60）=720 9=720（天）。同样，标准时钟与乙钟

16、下一次同时指向三点时，标准时钟比乙钟多转一圈，需 要60 M2 寸6059）=720 1=720（天）。所以，经过720天后，甲、乙两钟同时指在3点。答：下一次甲、乙两钟都同样指在3点时，要隔720天。【评注】此题我们利用方程求解，真可谓是峰回路转，柳暗花明。【评注】此题借助最小公倍数求解，简捷、省时，做到了优中选优。【配套练习九】1、下列时间，时针与分针夹角各是多少度？A.5 点； B.6 点 30 分； C. 10 点 I5 分。2、一昼夜时针、分针、秒针共转多少圈？时针与分针共重合多少次?3、一座闹钟滴滴答，整点半点都打响，打六下需30秒，打响12下要多少秒?4、5点到6点之间，时针和分

17、针什么时刻重合？什么时刻成直线?5、2点到3点之间，时针与分针何时成120角?6、9点钟时，分针和时针正好成90角。至少再过多少时间两针又成 90角?7、在9点与10点之间的什么时刻，时针与分针重合？在 10点与11点之间的什么时刻，两针互相垂直？8、一个时钟，一昼夜快18分钟，若在正午对准，到第二天走到凌晨4点12分钟时，求这时的正确时间。9、一天中午12点下大雨，问过 60小时会出太阳吗?10、如图9- 3, 3点15分前，当时针与分针夹角是 350时，是3点几分?的时针恰好指向9,问做第一次记录时，时针指向几？（第一届“华罗庚杯”初赛试题）13、当7点45分时，钟表的时针与分针所成的角是

18、多少度?14、李大爷的闹钟一昼夜快了 3分钟。他想让这个钟在明天早上北京时间8点准时闹，那么，当闹钟走到今天下午4点时应该往慢拨几分钟？（北京市第六届小学生“迎春杯”数学竞赛初赛试题）15、现在4点5分，再过多少分钟，分针与时针第一次重合?11、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，钟敲 6下，5秒钟敲完, 钟敲12下，几秒钟可敲完？（北京市第一届小学生“迎新春”数学竞赛初赛试题）12、科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录，做第十二次记录时，挂钟16、在8点与9点之间，分针与时针重合的时刻是几点几分?17、在8时至9时之间，钟表的长针与短针在同一直线上，这时是8时多少分?（北京市第七

19、届小学生“迎春杯”数学竞赛初赛试题）奥赛天天练第 35讲钟表问题。本讲主要探究两个方面的问题，钟 表的快慢问题和钟面上时针和分针之间的夹角问题。一、钟表的快慢问题。在这类问题中，同一段标准时间内，标准时间和快表（或慢表）走过的时间之间的比值是一定的，这两个时间成正比例。 解决此类问题的关键就是要抓住这个比例关系，列出相应的算式或比例方程，进而解决实际问题。二、钟面上时针和分针之间的夹角问题。（1）解答此类问题需要掌握的一些常识：钟面上有12大格，60小格；时针或分针转动一周的角度是360度；钟面上1大格对应的圆心角是：360-12=30 （度）；钟面上1小格对应的圆心角是：360-60=6 （

20、度）；时针每小时转动1大格，转动30度；分针每分钟转动1小格，转动6度，是时针转动速度的 12倍；时针每分钟转动1大格的1/60,转动0.5度，转动1/12小格；每1个小时，时针转动1大格，分针转动1圈，时针和分针会重合1次（从 12时到1时这1个小时里，时针和分针在开始的时候重合。）o（2）解题基本思路：求时针分针之间的夹角大小。一般从某个确定的时刻开始，先计算出时针和分针各自转动的角度，再求出角度差，即时针和分针之间的夹角的大小。求时针分针成直角、直线、重合等需要经过的时间。这类问题与行程问题中的追及问题相似， 把时针和分针看作两个运动的物 体，单位时间转动的角度就是它们的转动速度， 用时

21、针和分针到达预定位置需 要转动的角度差，除以它们的速度差，就可以求出需要经过的时间。奥赛天天练第 35讲，模仿训练，练习1小明家的挂钟每小时慢 2分，早上8点小明把挂钟对准了标准时间， 那么 这只挂钟走到中午12点，标准时间是几点几分？【解析】：【原创】奥数解析（三十五）钟表问题挂钟每小时慢2分，标准时间经过了 1个小时，挂钟只走了（ 60-2=） 58分，标准时间与挂钟走过的时间之比为：60/58o挂钟从早上8点走到中午12点，标准时间经过了：（12-8） X 60/58 = 4 又 4/29 （小时）4/29 小时 X 60 = 8 又 8/29 分所求标准时间为12时8又8/29分。奥赛

