2022新高考总复习《数学》(人教)第七章　空间向量与立体几何指点迷津(二)　球与空间几何体的切接问题_第1页
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1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI指点迷津(二)球与空间几何体的切接问题第七章20221.外接球的问题球面经过多面体的所有顶点的球,叫多面体的外接球.球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球,叫旋转体的外接球.解决外接球的问题,要注意球心到顶点的距离就是球的半径,长方体外接球的直径就是长方体的对角线长,三棱锥的外接球要找出三棱锥的底面截球所得的截面圆,画出以这个截面圆的直径为弦的球的大圆,把问题转化为研究圆的问题,利用大圆的弦(三棱锥底面外接圆的直径)和球半径之间的关系,求出球的半径,那么问题就容易解决了.旋转体的外接球问题,要画出

2、轴截面,把问题转化为平面几何中圆的问题来解决.思路分析计算空间几何体外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,结合球心与截面圆圆心的距离、球半径、截面圆半径所构造的直角三角形勾股关系求解.方法总结要求外接球的表面积和体积,关键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:若三棱锥的三条棱两两垂直则用4R2=a2+b2+c2(a,b,c为三条棱的长);若SA平面ABC(SA=a),则4R2=4r2+a2(r为ABC外接圆半径);可以转化为长方体的外接球;特殊几何体可以直接找出球心和半径.变式发散若本例(1)中,三棱锥P-ABC的底面ABC变为边长为 的等边三角形,其他条件不变,求该三棱锥外接球的表面

3、积.2.内切球的问题与多面体(或旋转体)的各个面都相切的球,叫做多面体(或旋转体)的内切球.解答内切球的问题时,首先要找准切点,通过部分切点和球心作球的大圆截面来解决.如正四面体的内切球,要用两个切点和球心三点确定的平面作截面,如图截面三角形只有两条边和球的大圆相切,有了这个截面图形,问题转化为三角形和圆的问题,再利用切点是等边三角形的中心,那么问题很容易解决.【例2】 设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1,则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为.方法总结处理球的“切”问题的求解策略与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切于多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.答案 B 对点训练2球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都相切,点M为棱DD1的中点,则平面A

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