广西桂林市高一数学上学期期末试卷(含解析)

1、 2015-2016 学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（ 12*5=60）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5 ，?UB=4，5，6 ，则集合 AB=（）A1 ，2 B5 C 1 ， 2， 3D3，4，6 2已知平面上两点 A（ 1，1）， B（5，9），则 |AB|= （ ）A10B 20 C30 D40A 1 BCD3下列函数中，在（ 0，+）上为减函数的是（）Df （x）=3x BC5若幂函数 f（x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上为增函数，则实数 m=（）A2B 1 C3D1 或 26已知直线 l 1：x+2ay1=0，与 l 2：（2a1）x

2、ay1=0平行，则 a 的值是（）A0 或 1B1或 C0或 D7若定义在 R 上的偶函数x ）在 0 ，+）上是减函数，则有（A3） f （ 2）f1） Bf （1） f（2）f（3） Cf （2）f（1）f3）Df（3）f （1）f（ 2）8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比 为（ ） TOC o 1-5 h z ABCD9空间四边形 ABCD的对角线 AC=8，BD=6，M，N 分别为 AB，CD的中点，并且 AC与 BD所成 的角为 90，则 MN=（）A10 B 6C8D5D11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A64 B 72

3、C80D11212已知函数 f（x）=log 2（ a2x 4ax +1），且 0a 0成立的 x 的取值范围是（ ）A（， 0） B（ 0， +）C（， 2log a2） D（ 2log a2， +）、填空题（ 4*5=20）13计算：=14直线 3x+4y5=0到直线 3x+4y+15=0 的距离是BAD C 后，15在边长为 a 的等边三角形 ABC中，ADBC 于 D，沿 AD折成二面角16如图， 平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD是正方形， 四边形 ABEF是矩形， 且 AF=a， G是 EF的中点，则 GB与平面 AGC所成角的正弦值为三、解答题（共 6 题， 70分，

4、解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤 . ） 17求下列函数的定义域：（1）f （x） =log 2（2）f （x） =18在平面直角坐标系 xoy 中，已知 ABC 的顶点坐标为 A（2，4），B（1，2），C（ 2，3）1）求直线 BC的方程；2）求边 BC上高 AD所在的直线方程19已知函数 f （ x） =1）在下表中画出该函数的草图；2）求函数 y=f （ x）的值域、单调增区间及零点20某投资公司计划投资 A、B两种金融产品，根据市场调查与预测， A产品的利润 y 与投 资量 x 成正比例，其关系如图 1， B产品的利润 y与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关 系如图 2，（

5、注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将 A、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有 10 万元资金， 并全部投入 A、B 两种产品中， 问：怎样分配这 10 万元投资， 才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ACBC，点 D是 AB的中点求证：（1）ACBC1；2) AC1平面 B1CD22已知定义域为a，b 是常数）是奇函数1）求函数 f （ x）的解析式；k 的取值范围2）判断函数 f （ x）的单调性，并证明你的结论；3）若对于任意都有 f（kx2）+f （2x1） 0成立，求实数2015-2016 学年广西桂

6、林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（ 12*5=60）1已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 A=1，2，5 ，?UB=4，5，6 ，则集合 AB=（）A1 ，2 B5 C 1 ， 2， 3D3，4，6【考点】 交集及其运算【专题】 集合【分析】 由题意全集 U=1，2，3，4，5，6，CUB=4，5，6 ，可以求出集合 B，然后根据 交集的定义和运算法则进行计算【解答】 解：全集 U=1，2，3，4，5，6 ，又 ?UB=4 ，5， 6 ，B=1， 2，3，A=1， 2，5，AB=1， 2 ，故选： A【点评】 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基

7、础的题2已知平面上两点 A（1，1），B（5，9），则|AB|= （）A10 B 20 C30 D40【考点】 两点间距离公式的应用【专题】 计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】 利用两点间距离公式求解【解答】 解：平面上两点 A（ 1，1）， B（ 5，9），|AB|=10注意两点间距离故选： A【点评】 本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，公式的合理运用3下列函数中，在（ 0，+）上为减函数的是（）Df （x）=3x BC【考点】 函数单调性的判断与证明【专题】 函数的性质及应用【分析】 根据函数 f （x）=3x，f（x）= ，f（x）= 在（0，+）上为增函

