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文档简介

1、多元函数的最值问题一、背景介绍多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题及竞赛中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力.因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是必须具备的解题技能.二、方法思想1.常用方法：换元法、配方法、基本不等式法、柯西不等式法、消元法、数形几何法等；2.基本思想：化归转化、数形结合.三、题型归纳题型一：换元法例1.实数满足

2、，设，求的最大值与最小值.例2.已知实数满足，令，试求的最大值和最小值. 例3.已知均为正数，且，则的最小值为_.题型二：减元法例4.设实数满足，求的最小值.例5.设为正实数，满足，则的最小值是_.例6.若实数，且，则的取值范围是_.题型三：构造法例7. 设为自然数，为正实数，且满足条件，则的最小值是_.例8. 对于满足的一切实数，求的最小值.例9.设是非负实数，满足，求的最小值和最大值.例10.求实数的取值范围，使得对和恒有题型四：一题多解例11. 已知实数满足，且，则的最小值为 .例12.已知任意非零实数满足恒成立，则实数的最小值为_变式练习：对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 .例13

3、.已知正实数满足，则的最大值为 .四、直击考题1.（2002年一试二11题）若，则的最小值是_.【变式1】设，且，则的最小值是（ ）A. B. C. D.42.（2017年预赛一试第8题）设，若存在实数满足，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D.13.（2017预赛一试第11题）设是互不相等的正整数，则的最小值为_.4.（2016年预赛一试第8题）设非负实数满足，则的最小值为（ ）A.2 B.3 C. D.5.(2016预赛一试第6题)记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（ ）A.2 B. C. D.6.（2016预赛一试第2题）已知实数满足，则的最小值为_.五、课后练习1.求的最大值和最小值.2.设非负实数满足.求的最小值.3.设，且，求的最小值.4.设为正数，且，求的最小值.5.设是不全为零的实数，求的最大值.6.对所有，求的最小值.7.已知

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