剧场演出安排的优化模型

1、剧场演出安排的优化模型摘要 为解决某公司组织若干演出团体于11家剧场演出的相关问题（即 演出团体数、巡回演出路线、巡回演出时间、紧急情况下的应急预案等），主要 通过多目标多约束的优化模型实现了公司支付费用尽可能少，方案切实可行，过 程便于操作并利于管理以及公司和剧团合作双赢的多个目标。因此，本文特从影响演出安排的因素出发，确定出影响公司和剧团利益的 主要因素：加盟剧团数、剧团演出场次以及剧团的最优演出路线。本文根据九个 城市的地理位置制作了一个关于各城市间距离的EXCEL表格，然后根据旅行售 货商（TSP）模型利用LINGO进行编程，找出一条最优的巡回演出路线：青岛 一扬州一杭州一东阳一衢州一

2、温州一绍兴一嘉兴一无锡一青岛，然后结合实际情 况在满足演出安排的基本规则的情况下，综合考虑到公司与剧团双方利益建立了 多目标多约束的优化模型，求得与公司签订合同的剧团数和一轮巡演的天数，结 合以上因素最终制定出对于双方都比较合理的巡回演出方案。对于第一问，根据每个城市之间的距离按照旅行售货商（TSP）模型找出了 一条最优的循环演出路线，然后基于所建立的多目标优化模型和剧场所在各城市 之间的分布特点，在兼顾双方利益的前提下得到公司应与26个剧团进行合作， 并签订长期合作的合同，并以7天为一轮。然后利用剧团两两组合的方法将13 个组合剧团合理的安排在各个城市，进行巡回演出。对于第二问，参照第一问所

3、建立的模型，并在满足双方利益的前提下，合理 的安排出该公司在接下来的六个月里演出方案。对于第三问，根据所建立的模型，并联系到实际情况，本文考虑到三种特殊 情况，并给出了三种对应的应急方案。关键词：旅行售商模型（TSP）、多目标优化、LINGO编程、双赢一问题重述某演出公司旗下有11家剧场，分别位于以下地点：山东省岛市、江苏省无 锡市2家、江苏省扬州市、浙江省嘉兴市、浙江省杭州市2家、浙江省温州市、 浙江省绍兴市、浙江省东阳市、浙江省衢州市。公司需要组织 若干演出团体于 于各剧场演出，每家剧场每天均需按排一场演出。为了保证上座率和演出 效果，同一剧团每轮（指在同一家剧场连续不间断演出）演出时间有

4、一上 界，分别为：青岛市：14天；无锡市：各14天；扬州市：7天；嘉兴市： 7天；杭州市：各14天；温州市：7天；绍兴市：7天；东阳市：7天；衢 州市：7天。同一演出团体可以在不 同剧场巡回演出，但不 能在同一剧场多 轮演出。同一演出团体在同城的两家剧场（杭州或无锡）演出的间隔（指 自一家剧场演出结束至另一家剧场演出开始）不能小于45天。对加盟的演 出团体，公司都需支付一笔固定费用；根据每个剧团演出场次的不同，还 需支付该剧团相应的演出费用；另外公司还需承担剧团在不同城市巡回时 所需的交通费用。（以上所述前两项费用所占 比例较大。）对演出团体而言， 一旦加盟就希望演出较多的场次，并且在不同剧场

5、演出之间不能有太大的 时间间隔，巡 回路线也尽可能合理。试为公司制定一个这11家剧场的演出团体长期安排方 案，使公司支付 的费用尽可能少，方案应切实可行、便于操作、有利管 理、公司和剧团合 作双赢。准备一份给公司经理参阅的关于方案的简要说明（不超过两页），并附 一份简明直观的前六个月的安排方案，作为公 司和剧团执行的指南。3.是否能将你的模型推广到一般情形。简述出现各种特殊情况时你的应急预案。如某剧团因故 不能完成剩余演出，某剧团的节目不 适合在某城市演 出，某剧场另有专项演出任务等。模型假设假设各个剧团在任一剧场的演出效果相同。假设此演出公司的长期演出时间超过半年以 上。假设一个剧团一天只能