8、数， 故排除 利 用对数函数的性质可得在（ 0，+）上为减函数，满足条件，从而得出结论【解答】 解：由于函数 f （x）=3x，f（x）= ，f （x）= 在（ 0，+）上为增函数，故 排除由对数函数的性质可得在（ 0，+）上为减函数，满足条件，故选 B【点评】 本题主要考查函数的单调性，属于基础题4设 fx）=，则 f（f（ 2）=（A 1BCD考点】分段函数的应用；函数的值专题】函数的性质及应用分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可解答】解： f （ x） =，则 f （f（ 2）=122）=f （ ）=1故选： C点评】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5若幂函数

9、 f（x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上为增函数，则实数m=（）A2B 1 C 3D 1 或 2【考点】 幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】 函数的性质及应用【分析】 直接利用幂函数的定义与性质求解即可【解答】 解：幂函数 f （x）=（m2m1）xm在（ 0，+）上为增函数， 所以 m2m 1=1，并且 m0，解得 m=2故选： A【点评】 本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查6已知直线 l 1：x+2ay1=0，与 l 2：（2a1）xay1=0平行，则 a 的值是（ ） A0 或 1B1或 C0 或 D【考点】 两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【专题】

10、计算题；分类讨论a0时，两直线的斜率都存在，由分析】 先检验当 a=0 时，是否满足两直线平行，当，解得 a 的值解答】 解：当 a=0 时，两直线的斜率都不存在， 它们的方程分别是 x=1， x=1，显然两直线是平行的当 a0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由 ，解得：综上， a=0 或 ，a=故选： C点评】 本题考查两直线平行的条件， 要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况， 要进行检 验7若定义在 R上的偶函数 f （x）在 0 ，+）上是减函数，则有（）Af （3） f （ 2） f （1） B f （1） f （ 2） f （3） Cf（2）f（1）f（3）Df（3）f（1

11、）f（ 2）【考点】 奇偶性与单调性的综合【专题】 计算题；函数的性质及应用【分析】 利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论【解答】 解：定义在 R上的函数 f（x）在0 ，+）上是减函数，f（3）f （2）f（1），函数是偶函数，f（3）f （2）f（1），故选： A【点评】 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合， 考查学生分析解决问题的能力， 比较基础8过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）ABCD考点】 球的体积和表面积专题】 计算题分析】 由题意设出球的半径，圆 M的半径， 二者与 OM构成直角三角形，求出圆 M 的半径， 然后可求球的表面积

12、，截面面积，再求二者之比解答】 解：设球的半径为 R，圆 M的半径 r ，由图可知，R2= R2+r 2，2S球=4R2，截面圆 M的面积为：r 2= R2，则所得截面的面积与球的表面积的比为： 故选 A【点评】 本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的 半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口9空间四边形 ABCD的对角线 AC=8，BD=6，M，N 分别为 AB，CD的中点，并且 AC与 BD所成 的角为 90，则 MN=（）A10 B 6C8D5【考点】 异面直线及其所成的角【专题】 计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】

13、取 AD中点 P，连结 MP、NP，则 MPBD，NPAC，从而MPN=90 ， MP=3， PN=4， 由此能求出 MN【解答】 解：空间四边形 ABCD的对角线 AC=8，BD=6，M，N 分别为 AB，CD的中点，并且 AC与 BD所成的角为 90，取 AD中点 P，连结 MP、 NP，则 MPBD，NPAC， MPN=90 ， MP=3，PN=4，MN=5【点评】 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题， 注意空间思维能 力的培养10已知 a 0，b0且 ab=1，则函数 f（ x）=ax与函数 g（x）=logbx 的图象可能是 （ ）ACD考点】对数函数的图像与性

