2020-2021学年安徽省合肥168中学高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

1、2020-2021 学年安徽省合肥 168 中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 1,0，1，2，3， = 1,0，1， = 1,2，则( ) ( ) = ()A. 3B. 2,32.若 0，则 1的()充分不必要条件C. 充要条件C. 1,0，3D. 1,0，2，3必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件中文“函数()”词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数“，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化.下列选项中，两个函数相同的一组是()A. () = 33与() =

2、 |C. () = 22 与() = 4B. () = 2与() = 2D. () = 1与() = 2 114.若 0， 14= 3，则的最小值为()A. 2B. 6C. 3D. 95.若奇函数()在区间2, 1上单调递减，则函数()在区间1,2上()A. 单调递增，且有最小值(1)C. 单调递减，且有最小值(2)B. 单调递增，且有最大值(1)D. 单调递减，且有最大值(2)6.关于 x 的不等式2 0的解集为(3,1)，则不等式2 0的解集为()A. (1,2)B. (1,2)C. ( 1 , 1)2D. ( 3 , 1)2已知sin() = 5， ( , )，则 = ()452A. 3

3、B. 3C. 1D. 122|,0 8.已知() = ，若方程() = 0至少有两个不相等的实根，则 k的取值范围是()A. (0,1)B. (0,1C. 0,1)D. 0,1第 1 页，共 16 页9.函数() = sin( + )( 0, | )的部分图象2如图所示，为了得 = sin(2 )的图象，只需将()6的图象()向右平移个单位长度3向右平移个单位长度4向左平移个单位长度3向左平移个单位长度4希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是 的外接圆和以 AB 为直径的

4、圆的一部分，若 = 2， = = 1，则该月牙形的周长3为()(33+4)B.(33+2)C.(33+2)D.(33+4)6363A.给出下列命题：(1)第四象限角的集合可表示为|2 + 3 2, ；2(2)函数 = log2(2 + 4 5)的单调递增区间为(2, +)； (3)函数 = 2(3 + )的图象关于直线 = 对称；69(4)函数 = 3 + 的零点所在区间为(0,1) 其中正确命题的个数有()A. 1B. 2C. 3D. 4| 2|, 012.函数() = +1，若1 2 3，且(1) = (2) = (3)，则2 ( 1 )的2, 1，2 2 + 1 0的否定是第 2 页，共

5、 16 页15.已知( + 1) = 1，则() =，其定义域为16.如图，点 A 是半径为 1 的半圆 O 的直径延长线上的一点， = 3，B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边 ，则四边形 OACB 的面积的最大值为三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.(1)计算： 72；1log327 + 25 + 4 72(2)已知 = 2，求22 1 的值2sin(+)4+ (8)3 log92 log48118.设集合 = |2 2 3 0，集合 = |2 2 + (1)若 = 2，求 和 ；(2)设命题 p： ，命题 q： ，若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数

6、a的取值范围19.已知函数()是定义在(1,1)上的偶函数，当 0,1)时，() = log2(1 ) (1)求函数()在(1,1)上的解析式；2(2)求不等式(log ) 3 0的解集第 3 页，共 16 页第 PAGE 8 页，共 16 页2005 年 8 月 15 日，习近平总书记在浙江省安吉县余村首次提出了“绿水青ft就是金ft银ft”的重要理念.某乡镇以“两ft”理念引领高质量绿色发展，努力把绿水 青ft持续不断地转化为人民群众的金ft银ft.现决定开垦荒地打造生态水果园区， 其调研小组研究发现：一棵水果树的产量(单位：千克)与肥料费用10(单位：元52 + 10(0 2)满足如下关

7、系：() = 30.此外，还需要投入其它成本(如施肥40 (2 0且 1)与函数 = log3图象关于直线 = 对称 (1)求函数()，()解析式；(2)若方程() () = 0在 1,1上有解，求实数 m 的取值范围22.已知函数() = sin(2 + ) + sin(2 ) + 22( 0)的最小正周期为33(1)求函数()的单调递增区间；(2)若函数() = () 在区间 , 上恰有两个零点，求实数a 的取值范围4 4答案和解析【答案】A【解析】解：集合 = 1,0，1，2，3， = 1,0，1， = 1,2， 所以 = 1,0，1，2，所以( ) ( ) = ( ) = 3故选：A根

8、据集合的定义与运算性质，求出 ，再计算( ) ( )的值 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题【答案】C【解析】解：当 0时，1 1 = ，当 0，则1 1 = 0，即1 1成立，反之当1 1成立时， 0，则 成立，即 1的充要条件，根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键，是基础题【答案】C【解析】解：对于A，() =33 = ，定义域为 R，() = |，定义域为 R，两函数的对应关系不同，不是相同函数；对于 B，() = 2，定义域为(0, +)，() = 2 = 2|，定义域为(, 0) (0,