6、演出一场。假设交通便利，剧团在结束一个场次的演出后可以迅速赶到下一剧场进 行第二天的演出。问题分析某演出公司旗下有11家剧场，分别位于以下地点：山东省岛市、江苏省无 锡市2家、江苏省扬州市、浙江省嘉兴市、浙江省杭州市2家、浙江省温州市、浙江省绍兴市、浙江省东阳市、浙江省衢州市。公司需要组织 若干演出团体于 各剧场演出，每家剧场每天均需按排一场演出。为了保证上座率和演出效 果，同一剧团每轮（指在同一家 剧场连续不间断演出）演出时间有一上界。 分别为：青岛市：14天；无锡市：各14天；扬州市：7天；嘉兴市：7天； 杭州市：各14天；温州市：7天；绍兴市：7天；东阳市：7天；衢州市： 7天。同一演出

7、团体可以在不同剧场巡回演出，但不能在同一剧场多轮演出。 同一演出团体在同城的两家剧场（杭州或无锡）演出的间隔（指自一家剧 场演出结束至另一家剧场演出开始）不能小 于45天。对加盟的演出团体， 公司都需支付一笔固定费用；根据每个剧团演出场次的不同，还需支付该 剧团相应的演出费用；另外公司还需承担剧团在不同城市巡回时所需的交 通费用。其中前两项费用所占比例较大。对演出团体而言，一旦加盟就希 望演出较多的场次，并且在不同剧场演出之间不能有太大的时间间隔，巡 回路线也尽可能合理。（1）考虑到要为公司制定11个剧场的演出团体安排方案，本文根据剧场所 在城市的地理位置，利用LINGO软件求解出最优的巡回路

8、线；为了达到公 司和演出团体双赢，从目标出发分别建立双方的目标函数；然后根据具体 情况，确定公司应当签订的剧团数；最后根据具体的要求和条件制定出切 实可行、便于操作、有利管理、公司和剧团合作双赢的合理方案。（2）制定出给公司经理参阅的关于方案的简要说明（不超过两页）。本文跟 据第一问所建立的模型制定的方案，在满足各个条件下，简洁、清晰、直观的 安排出该公司在前六个月里的演出计划表，作为公司和剧团执行的指南。（3）对于所建立的模型推广到一般情形。考虑到可能出现的特殊情况，简述 在出现各种特殊情况时的应急预案。如：某剧团因故不能完成剩余演出， 某剧团的节目不适合在某城市演出，某剧场另 有专项演出任

9、务等。四符号的说明七表示演出的剧组数。n2表示剧场数。f表示公司给剧组的固定费用。1f2表示剧组演出一场公司的给的演出费用。f3表示交通费用。七表示剧组在一个剧场一轮表演的天数。S表示剧组完成所有剧场一轮的公司的总收益。七表示剧组完成所有剧场所用的天数。f4表示公司一天的收入。五.模型的建立与求解5.1第一问的求解：5.1.1确定公司所雇用的剧团数：根据第二问要求本文安排六个月的演出，本文就按t2=180天来计算，考虑 到剧场连续演出的时间有14天的，有7天的。7天的城市多于14天的城市，同 时考虑到要实现公司利益和剧组利益的双赢问题，本文按照剧组在一个剧场演出 的时间为7天，所以由公式气 二

10、，得到雇用26个剧团进行演出。又考虑到杭1州和无锡有两个剧场的问题，并且同一个剧组在这两个城市的两个剧组演出的时 间间隔不少于45天，所以本文采用两两组合的演出方法把26个剧团分为13组。本文根据中国地图找到任意剧场所在城市的距离整理得到表1.1青岛无锡表1.1 九大城市的距离表绍兴东阳衢州扬州力口 /、杭州温州青岛0665554781844120790910451050无锡6650165131220551253391449扬州5541650280300660360443552力口 /、781131280088422121255316杭州84422030088036764150258温州120

