精品解析：2021年全国高考甲卷数学文试题解析版

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小J5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设集合M = 1,3,5,7,9,N = x|2x7,则MC|N=()A. 7,9B. 5,7,9【答案】B【解析】【分析】求出集合N后可求McN.C. 3,5,7,

2、9D. 13,5,7,9)7、【详解】N=于20 ,故McN = 5,7,9, 故选：B.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如卜频率分布直方图：I箜组赛根据此频率分布直方图，卜面结论中不正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表

3、乘以相应 的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1.所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可 作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02 + 0.04 = 0.06 = 6%,故A正确；该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04 + 0.02x3 = 0.10 = 10%,故B正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.10 + 0.14+ 0.20 x 2 = 0.64 = 64% 50%,故 D 正

4、确：该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.02 + 4x0（M + 5x0 K） + 6x0.U+7xO20+8x0 20+9x00+K）x0 10+11x0 04 + 12 x 0 02 + 13x002+14x002768（万元），超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选:C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础即，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于频率丽X组距.3.已知(1 一炉z = 3 + 2i,则=()D.【答案】B【

5、解析】【分析】由已知得2 = 上，根据发数除法运算法则，即可求解.-2/【详解】(l ifz = 2iz = 3 + 2i.3 + 2/ (3 + 20-z -2 + 3i f 3.z = = -l + z.-2i-2/z22故选：B.卜列函数中是增函数的为()D. f(x) = l/xA. f(X)= -XB. /(%) = (,)C. f(X)= X2【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A, /(X)= -X为R上的减函数，不合题意，舍.对于B, /(x) = (|)为R上的减函数，不合题意，舍.对于C,= W在(-8,0)为减函数，不合题

6、意，舍.对于D, /(彳)=私为R上的增函数，符合题意，故选：D.点(3,0)到双曲线-三=1的一条渐近线的距离为() TOC o 1-5 h z A. B一C一D一5555【答案】A【解析】【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.22【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：二一二=0,即3x4y = 0,16 99 + 09结合对称性，不妨考虑点（3.0）到直线3x+4.v = 0的距离：d = -= = -.故选：A.6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L和小数

7、记录表的数据V的满足L = 5 + lgV.己知某同学视力的五分记录法 的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为（）（即而* 1.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】【分析】根据L，V关系，当L = 4.9时，求出恒丫，再用指数表示V,即可求解.【详解】由L=5 + lgV,当L = 4.9时，电丫 = 一0，I -11则VulOW=lO 10 = -=0.8.版 1.259故选：C.7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E, F, G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多 面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）正视图D【解析

8、】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，8.在 aABC 中，己知 6 = 120, AC = M，AB = 2,则 6C=(A. 1b.aD. 3【答】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于8C长度的方程，解方程即可求得边长.【详解】设A5 = c,AC = 48C = a, 结合余弦定理：h2 =a2 +c2 -2accosB 可得：19 = / + 4-2xaxcosl20，即：+2a 15 = 0，解得：a = 3(a = 5 舍去)，故6c = 3.故诜：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形

9、的类型:(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.9.记S”为等比数列q的前项和.若邑=4, S4 = 6,贝”6=()A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根据即目条件可得邑-邑，Se-S,成等比数列，从而求出S.-5/15cosa = qi-siir a =， tan a =4cos a15故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解施的关健是利用二倍角公式化简求出sina.333【答案】 3则/)5 D.-3【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可

10、求得/6）的值.【详解】由题意可得：/二、可而噌卜1-升噌）故仔?故选：c.【点睛】关健点点睛：本题主要考资了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化 是解决本膜的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量满足。卜3,= 5,45=1 ,则卜.【答案】3/2【解析】【分析】根据题目条件，利用-坂模的平方可以得出答案 【详解】 a-k=5a-/?| =a +b -2a b = 9+ b -2 = 25. b = 3f2.故答案为：3/2 14.已知一个圆锥的底面半径为6,其体枳为30江则该圆锥的侧面积为.【答案】394【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥

11、的高，进一步求出母线长，最终利用侧面枳公式求出答案.【详解】V = ；461/ = 30万.5 h =一2./=7?777 遂 j+Y13:.S网=7tr = /rx6x = 39/r.故答案为：391.15.已知函数f（x） = 2cos（3i + e）的部分图像如图所示，则/【答案】一百【解析】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解/jg）的值即可.乙）【详解】由题意可得：-T = -,/.r = 6y= 2, 41234Tt13不二当x =-时，0 x+0=2x13(p= 2k-(p= 2k乃7r(k e Z),6令 =1可得：中=-。, 6据此行:/(x) = 2cos 2x-j,/-

12、1 = 2cos2xy- =2cos1=一百.故答案为：-JL【点睛】已知AM=Acos（sx+夕）（A0,口0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求 待定系数G和四常用如卜两种方法：（1）由/= 下即可求出3确定9时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或卜降）的“零点”横坐标X0，则令COXq +多=。（或3Xo + =兀），即可求出外（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出”和如若 对A. 的符号或对3的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.22.已知月,为椭圆c：土+ 21 = 1的两个焦点,p，2为C上关于坐标

13、原点对称的两点，且归 二比闾， 16 4则四边形pflqf2的面积为.【答案】8【解析】【分析】根据已知可得产，尸设|PK|=m,|PFJ=，利用勾股定理结合叶 =8,求出？，四边形面积等于？，即可求解.【详解】因为P，。为C上关于坐标原点对称的两点，且|?。|=|尼|,所以四边形为矩形，设|= im PFZ |= n ,则机+ = 8,6？=48 ,所以 64 = （/ + /=nr + 2mn + n2 =48 + 2mn ,加=8,即四边形面积等于8故答案为:8.三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程程或演算步骤，第1721题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题

14、为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别 用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附:黑P（K2ik）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%： 60%：（2）能.【解析】【分析】本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给

15、出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为博 = 75%, 200120 乙机床生产的产品中的一级品的频率为一=60% .200/ 400（150 x80-120 x50）2 400 in 106.635，270 x130 x200 x20039故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.记5.为数列%的前项和，已知见0,%=3q,且数列、：是等差数列，证明：4是等差数 列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】先根据厄一求出数列#7公差d,进一步写出忖的通项，从而求出q的通项公 式，最终得证.【详解】数列底是等差数列，设公差为1=厄-6=疯志一直二向Sn =

16、后( 6 N,) :.当之 2 时，a = Sn - S,i =卬/ 一 q ( - 1 1 = 2a- q当 =1 时，2qxl-q=q,满足q, = 2q-q,:.%的通项公式为 =2-可(w N)an an-i = (2q - q ) - 2q (-1) - q =2q可是等差数列.【点睛】在利用q, = S“- S,i求通项公式时一定要讨论n = 1的特殊情况.已知直三棱柱A8C A4G中，侧面9瓦5为正方形，AB = BC = 2, E,尸分别为AC和C&的中 点，BF上(1)求三棱锥尸一七5。的体积;(2)已知。为棱A4上的点，证明：BF上DE .【答案】(1)； (2)证明见解析

17、.【解析】【分析】(1)首先求得AC的长度，然后利用体枳公式可得三棱锥的体枳；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂宜的问题转化为证明线而垂宜，然后再由线面垂直可得题中的 结论.【详解】(1)如图所示，连结AE由题意可得：BF = JBC、CF2 =TT = 6由于A8_LBBi，BCLAB, BBQBC = B,故居_L平面8。四,而平面SCC；d，故AB上BF,从而有 AF = AB2 + BF2 =/4+5=3从而 AC = lAF2-CF2 =y/9l = 2五，则AB- + BC2 = AC2,.-. AB1BC , ABC为等腰直角三角形，s4RCE= ；Smc = ；x（；x

