线性控制第8章--线性离散控制系统课件

1、第8章 线性离散控制系统第8章 线性离散控制系统2随着数字计算机，特别是微处理器的迅速发展和广泛应用，数字控制器在许多场合已经逐步取代了模拟控制器。离散控制系统与连续控制系统相比，虽然在本质上有所不同，但是其分析和设计方法存在很大程度的相似性。本章在z变换理论基础上，主要讨论线性离散控制系统的分析和校正方法。 8.1 概述 第8章 线性离散控制系统1 8.2 信号采样与恢复 8.3 z变换 8.4 离散控制系统的数学模型 8.5 离散控制系统的性能分析3 8.6 离散控制系统的数字校正234568.1 概述48.1.1 离散控制系统简介8.2.2 离散控制系统的特点和研究方法58.1.1 离散

2、控制系统简介A/D：经采样、量化、编码转换把模拟信号变成数字信号。D/A：经解码、保持 (信号恢复)将数字信号转化成模拟信号。8.1.1 离散控制系统简介A/D转换过程是A/D转换器每隔一个采样周期对输入的连续信号采样一次，使其变为离散时间信号，再通过量化变成(二进制表示的)数字信号。通常，采用采样周期为常数即等速（单速）采样的采样方式。68.1.1 离散控制系统简介D/A转换经解码过程把离散的数字信号 转换为离散的模拟信号 ，再经复现过程将离散的模拟信号 复现为连续的模拟信号 去控制连续的被控对象。78.1.1 离散控制系统简介离散控制系统的定义：如果控制系统中有一处或多处的信号呈现脉冲序列

3、或数码的形式，则称这类控制系统为离散时间控制系统，简称离散控制系统。当离散信号是脉冲序列形式时，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而将离散信号为数码或数字序列形式的离散控制系统，称为数字控制系统或计算机控制系统。88.1.2 离散控制系统的特点和研究方法与连续控制系统相比，离散控制系统的优点： 1) 数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 2) 采用高精度的数字测量元件和数字控制元件，可以提高系统的测量和控制精度。 3) 可用一台计算机分时控制若干个子系统，提高了设备的利用率，经济性好。 4) 在数字控制器中，由软件实现的控制规律易于改变、控制灵活。 5) 计算机控制系统

4、可以实现高级控制规律，实现复杂的控制目标，实现管理和控制一体化。98.1.2 离散控制系统的特点和研究方法离散控制系统的特点：从信号上看存在离散时间信号(离散信号、采样信号、脉冲序列或数字序列)；从元件上看有采样开关与信号恢复器。研究方法：在时域中，需要采用差分方程对离散控制系统进行数学描述；在频域中，利用z变换这一数学工具得到离散控制系统的脉冲传递函数。离散控制系统在z域中的分析方法与连续控制系统在s域中的分析方法有很多相似之处。108.2 信号采样与恢复在离散控制系统中，一方面，为了把连续信号变换为脉冲序列或数字序列，需要使用采样器；另一方面，又需要使用保持器将脉冲序列或数字序列变换为连续

5、信号。因此，为了定量地研究离散控制系统，有必要对信号的采样过程和恢复过程用数学的方法加以描述。118.2 信号采样与恢复8.2.1 信号采样8.2.2 采样定理8.2.3 信号恢复128.2.1 信号采样采样过程：将连续信号变为离散信号的过程。T 为采样周期。138.2.1 信号采样离散信号x*(t)为一理想脉冲序列，脉冲仅在采样时刻t=kT(k=0,1,2)出现，而脉冲强度由kT时刻的连续函数x (kT)值来确定。在数字式仪表或计算机中，离散信号x*(t)为一数字序列，而数字序列可以看作是以数字表示其幅值的脉冲序列，它与上述脉冲序列并没有本质区别。数学描述：148.2.2 采样定理158.2

6、.2 采样定理连续信号x(t)经采样后得到离散信号x*(t)，它仍应包含连续信号x(t)的全部信息，也就是说可以将离散信号x*(t)无失真地完全恢复为原来的连续信号x(t) 。香农（Shannon）采样定理：则采样信号x*(t)可以完全复现连续信号x(t)。其中，s为采样频率，T为采样周期，h为连续信号中最高次谐波的角频率。如果采样频率满足下列条件采样定理是从离散信号完全复现原连续信号的必要条件。该定理给出了信号采样的最小采样频率，是设计离散控制系统时必须严格遵守的一条准则。168.2.2 采样定理采样周期的选择：工程实践表明，根据表8-1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。