11、75516604223670317307287绍兴909253360121643170151249东阳10453914432551503071510155衢州10504495523162582872491550根据表格1.1通过LINGO求解得到最短循环路线为图1.2.（求解过程见附 录1）图 1.2.由表1.1和图1.2得出最优演出循环路线：青岛一扬州一杭州一东阳一衢州一温州一绍兴一嘉兴一无锡一青岛以上即为最短循环路线，也即对公司而言是所要支付的演出交通费用最低，公司 的收入达到最大；对剧组而言是演出时间间隔最短，在最短时间内演出场次最多， 利润最大。公司的最大利益函数公式：最大利益=收入-

12、固定费用-演出费用-交通费用s = t x f 一 n x f 一 n x f x t 一 n x f1241122213剧团的最大利润函数公式：最大利益二固定费用+演出费用s = n x f + n x f x t2112225.2第二问求解5.2.1如何才能使得公司和剧组的利益达到双赢：本文制定了 26个剧组，进行 两两组合的法案，分成13个小组，六个月进行两轮大循环。每个剧场安排两个 剧组，第一轮先让两个剧组在一个剧场（如青岛）一个演出，一个不演出一次完 成11个剧场；然后进行第二轮，让上次在那个剧场（如青岛）演出的休息没演 出的再演出，依次完成六个月的演出任务。表2.1为26组剧团六个

13、月的演出安 排时间表。表2.126组剧团半年演出安排表时 间青岛扬州杭州东阳衢州温州绍兴力口八无锡周1212演 出未演 出演 出未演 出演出演 出未演 出演 出未演 出演 出未演 出演 出未演 出演 出未演 出演出1ABCDEFGHIJKLMNOPQR2STUVWXYZBADCEFGHIJ3LKNMPOQRTSVUWXZYAB4CDFEGHJIKLMNPORQST5UVXWYZABDCEFGHIJLK6NMOPQRSTVUWXYZBACD7FEHGJILKMNPOQRTSUV8XWZYABCDEFGHJIKLNM9OPRQSTUVWXYZABDCFE10HGIJLKNMPOQRSTVUXW11

14、ZYBACDFEGHJILKMNOP12RQTSUVXWYZABCDEFHG13IJKLNMOPQRSTVUWXZY14BADCFEHGJILKNMPORQ15TSUVXWYZABCDFEGHIJ16KLMNOPRQSTVUXWZYBA17DCEFHGJILKNMOPQRTS18UVWXYZBACDFEHGIJKL19MNPORQTSVUXWZYABDC20EFGHJIKLNMPOQRSTUV21WXYZBADCFEHGJILKMN22PORQTSUVXWZYBACDEF23GHIJKLMNOPQRTSVUWX24YZABDCEFHGJIKLNMPO25RQSTUVWXZYBADCFEGH26

15、JILKMNPOQRTSUVXWYZ正如表2.1所列可以看到11个剧场每天均有演出，并且循 环路线为最 短线路，公司满足了每天均有演出的安排，并且使的利益最大；剧组演出 一轮一休息，并且到达下一剧场的时间最快，有了充分的歇息和备演下一 场演出的时间。双方达到双赢。5.3针对问题三5.3.1模型推广：（1）体育赛事中的淘汰赛，例如100个团队需要参加99场比赛；（2）在交通事故中，本文可以根据TSP模型找到离案发现场最近的交通.线路来及时的采取方案；（3）垃圾填埋场的最优化设计，来达到国家所花费的费用最少及垃圾填埋场 的位置。5.3.2应急预案：（1）当某剧团因故不能完成剩余的演出时，可以在满足