9、 +)，两函数的定义域不同，对应关系也不同，不是相同函数；对于 C，() = 22 = 4 ，定义域为 R，() = 4 ，定义域为 R，两函数的定义域相同， 对应关系也相同，是相同函数；对于 D，() = 1，定义域为 R，() = 21 = 1，定义域为(, 1) (1, +)，+1两函数的定义域不同，不是相同函数 故选：C根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数 本题考查了判断两个函数是否为相同函数的应用问题，是基础题【答案】C【解析】解： 0， 1+ 4 = 3， 0， 0， 3( + ) = ( + )( 1+ 4) = 5 + + 4 5 + 2 4= 9，

10、当且仅当 = 2 = 2时，取等号， 所以 + 的最小值为 3故选：C利用3( + ) = ( + )( 1+ 4) = 5 + + 4 5 + 2 4= 9，即可求解本题考查了基本不等式的应用，属于基础题【答案】C【解析】解：由奇函数的单调性知，函数()在区间1,2上得到递减，且由最大值(1)， 最小值(2)，故选：C根据奇函数在对称区间上单调性相同的性质进行判断即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的性质的应用，结合奇函数在对称区间上单调性相同是解决本题的关键，是基础题【答案】D【解析】解：根据题意，不等式2 + + 0， 且方程2 + + = 0的两个根为3和 1， = 3 + 1 = 2则

11、有，解得= 2，= 3， = (3) 1 = 3对于2 + + 0，变形可得 2 + + 0，即22 + 3 0，解得： 3 1，即不等式的解集为( 3 , 1)，22故选：D根据题意，先由二次不等式与二次方程的关系可得方程2 + + = 0的两个根为3 = 3 + 1 = 2和 1，则有，计算可得= 2，= 3，则不等式2 + + 0， = (3) 1 = 3变形可得22 + 3 【解析】解：函数() =|,0 ，方程() = 0至少有两个不相等的实根，画出函数图象如图，当 时，函数()的最大值为：1， 所以 k 的取值范围是：0,1故选：D画出函数的图象，求出函数在 时的最大值，然后由图象

12、可得 k 的取值范围本题考查分段函数的应用，函数的零点的判定，考查数形结合的思想方法的应用，属于中档题【答案】B【解析】解：由图象知3 = 7 ( ) = 9，即 = ，即2 = ，得 = 2，412则() = sin(2 + )，612由五点对应法得2 ( ) + = 0，得 = ，63则() = sin(2 + )，3由sin2( + ) + = sin(2 + 2 + ) = sin(2 )，336得2 + 2 + = 2 ，得2 = ，得 = ，3624即只需将()的图象向右平移个单位长度，即可，4故选：B根据图象求出函数的解析式，利用待定系数法进行求解即可本题主要考查三角函数的图象和

13、变换，根据图象求出函数的解析式，以及利用三角函数图象变换关系是解决本题的关键，是中档题【答案】A【解析】第 9 页，共 16 页【分析】本题主要考查了正余弦定理的应用，弧长公式的应用，属于中档题由题意，由余弦定理求出 AB，再利用正弦定理求出内侧圆弧所在圆的半径，利用弧长公式及圆的周长公式求解【解答】解：由 = = 1， = 2，由余弦定理可得 = 3，3设 的外接圆半径为 r，则 =3223= 1，又月牙内弧所对的圆心角为2，内弧的弧长为2 1 = 2；333月牙外弧的长为3 ，2则该月牙形的周长为2 + 3 = (33+4)326故选：A【答案】B【解析】解：对于(1)，根据象限角的定义知

14、，第四象限的角满足2 + 3 2 +22， ，而集合|2 + 3 0 1 函数 = log2(2 + 4 5)的单调递增区间为(1, +)，则(2)错；对于(3)，当 = 时， = 2(3 + ) = 2，达到最大值，所以函数 = 2(3+ )9966的图象关于直线 = 对称，则(3)对；9对于(4)，(0) = 2 0，所以函数 = 3 + 所(0,1)内有零点， 又因为()在 R 上严格递增，所以只有一个零点，则D 对；故选：B求出象限角即可判断，(2)用复合函数法求出递增区间，(3)用特值法确定对称性，(4)用函数递增且端点处函数值异号判断函数零点存在性本题以命题的真假判断为载体，考查了