18、2x2）=1,Vf1ca11= xSABCxCF = -x1x1 = -.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个楼长为2的正方体ASCM - A4GMi,如图所示，取棱AAA8C的中点、G,连结 A”,G,G6,正方形6CQ4中，G,尸为中点，则又 3尸 _L A纥,A4 Pl BG = 4 ,故6/_L平面AgG“，而。Eu平面AdG”,从而BF上DE .【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我 们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体枳.对于空间中垂直关系（线线、线面、面 面）的证明经常进行等价转化.设函数/（1）= /工

19、2+办一31111+1，其中40.（1）讨论/（X）的单调性；（2）若y = /（x）的图像与4轴没有公共点，求。的取值范围【答案】（1）的减区间为增区间为（,十8）：（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据/0及（1）的单调性性可得/（初a0,从而可求a的取值范围.【详解】（1）函数定义域为（0,+8）,又小）=（223）（2 1）, X因为40,40,故2。丫十30,当 时，fx） 0 ；所以/（1）的减区间为（0，：），增区间为(I_,+oO a（2）因为/（1） = +。+10且y = x）的图与x轴没有公共点, 所以=/（x）的图象在工轴的

20、上方，由中函数的单调性可得/（）* = /=3 311=3 + 3111。,故3 + 31na0 即 4 -【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转 化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.抛物线C的顶点为坐标原点焦点在x轴上，直线/： x = l交C于P, 2两点,且OP_L。.己知点M（2,0）,且G）M与/相切.（1）求C，0M的方程；（2）设是C上的三个点，直线A4，均与。例相切.判断直线与。M的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线C:y? = x,。例方程为。一2+ y? = l； （2）相切，理由见解析【解析】【分析

21、】（1）根据已知抛物线与x = l相交，可得出抛物线开II向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由OP_L。，即可求出：由圆与立线x = l相切，求出半径，即可得出结论：（2）先考虑AA斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若AA，AA3，AA斜率存在，由a，a，a三点在抛物线匕 将直线44?.4/?.人人斜率分别用纵坐标表示，再由A4，AA与圆m相切，得出月+力，”.力与K的关系，最后求出加点到直线AA的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线C：俨= 2px（pO）,P（l,yo），O（y。），/OPlOQ1:.OPOQ = l-y- = l-2p = 0.：.2p = l,所

22、以抛物线C的方程为y = x,”（0,2）,。与x = l相切，所以半径为1,所以QM的方程为（.1一2尸+俨=1；（2）设A（.vjJ,4（x2,4）,A（巧，必）若AA斜率不存在，则4A方程为x=i或犬=3,若A4方程为x=i,根据对称性不妨设A。），则过A与圆相切的另一条直线方程为）=1， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在4,不合题意:若AA方程为x = 3,根据对称性不妨设A（3.O），A（3.JJ）, 则过A与圆/相切的直线A4为），一6 =弓（一3）,又忆二竺士 = 二 -/ 为一天 M +后 ,3 +%工3 = o.a（o.o）,此时直线Aa,AAs关于工轴为称， 所以直

23、线A4与圆M相切：若直线A A，A A，A4斜率均存在，, 1 , 1 , 1 则&AA _-,及人心-,所以宜线A4方程为y -弘=一（x -8），% 十 %整理得 x （K + K）y+XK=O, 同理直线A 4的方程为x -（,+ yjy+ =。, 直线 A A 的方程为 x-（y2 + y5）y+ y2y3 = 0,12 + y |AA与圆m相切，.7 +（.；;二1整理得（y； -1）7 + 1所以直线A A与圆m相切；综上若直线AAa/3与圆m相切，则直线与圆相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为 只与纵坐标（或横坐标）

24、有关：（2）要充分利用AA，AA的时称性，抽象出h+为，”丹与其关系，把 K，x的关系转化为用力表示.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修44：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xQv中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2=2/Tcos。.（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程：（2）设点A的立角坐标为（1,0）, M为C上的动点，点P满足丽=夜丽，写出尸的轨迹。1的参数方 程，并判断C与G是否有公共点.【答案】（x-同+户2：（2）尸的轨迹.的参数方程为卜=3 - q+2cos。（J为参数），c与 71y = 2sin 夕G没有公共点.【解析】【分析】（1）将曲线c的极坐标方