16、剧场安排要求的前提下， 将距其最近城市中未被安排演出的剧团调往前去，顶替该剧团进行演出，填补缺 席的剧团。（2）如果某个剧团的节目不适合在某个城市演出时，在满足剧场安排要求的前 提下，可以将距其最近城市未被安排演出的剧团调往前去，顶替该剧团进行演出， 让本应当在该剧场演出的剧团进行休息。（3）或者，将距离最近的某个城市中本应当按时演出的剧团和该剧场剧团进行 对调演出。（前提：调往过来的剧团节目适合该城市的演出。）对于某剧场另有专项演出任务的情况，可以暂时取消本应当在该剧场演出的剧 团的演出安排，让其休息。（至于相关的费用问题，公司和剧团可以协商解决。）六、模型的评价与改进6.1模型的评价优点：

17、该模型结合实际情况，根据剧场具体的分布情况合理的采用剧团两 两组合的方法，安排巡回演出方案。在确定签订剧团个数时，综合考虑到了所建 立的多目标多约束优化模型和剧场实际情况，使制定的方案贴切实际具有切实 可行、便于操作、有利管理的特点。不足：（1）当剧团巡回演完一个周期（两圈）再次回到已经演出过的 剧场时，可能会影响到演出效果。（2）关于应急预案实施过程中遇到的费用协商问题可能影响到某剧团 该场或者下场的演出效果。6.2模型的改进考虑到可能发生的紧急情况，可提前与26个剧团之外的剧团保持临时签约 联系，在额外增加最少费用的前提下，保证原剧团的正常休息和正常水平发挥。七、参考文献1袁新生，LING

18、O和EXCEL在数学建模中的应用，北京，科学出版社，20072韩中庚，数学建模方法及其应用】M，北京高等教育出版社，2005附录附录1利用LINGO求解到最优路线的运行程序和结果：运行程序：MODEL:sets:city/1.9/:u;link（city,city）:jl,x;endsetsdata :jl=0 665 554 781 844 1207 909 1045 1050665 0 165 131 220 551 253 391 449554 165 0 280 300 660 360 443 552781 131 280 0 88 422 121 255 316 844 220 30

19、0 88 0 367 64 150 258 1207 551 660 422 367 0 317 307 287 909 253 360 121 64 317 0 151 249 1045 391 443 255 150 307 151 0 155 1050 449 552 316 258 287 249 155 0; enddatan=SIZE( city); MIN=SUM( link: jl*x);FOR( city(k): SUM ( city(i)|i#ne# k:x(i,k)=1;SUM( city(j)|j#ne# k:x(k,j)=1;);FOR( city(i):FOR (

20、city(j)|j#gt#1 #and# i#ne# j:u(i)-u(j)+n*x(i,j)=n-1;);FOR( city(i): u(i)=n-1); FOR( link: BIN ( x);END运行结果：Global optimal solution found at iteration:40937Objective value:2680.000VariableValueReduced CostN9.0000000.000000U( 1)0.0000000.000000U( 2)8.0000000.000000U( 3)1.0000000.000000U( 4)7.0000000.0

21、00000U( 5)2.0000000.000000U( 6)5.0000000.000000U( 7)6.0000000.000000U( 8)3.0000000.000000U( 9)4.0000000.000000JL( 1, 1)0.0000000.000000JL( 1, 2)665.00000.000000JL( 1, 3)554.00000.000000JL( 1, 4)781.00000.000000JL( 1, 5)844.00000.000000JL( 1, 6)1207.0000.000000JL( 1, 7)909.00000.000000JL( 1, 8)1045.0

22、000.000000JL( 1, 9)1050.0000.000000JL( 2, 1)665.00000.000000JL( 2, 2)0.0000000.000000JL(2,3)165.00000.000000JL(2,4)131.00000.000000JL(2,5)220.00000.000000JL(2,6)551.00000.000000JL(2,7)253.00000.000000JL(2,8)391.00000.000000JL(2,9)449.00000.000000JL(3,1)554.00000.000000JL(3,2)165.00000.000000JL(3,3)0

23、.0000000.000000JL(3,4)280.00000.000000JL(3,5)300.00000.000000JL(3,6)660.00000.000000JL(3,7)360.00000.000000JL(3,8)443.00000.000000JL(3,9)552.00000.000000JL(4,1)781.00000.000000JL(4,2)131.00000.000000JL(4,3)280.00000.000000JL(4,4)0.0000000.000000JL(4,5)88.000000.000000JL(4,6)422.00000.000000JL(4,7)12