22、天天练第 35讲，模仿训练，练习2【题目】:时针和分针在9点多少分第一次重合？【解析】：时针和分针在9点多少分第一次重合，即从 9时整到10时整之间的一次 重合。可以先根据生活经验推理估计一下重合的大致位置，肯定在钟面上数字9和10之间，即在9时45分和9时50分之间。解法一：9时整，时针指向9,分针指向12,从9时开始到时针与分针重合，分针 要比时针多走9大格，分针需要追及的角度差为：9X 30=270 （度）追及时间为：270- （ 6-0.5） =49 又 1/11 （分）所以时针和分针在 9时49又1/11分会第一次重合。解法二：9时整，时针指向9,分针指向12,从9时开始到时针与分针

23、重合，分针 要比时针多走9大格，分针需要追及的小格数为：9 X 5=45 （小格）追及时间为：45- （ 1 - 1/12） =49 又 1/11 （分）所以时针和分针在 9时49又1/11分会第一次重合。奥赛天天练第 35讲，巩固训练，习题 1【题目】:3点过多少分时，时针与分针离“3”的距离相等，并且在“ 3”的两边?10【解析】：3点多时针在钟面上数字 3的顺时针方向，由题意可得，分针的预定位置 在钟面上数字3的逆时针方向。时针与分针离“ 3”的距离相等，可以从角度的大小理解，也可以从小格 数的多少来理解。解法一：根据等量关系“分针和时针到钟面上3的距离相等”，列方程求解。从角度的大小来

24、入手，假设3点过x分时，时针和分针转动预定位置，分针到钟面上数字3的距离就是3大格对应的圆心角与分针 x分钟转动的角度之 差，时针与钟面上数字 3的距离就是时针x分钟转动的角度，由题意可得：3X 30-6x=0.5x解得：x= 13 又 11/13即3点过13又11/13分时，时针与分针离“ 3”的距离相等，并且在“ 3” 的两边。解法二：假设3点过x分时，时针和分针转动预定位置。 则从3点钟开始， 到时针和分针转动到预定位置， 时针和分针转动的角度之和，正好等于钟面上 3大格对应的圆心角。用时针和分针转动的角度之和除以它们转动的速度和，可以求出经过时 间:3X30+ ( 6+0.5) =13

25、又 11/13 (分)即3点过13又11/13分时，时针与分针离“ 3”的距离相等，并且在“ 3” 的两边。注：把距离理解为钟面上小格数的多少，与上面的两种解法同理，同样可以求解。奥赛天天练第 35讲，巩固训练，习题 2【题目】:一只钟的时针和分针均指在 4和6之间，且钟面上的5恰好在时针和分针 的正中央，问这时是什么时刻？【解析】：本题分两种情况讨论：第一种情况是5时多，时针在5的顺时针方向，分针在 5的逆时针方向。与本讲【巩固训练，习题 11解题方法相同，可求出从 5时起，到时针分 针转到预定位置经过的时间为：5X 30+ ( 6+0.5) = 23 又 1/13 (分)第二种情况是4时多

26、，时针在5的逆时针方向，分针在 5的顺时针方向。从4时起，到时针分针转动到预定位置，时针转动的距离比1大格少的部分，正好等于分针转动的距离比5大格多出的部分，即时针和分针转动的距离之和正好等于6大格。11把距离理解为小格数的多少，可求出从4时起，到时针分针转到预定位置 经过的时间为：(5+ 1) X 5+ ( 1+1/12) = 27 又 9/13 (分)(注：本题利用下面的等量关系同样可以列方程求解。时针转动的距离比 1大格少的部分=分针转动的距离比5大格多出的部分)综上所述，所求时刻可能是4时27又9/13分，也可能是5时23又1/13分。奥赛天天练第 35讲，拓展提高，习题1【题目】:星

27、期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针和分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？【解析】：时针按顺时针方向转动了 2个多小时，分针转动了 2圈多。时针和分针恰 好互换了一个位置，即分针转动的总距离比 3圈少一些，不足部分正好等于时 针转动距离，因为时针正好从分针的终点位置转到了分针的起点位置综上所述，时针和分针转动的距离之和正好等于 3圈。用小格数的多少表 示转动的距离，用时针和分针转动的距离之和除以它们的速度之和，可以求出经过时间为：3X60+ （ 1+ 1/12） = 166 又 2/13 （分）166又2/13分=2时46又2/13分即小明离开家的时间为 2时46又2/13分。奥赛天天练第 35讲，拓展提高，习题 2【题目】:在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？【解析】：在4点与5点之间，是4时多。本题分两种情况讨论：第一种情况，分针在时针的逆时针方向，距离时针 90度。4时整，时针与分针的距离为：4X 30 = 120 （度）120从4时开始到时针与分针成直角，即距离为 90度，分针需要追及（ -90 = ） 30 度。用时针分针转动的距离差除以它们的速度差，可以求出经过时间为：30- ( 6-0