7、 控制参数采样周期T/s流量13压力15液位510温度1020成分1020表 8-1 采样周期T的参考数据178.2.2 采样定理采样周期的选择：根据工程实践经验，从频域性能指标来看，随动系统的采样频率可近似取为即采样周期可按下式选取为从时域性能指标来看，通过单位阶跃响应的上升时间tr或调节时间ts，按下列经验公式选取：或者188.2.3 信号恢复零阶保持器：将离散信号转换成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号。信号恢复：将离散信号转换成连续信号的过程。常用零阶保持器来实现。1) 值外推x(kT+)=x(kT)(01，上式的无穷级数是收敛的，那么可得利用z变换的定义式及z变换的基本定理，得到常

8、用函数的z变换表，如表8-2所示。x(t)=1(t) x(kT)=1 (k=0,1,2,3, )X(z)=1+z-1+z-2+z-k+解248.3.2 z变换的方法2) 部分分式法欲求拉氏变换X(s)的z变换，先将X(s)进行部分分式分解，然后查z变换表，求得其对应的z变换X(z)。例 8-3 已知X(s)=a/s(s+a)，求对应的z变换X(z)。解 将X(s)表示为部分分式之和对应的z变换为258.3.2 z变换的方法3) 留数法已知连续函数x(t)的拉氏变换X(s)及其全部极点si(i=1,2, ,n)时，则x(t)的z变换X(z)可通过留数计算式求得。式中，si为彼此不相等的极点；ri

9、为重极点si的阶数；n为彼此不相等的极点个数。268.3.2 z变换的方法例 连续函数x(t)的拉氏变换为求对应的z变换X(z)。解27表8-2 z变换的基本定理28表8-2 z变换的基本定理298.3.3 z变换的基本定理设x1(z)=Zx1(t)，x2(z)=Zx2(t)，x (z)=Zx(t)。在z变换中有一些与拉氏变换类似的基本定理，应用这些定理可使z变换的运算变得简单方便。2) 滞后定理(负偏移定理、右偏移定理)时域信号滞后k个采样周期，其z变换需乘以z-k。 1) 线性定理：离散信号线性组合的z变换等于它们的z变换的线性组合。式中a1、a2为常数。308.3.3 z变换的基本定理5

10、) 初值定理如果存在，那么 6) 终值定理：如果(z-1)X(z)在z平面的单位圆上和单位圆外均无极点，那么x(t)的终值为3) 超前定理(正偏移定理、左偏移定理)4) (复数)位移定理式中a为常数。318.3.4 z反变换1) 幂级数(展开)法长除法已知象函数X(z)，求原函数x*(t)或x(kT) 的运算，称为z反变换，记为x*(t)=Z-1X(z)。设X(z)为有理函数将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式，则可以直接用分母去除分子，得到无穷幂级数的展开式对应的离散信号为328.3.4 z反变换例 已知试求其z反变换。解 将X(z)的分子和分母都写成z-1的升幂形式应用长除法得对应

11、的离散信号x*(t) 为x(t)在各采样时刻的值为x(0)=0； x(T)=10； x(2T)=30； x(3T)=70；338.3.4 z反变换2) 部分分式法先将X(z)/z展开成部分分式的形式，然后再乘以z，化成的形式，通过查z变换表求得离散信号x*(t)或x(kT)或x(k)。348.3.4 z反变换例 已知，试求其Z反变换。查Z变换表得那么x(kT)或x(k)=10(1+2k) (k=0,1,2, )解358.3.4 z反变换3) 留数法留数法是求z反变换的一种普遍方法。x(kT)等于函数X(z)zk-1在其全部极点上的留数和。zi(i=1,2, ,n) 彼此不相等的极点n 彼此不相

12、等的极点个数ri(i=1,2, ,n) 重极点zi的重数368.3.4 z反变换例 已知，试求其Z反变换。那么解378.4 离散控制系统的数学模型8.4.3 离散控制系统的结构图8.4.1 差分方程8.4.2 脉冲传递函数388.4.1 差分方程也可以用下列n阶前向差分方程描述：398.4.1 差分方程求解差分方程常用的方法有迭代法和z变换法。1) 迭代法已知线性定常离散系统的差分方程式，并且给定输出序列的初值，则可以递推计算出在输入作用下的输出序列。例 已知下列二阶差分方程输入序列r(k)=1，初始条件c(0)=0，c(1)=1，试用迭代法求输出序列c(k) (k=0,1,2, ,10) 。