14、质；指数函数的图像与性质专题】常规题型；数形结合分析】由条件 ab=1 化简 g（ x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案解答】解： ab=1，且 a0， b0所以 f （x）与 g（ x）的底数相同，单调性相同故选 B点评】 本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A64 B 72 C80 D112【考点】 由三视图求面积、体积【专题】 计算题 =+20 【分析】 由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为 3分别求体积，再相加即可【解答】 解：由几何体的

15、三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为 43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3体积 ，故该几何体的体积是 64+8=72故选 B【点评】 本题考查由三视图求几何体的体积， 考查由三视图还原几何体直观图， 考查与锥体 积公式，本题是一个基础题12已知函数 f （ x） =log 2（ a2x 4ax +1），且 0a 0成立的 x 的取值范 围是（ ）A（， 0） B（ 0， +） C（， 2log a2） D（ 2log a2， +）【考点】 对数函数的图像与性质【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】 首先利用对数函数的单调性得到 a2x4ax+1 1

16、，然后整理， 利用指数函数的单调性 求 x 范围【解答】 解：由题意，使 f （x） 0 成立即 log 2（a2x4ax+1） 0，所以 a2x4ax+11， 整理得 ax 4，且 0 alog a4=2log a2；故选 D【点评】 本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与 1 的关系二、填空题（ 4*5=20） .13计算：= 【考点】 对数的运算性质【专题】 计算题【分析】 利用对数的运算性质=mlogab 即可得到答案【解答】 解： +2 0故答案为： 【点评】 本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题14直线 3x+4y5=0到直线 3x+4y+15=0 的距离是 4 【

17、考点】 两条平行直线间的距离【专题】 计算题；直线与圆【分析】 利用两条平行线间的距离公式，可得结论【解答】 解：直线 3x+4y5=0与直线 3x+4y+15=0 平行，利用两条平行线间的距离公式，可得 =4故答案为： 4【点评】 本题考查两条平行线间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题15在边长为 a 的等边三角形 ABC中，ADBC于 D，沿 AD折成二面角 BADC 后，【考点】 二面角的平面角及求法【专题】 计算题面角 B【分析】 根据已知中 ADBC于 D，易得沿 AD折成二面角 B ADC后， BDC即为 AD C 的平面角，解三角形 BDC即可求出二面角 BADC的大小【

18、解答】 解： ADBC沿 AD折成二面角 BAD C后，ADBD，ADCD故BDC即为二面角 B ADC的平面角又 BD=CD=，BDC=60故答案为： 60且 AF=【点评】 本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，解答的关键是求出二面角的平面角， 将问题转化为一个解三角形问题16如图， 平面 ABCD平面 ABEF，四边形 ABCD是正方形， 四边形 ABEF是矩形，=a， G是 EF的中点，则 GB与平面 AGC所成角的正弦值为【考点】 平面与平面垂直的性质【专题】 空间位置关系与距离【分析】 由面面垂直的性质证明 CBAG，用勾股定理证明 AGBG，得到 AG平面 CBG，从 而面 A

19、GC面 BGC，在平面 BGC内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面 AGC，故 BGH是 GB与平面 AGC所成的角，解 RtCBG，可得 GB与平面 AGC所成角的正弦值【解答】 解： ABCD是正方形， CBAB，面 ABCD面 ABEF且交于 AB， CB面 ABEFAG， GB? 面 ABEF， CBAG，CBBG，又 AD=2a，AF=a， ABEF是矩形， G是 EF的中点，AG=BG= a， AB=2a，AB2=AG2+BG2，AGBG，BGBC=B， AG平面 CBG，而 AG? 面 AGC，故平面 AGC平面 BGC在平面 BGC内作 BHGC，垂足为 H，则 BH平面

20、AGC， BGH是 GB与平面 AGC所成的角在 Rt CBG中， BH=， BG= a，sin BGH= =【点评】 本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力， 属于中档题三、解答题（共 6 题， 70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤. ）17求下列函数的定义域：（1）f （ x） =log 2（2）f （x） =【考点】 函数的概念及其构成要素【专题】 函数思想；定义法；函数的性质及应用【分析】 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域【解答】 解：（ 1）要使函数有意义，则 3x 20，即 x ，即函数的定义域为（，+）（2）要使函数有意义，则 42