15、函数的单调性和对称性及零点问题，属中档题【答案】B第 10 页，共 16 页【解析】解：作出函数() =| 2|, 021, 0的图象如图，不妨设1 2 3，则23 = 4，2 (0,2)，由(1) = (2)，得21 1= 2 2， 2 ( 1 ) = 2 (22) = 1 (222)，2 3442 2 (0,2)， 1 (222) (0, 1.故选：B424由题意画出图形，不妨设1 2 1，2 21 0【解析】解：全称命题 1，2 21 0，由全称命题的否定是特称命题得 1，2 21 0的否定是： 1，2 2第 11 页，共 16 页第 PAGE 15 页，共 16 页1 0故答案为： 1

16、，2 2 + 1 0根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，否定结论即可得到所求本题主要考查了命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题【答案】 1( 1)(1, +)(1)2【解析】解：令 + 1 = ，则 1， = ( 1)2，故() =1 (1)2，( 1)， 1 0，解得： 1，故 1，故() =1 (1)2，( 1)，故()的定义域是(1, +)，故答案为： 1( 1)，(1, +)(1)2令 + 1 = ，则 1， = ( 1)2，从而求出函数的解析式即可 本题考查了求函数的解析式，定义域问题，是一道基础题【答案】23【解析】【分析】本题主要考查三角函数模型和余弦定理的

17、应用，属于中档题设 = ，并根据余弦定理，表示出 的面积及 的面积，进而表示出四边形 OACB 的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解【解答】解：四边形 OACB 的面积= 的面积+ 的面积，设 = ， 2 = 2 + 2 2 = 3 + 1 2 1 3 = 4 23，则 的面积= 1 60 = 3 2 = 3 3 ，242 的面积= 1 = 1 1 3 = 3 ，222四边形 OACB 的面积= 3 3 + 3 = 3 + 3(1 3 )2222= 3 + 3sin( 60)，故当 60 = 90，即 = 150时，四边形 OACB 的面积最大值为3

18、 + 3 = 23， 故答案为：2317.【答案】解：(1)原式= 33 + lg(25 4) 2 + (23)1 2 343 2= 3 + 2 2 2 1 = 3；332222原式=222(sincos +cossin )(2 2 1)sin44= cossin sin+cos= 1 tan+1= 13【解析】本题考查了指数与对数的运算、三角函数的公式应用问题，解题的关键是掌握对数和指数的运算性质以及三角恒等式，属于基础题直接利用有理指数幂和对数的运算性质进行变形化简，即可得到答案；利用二倍角公式以及两角和差公式将要求解得式子化简，然后再利用同角三角函数关系求解即可18.【答案】解：(1)

19、= |2 2 3 0 = | 1 3， 当 = 2时， = |0 4，则 = | 1 4， = |0 3， (2)若 p 是 q 成立的必要不充分条件，则 B 是 A 的真子集，则2 2 + 或1 2 2 + 3， 得 0，或0 1，综上 1即实数 a 的取值范围是(, 1【解析】(1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合并集和交集定义进行计算即可(2)根据必要不充分条件的定义转化为 B 是 A 的真子集，进行求解即可本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，结合不等式的性质求出集合的等价条件是解决本题的关键，是基础题19.【答案】解：(1)设 1,0)，则 0,1)， 所以

20、() = log2(1 + )，又函数()是定义在(1,1)上的偶函数，所以() = ()，则 () = () = log2(1 + )，所以() = 2(1 ), (0,1) 2(1 + ), (1,0)(2)不等式(log) 3 0可化为不等式(log) (1)，22因为当 0,1)时，() = log2(1 )为增函数， 且函数()是定义在(1,1)上的偶函数，2所以原不等式等价于|log| 1，即1 log 1时，不等式的解集为(1, )；当0 1时，不等式的解集为(, 1).【解析】(1)设 1,0)，则 0,1)，由当 0,1)时，() = log2(1 )， 结合函数的奇偶性即可

21、求解函数()解析式；2(2)判断函数()的单调性，结合函数的奇偶性将不等式转化为|log| 1，即1 log 1，再对a 分类讨论，即可求得不等式的解集本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的性质解不等式，属于中档题20.(1)() =52 + 10(0 2)【答案】解：40 301+(2 5)，802 30 + 160(0 2)由题意，() = 16() 20 10 =640 4801+ 30(2 5)；(2)当0 2时，() = (2) = 420；当2 0且 1)与函数 = log3图象关于直线 = 对称 则() = ( 0且 1)与函数 = log3互为反函数，则 = 3，则() = 3 ，(2)根据题意，函数 = () () = (3 ) 3 = (3 )2 2 3 + 4 3 ，令3 = ， 1,1，则1 3，3则直线 = 3 与函数 = 2 2 + 4在区间1 , 3上有交点，3 = 2 2 + 4 = ( 1)2 + 3，在区间1 , 3上，有3 7，3必有3 3 7，解可得：1 log37， 故 m 的取值范围为1, log37【解析】(1)根据题意，由二次函数的性质可得 2= 1，则 = 2，又