13、408.4.1 差分方程解 由给定的差分方程可得递推关系根据初始条件及递推关系，求得418.4.1 差分方程2) z变换法解 设c*(t)的z变换为C(z)，由超前定理知对差分方程求z变换，可得对C(z)求z反变换，得到例 8-11 用z变换法解下列二阶差分方程初始条件为c(0)=0，c(T)=1。或428.4.2 脉冲传递函数1) 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数(z传递函数)：当初始条件为零时，线性定常离散系统(或环节)输出离散信号的z变换与输入离散信号的z变换之比，即43利用z变换导出线性离散系统的脉冲传递函数，给线性离散系统的分析和综合带来极大的方便。 8.4.2 脉冲传递函数2) 脉冲

14、传递函数的物理意义 在大多数情况下，系统的输出是连续信号c(t)，而不是离散信号，这时可在输出端虚设一个与输入采样开关同步的采样开关得到离散信号c*(t)，从而推导出系统的脉冲传递函数。448.4.2 脉冲传递函数假设当n= 1, 2, 3, 时， g(nT)=0，即当nk时， g(kTnT)=0。则有输入脉冲序列根据叠加原理，输出量c(t)为一系列脉冲响应之和，即458.4.2 脉冲传递函数根据z变换的定义，输出量c(t)的z变换C(z)为468.4.2 脉冲传递函数上式可以写为那么脉冲传递函数脉冲传递函数的物理意义：脉冲传递函数G(z)是系统脉冲过渡函数g(t)经采样后g*(t)的z变换。

15、478.4.2 脉冲传递函数例 8-13 已知开环离散系统连续部分的传递函数为G(s)=k/(s+a)(s+b)，试求对应的脉冲传递函数G(z)。解 将G(s)展开为部分分式对应的z变换为脉冲响应g(t)级数求和法脉冲传递函数G(z)传递函数G(s)部分分式法或留数法差分方程z变换脉冲传递函数G(z)脉冲传递函数G(z)488.4.3 离散控制系统的动态结构图1) 开环系统的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数 环节间有采样开关隔开的情况有采样开关隔开，串联环节的脉冲传递函数等于相串联环节各自的脉冲传递函数的乘积。498.4.3 离散控制系统的动态结构图 环节间无采样开关隔开的情况无采样开关隔开

16、，串联环节的脉冲传递函数等于相串联环节传递函数乘积所对应的z变换。508.4.3 离散控制系统的动态结构图有零阶保持器时的开环脉冲传递函数，若W(s)所对应的z变换为W(z)，则(1-e-Ts)W(s)所对应的z变换是(1-z-1)W(z) 。518.4.3 离散控制系统的动态结构图连续信号进入连续环节的情况连续的输入信号直接进入连续环节时，只能求得系统的输出表达式C(z)。528.4.3 离散控制系统的动态结构图2) 闭环系统的脉冲传递函数在离散系统中，由于采样开关在系统中所设置的位置不同，结构形式就不一样，因此系统的闭环脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据系统的实际结构具体地求取。闭环

17、脉冲传递函数：闭环离散控制系统输出信号的z变换与输入信号的z变换之比，即当连续的输入信号直接进入连续环节时，而只能求得系统的输出表达式C(z)。538.4.3 离散控制系统的动态结构图求闭环脉冲传递函数的方法方法一：选择系统输出变量和采样开关输出端的变量(中间变量)，用z域象函数列写方程组，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。方法二：选择系统输出变量和采样开关输入端的变量(中间变量)，用s域象函数列写方程组，然后对方程组中的各变量进行采样后取z变换，消去中间变量，得到闭环脉冲传递函数或输出表达式。s域象函数采样的公式Y(s)X*(s)*=Y*(s)X*(s)Y*(s)X*(s)*=

18、Y*(s)X*(s)Y(s)X(s)*=YX*(s)548.4.3 离散控制系统的动态结构图例 设有如图所示离散控制系统，在误差信号传递通道上无采样开关。试求系统的输出表达式C(z)。c*(t)r(t)c(t)TC(z)x(t)x*(t)TX(z)R(s)解 方法一：列写方程组X(z)=RG1(z)-G1G2H(z)X(z)C(z)=G2(z)X(z)558.4.3 离散控制系统的动态结构图消去中间变量，得方法二：列写方程组X(s)=R(s)- X*(s)G2(s)H(s)G1(s)C(s)=X*(s)G2(s)c*(t)r(t)c(t)TC(z)x(t)x*(t)TR(s)X(s)X*(s)