21、x0，即 2x 4，得 x 2，即函数的定义域为（， 2 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解， 要求熟练掌握常见函数成立的条件， 比较基础18在平面直角坐标系 xoy 中，已知 ABC 的顶点坐标为 A（2，4），B（1，2），C（ 2， 3）（1）求直线 BC的方程；（2）求边 BC上高 AD所在的直线方程【考点】 待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】 直线与圆【分析】 （1）利用两点式求直线 BC方程；（2）由（ 1）可求 AD的斜率，利用点斜式求 AD方程【解答】 解：（ 1）因为 B（1， 2）， C（ 2，3）所以直线 BC的方程：整理得 5x+3y+

22、1=0 ；4= (x（2）因为边 BC上高 AD，所以 AD 的斜率为 ，又 A（2，4），所以 AD的方程为 y 2），整理得所求方程： 3x 5y+14=0点评】 本题考查了直线方程的确定；用到了两点式、点斜式求直线方程19已知函数 f （ x）1）在下表中画出该函数的草图；2）求函数 y=f （ x）的值域、单调增区间及零点考点】 对数函数图象与性质的综合应用专题】 函数的性质及应用分析】 （1）根据函数的解析式画出函数的图象2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点解答】 解：（ 1）函数草图，如图所示：f （x）=x21（x1）过点（ 0， 1），（ 1，0），显然 f （ x）

23、 =x21（ x1）与都过点（ 1， 0），过点（ 2， 1）（2）y=f （x）的值域为 R， y=f （ x）的单调增区间： 0 ，1 ， y=f （ x）的零点为 x1=1， x2=1【点评】 本题主要考查函数的图象和性质的综合应用，分段函数的应用，属于基础题20某投资公司计划投资 A、B两种金融产品，根据市场调查与预测， A产品的利润 y 与投 资量 x 成正比例，其关系如图 1， B产品的利润 y与投资量 x 的算术平方根成正比例，其关 系如图 2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将 A、 B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有 10 万元资金， 并全部投

24、入 A、B 两种产品中， 问：怎样分配这 10 万元投资， 才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【考点】 函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值【专题】 应用题【分析】 （1）由于 A产品的利润 y 与投资量 x成正比例， B产品的利润 y 与投资量 x 的算 术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设 A产品投入 x 万元，则 B产品投入 10 x 万元，设企业利润为 y 万元利用（ 1）由 此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数利用配方法求函数的最值【解答】 解：（ 1）设投资为 x 万元， A产品的利润为 f （x）万元， B产品

25、的利润为 g（x） 万元由题意设 f （x） =k1x，由图知 ，又 g（ 4） =1.6 ，从而2）设 A产品投入 x 万元，则 B产品投入 10 x 万元，设企业利润为 y 万元（0 x10）=当 t=2 时，此时 x=104=6令 ，则答：当 A产品投入 6万元，则 B产品投入 4 万元时， 该企业获得最大利润，利润为 2.8 万元点评】 本题的考点是函数模型的选择与应用， 主要考查正比例函数模型， 关键是将实际问 题转化为数学问题21如图，在直三棱柱 ABCA1 B1C1中， AC BC，点 D是 AB的中点求证：（1）ACBC1；2） AC1平面 B1CD【考点】 直线与平面平行的判

26、定；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】 证明题【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理先证明AC平面 BCC1B1， BC1? 平面 BCC1B1，即可证得 AC BC1；（2）取 BC1与 B1C的交点为 O，连 DO，则 OD是三角形 ABC1的中位线， ODAC 1，而 AC1? 平 面 B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证解答】 证明：（ 1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中， CC1平面 ABC，CC1AC，又 ACBC，BC CC1=C，AC平面 BCC1B1 ACBC1（2）设 BC1 与 B1C的交点为 O，连接 OD，BCC1B1 为平行四边形，则 O为 B1C中点，又 D是 AB 的中点，OD是三角形 ABC1的中位线， OD