19、C*(s)568.4.3 离散控制系统的动态结构图消去中间变量，得对以上两式离散化X*(s)=RG1*(s)- X*(s)G1G2H*(s)C*(s)=X*(s)G2*(s)以上两式取z变换X(z)=RG1(z)- X(z)G1G2H(z)C(z)=X(z)G2(z)578.4.3 离散控制系统的动态结构图解 方法一：列写方程组X(z)=G1G2(z)E(z)-X(z)C(z)=G1(z)E(z)-X(z)E(z)=R(z)-G3(z)C(z)例 求如图所示离散控制系统的闭环脉冲传递函数(z)=C(z)/R(z)。r(t)c(t)c*(t)TC(z)R(s)C(s)x*(t)X(z)c*(t)

20、C(z)e*(t)E(z)图 (a)588.4.3 离散控制系统的动态结构图消去中间变量，得r(t)c(t)c*(t)TC*(s)R(s)C(s)x*(t)X*(s)c*(t)C*(s)e*(t)E*(s)E(s)X (s)C (s)图 (b)E(s)=R(s)- C*(s)G3(s)X(s)=E*(s)-X*(s)G1(s)G2(s)=E*(s)G1(s)G2(s)-X*(s)G1(s)G2(s)C(s)=E*(s)-X*(s)G1(s)=E*(s)G1(s)-X*(s)G1(s)方法二：列写方程组598.4.3 离散控制系统的动态结构图对以上方程组离散化E*(s)=R*(s)- C*(s)

21、G3*(s)X*(s)=E*(s)G1G2*(s)-X*(s)G1G2*(s)C*(s)=E*(s)G1*(s)-X*(s)G1*(s)X(z)=E(z)G1G2(z)-X(z)G1G2(z)C(z)= E(z)G1(z)-X(z)G1(z)E(z)=R(z)- C(z)G3(z)取z变换消去中间变量，得60表8-3 典型闭环离散系统及其输出z变换C(z)61表8-3 典型闭环离散系统及其输出z变换C(z)628.5 离散控制系统的性能分析8.5.1 稳定性8.5.3 稳态误差8.5.2 动态性能638.5.1 稳定性1) 稳定的充分必要条件线性离散系统的闭环脉冲传递函数pj - 闭环极点 z

22、i 闭环零点M(z) 分子多项式 D(z) 分母多项式、特征多项式单位阶跃输入时的系统输出648.5.1 稳定性1) 稳定的充分必要条件线性定常离散系统稳定的充要条件：全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，即|pj|1，相应的线性定常离散系统是稳定的。稳定条件z反变换得单位阶跃响应658.5.1 稳定性2) 双线性变换与稳定判据通过一种双线性变换，使z平面的单位圆内映射到一个新平面的左半平面。双线性变换或双线性变换的映射关系：令z=x+jy，则668.5.1 稳定性2) 双线性变换与稳定判据 z平面的单位圆内部：x2+y21u1u0，即w平面的右半平面。 z平面的单

23、位圆上：x2+y2=1u=0，即w平面的虚轴。0ujvw平面z平面xjy0-1利用劳斯判据判定离散系统的稳定性： 通过双线性变换将特征方程D(z)=0变为新的特征方程D(w)=0； 对于新的特征方程D(w)=0，利用劳斯判据判定系统的稳定性。678.5.1 稳定性将 代入上面的特征方程，得解w32.451.52w23.620.4w11.25w00.4Routh阵列表Routh表中第一列元素均为正，故离散系统稳定。例 8.23 已知离散系统的特征方程为试判定离散系统的稳定性。688.5.2 动态性能69应用z变换法分析线性定常离散系统的动态性能，通常有时域法、根轨迹法和频域法，其中时域法最简便。

24、如果已知离散系统的数学模型，通过递推法或者z变换法可以求出在典型给定输入信号作用下的输出响应。与线性定常连续控制系统类似，线性定常离散控制系统的闭环极点在z平面上的分布对动态响应特性起着决定性的作用。8.5.2 动态性能离散系统闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的分布对系统的动态响应具有重要影响。确定它们之间的关系，对分析和设计离散系统具有指导意义。1) 闭环极点与动态响应的关系线性离散系统的闭环脉冲传递函数708.5.2 动态性能单位阶跃响应- 稳态分量- 暂态分量718.5.2 动态性能0pj1：单调衰减过程-1pj1：单调发散过程pj-1：正负交替振荡的发散过程Pj=1：等幅过程pj=-1

25、：正负交替振荡的等幅过程728.5.2 动态性能|pj|1：发散振荡过程pk越靠近正实轴，振荡周期越大； pk越靠近负实轴，振荡周期越小。|pj|1：衰减振荡过程738.5.2 动态性能由阶跃响应求性能指标的步骤如下：2) 动态性能分析(1) 由闭环脉冲传递函数(z) ，求输出量的z变换：(2) 利用长除法将上式展开成幂级数，通过z反变换求得c*(t)。(3) 由c*(t)在各采样时刻的值，得到p%、tr、tp、ts等性能指标。其中p%为最高采样值的超调量； tr为第一次等于或接近稳态值所对应的采样时刻； tp为最高采样值所对应的采样时刻； ts为进入允许误差范围时采样点所对应的采样时刻。74

26、8.5.2 动态性能例8-20 已知系统如图所示，T=1(s)，K=1，r(t)=1(t)，试求系统的动态性能指标。解 开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为758.5.2 动态性能单位阶跃响应的z变换为用长除法将C(z)展成幂级数：则768.5.2 动态性能由图可以求得给定离散系统的近似性能指标为：p%=40%、tr=2(s)、tp=4(s)、ts=12(s)778.5.3 稳态误差离散系统的稳态响应特性与连续系统类似，它是用稳态误差来表征的，且稳态误差的大小取决于系统的特性(结构和参数)和输入信号的形式，仍然与系统的无差度(或系统的型别)有关。下面介绍计算线性离散系统稳态误差的终值定理和静态

27、误差系数法。788.5.3 稳态误差1) 离散控制系统的稳态误差误差脉冲传递函数误差当系统稳定，即e(z)的全部极点都位于z平面的单位圆内时，应用终值定理可得稳态误差798.5.3 稳态误差2) 静态误差系数法系统的型别：若系统的开环脉冲传递函数G(z)含有个z=1的开环极点，则称之为型系统或系统的无差度为 。 阶跃输入信号r(t)=R1(t)式中- 静态位置误差系数808.5.3 稳态误差 速度输入信号r(t)=Rt式中- 静态速度误差系数818.5.3 稳态误差 加速度输入信号r(t)=Rt2/2式中- 静态加速度误差系数828.5.3 稳态误差表8-6 单位反馈离散控制系统的静态误差系数

28、和稳态误差838.5.3 稳态误差例 已知离散系统的结构如图所示，采样周期T=1秒，求在 r(t)=3+4t 作用下系统的稳态误差。r(t)e(t)e*(t)c(t)图 离散系统的结构图解 开环脉冲传递函数为848.5.3 稳态误差系统特征方程为即解得特征根特征根均位于z平面的单位圆内，故系统稳定。静态误差系数分别为则系统的稳态误差为858.6 数字控制器的设计线性离散系统的设计方法：1、模拟化设计-间接设计法 先按连续系统进行设计，然后将所设计的模拟控制器离散化得到数字控制器。2、数字化设计-根轨迹法和频率法 根轨迹法和频率法在离散系统中的推广。将控制对象离散化，并用离散系统理论在z平面或w

29、平面上进行设计的两种直接设计方法。3、数字化设计-数字控制器直接设计法 直接根据离散系统理论在z域进行综合的解析方法。868.6 数字控制器的设计8.6.1 模拟控制器的离散化8.6.3 频率特性法校正8.6.2 根轨迹法校正8.6.4 数字控制器直接设计法878.6.1 模拟控制器的离散化将模拟控制器离散化为数字控制器，首先要满足稳定性条件，即一个稳定的模拟控制器离散化后，应当也是一个稳定的数字控制器。此外，数字控制器在关键频率范围内的频率特性，应与模拟控制器相近，这样才能起到设计时预期的综合校正作用。离散化的方法很多，这里介绍常用的两种方法：双线性变换法和零极点匹配法。888.6.1 模拟控制器的离散化89由z变换算子 可得 ，而 的级数展开式为取其一次近似，即于是，有双线性变换公式因此，双线性变换法的离散化公式为该双线性变换又叫做图斯汀（Tustin）变换，它是最常用的一种离散化方法。 1双线性变换法8.6.1 模拟控制器的离散化902零极点匹配法零极点匹配法的具体步骤如下：1) 用 将s平面的零点、极点 映射z为平面的零点、极点 。通常选择 。否则，当 有 的极点，必须使用某个不为零的频率值。2) 如果在s平面上传递函数有无穷远处的零点，则在z平面上配置 的零点。的增益 ，使得3) 数字控制器与模拟控制器的增益相匹配。选择8.6.1 模拟控制器的离散化91解 双线