24、1.00000.000000JL(4,8)255.00000.000000JL(4,9)316.00000.000000JL(5,1)844.00000.000000JL(5,2)220.00000.000000JL(5,3)300.00000.000000JL(5,4)88.000000.000000JL(5,5)0.0000000.000000JL(5,6)367.00000.000000JL(5,7)64.000000.000000JL(5,8)150.00000.000000JL(5,9)258.00000.000000JL(6,1)1207.0000.000000JL(6,2)551

25、.00000.000000JL(6,3)660.00000.000000JL(6,4)422.00000.000000JL(6,5)367.00000.000000JL(6,6)0.0000000.000000JL(6,7)317.00000.000000JL(6,8)307.00000.000000JL(6,9)287.00000.000000JL(7,1)909.00000.000000JL( 7, 2)253.00000.000000JL( 7, 3)360.00000.000000JL( 7, 4)121.00000.000000JL( 7, 5)64.000000.000000JL(

26、 7, 6)317.00000.000000JL( 7, 7)0.0000000.000000JL( 7, 8)151.00000.000000JL( 7, 9)249.00000.000000JL( 8, 1)1045.0000.000000JL( 8, 2)391.00000.000000JL( 8, 3)443.00000.000000JL( 8, 4)255.00000.000000JL( 8, 5)150.00000.000000JL( 8, 6)307.00000.000000JL( 8, 7)151.00000.000000JL( 8, 8)0.0000000.000000JL(

27、 8, 9)155.00000.000000JL( 9, 1)1050.0000.000000JL( 9, 2)449.00000.000000JL( 9, 3)552.00000.000000JL( 9, 4)316.00000.000000JL( 9, 5)258.00000.000000JL( 9, 6)287.00000.000000JL( 9, 7)249.00000.000000JL( 9, 8)155.00000.000000JL( 9, 9)0.0000000.000000X( 1, 1)0.0000000.000000X( 1, 2)0.000000665.0000X( 1,

28、 3)1.000000554.0000X( 1, 4)0.000000781.0000X( 1, 5)0.000000844.0000X( 1, 6)0.0000001207.000X( 1, 7)0.000000909.0000X( 1, 8)0.0000001045.000X( 1, 9)0.0000001050.000X( 2, 1)1.000000665.0000X( 2, 2)0.0000000.000000X( 2, 3)0.000000165.0000X( 2, 4)0.000000131.0000X( 2, 5)0.000000220.0000X( 2, 6)0.0000005

29、51.0000X( 2, 7)0.000000253.0000X( 2, 8)0.000000391.0000X( 2, 9)0.000000449.0000X(3,1)X(3,2)X(3,3)X(3,4)X(3,5)X(3,6)X(3,7)X(3,8)X(3,9)X(4,1)X(4,2)X(4,3)X(4,4)X(4,5)X(4,6)X(4,7)X(4,8)X(4,9)X(5,1)X(5,2)X(5,3)X(5,4)X(5,5)X(5,6)X(5,7)X(5,8)X(5,9)X(6,1)X(6,2)X(6,3)X(6,4)X(6,5)X(6,6)X(6,7)X(6,8)X(6,9)X(7,1

30、)X(7,2)X(7,3)X(7,4)X(7,5)X(7,6)X(7,7)X(7,8).000000554.0000.000000165.0000.0000000.000000.000000280.0000.000000300.0000.000000660.0000.000000360.0000.000000443.0000.000000552.0000.000000781.0000.000000131.0000.000000280.0000.0000000.000000.00000088.00000.000000422.0000.000000121.0000.000000255.0000.0

31、00000316.0000.000000844.0000.000000220.0000.000000300.0000.00000088.00000.0000000.000000.000000367.0000.00000064.00000.000000150.0000.000000258.0000.0000001207.000.000000551.0000.000000660.0000.000000422.0000.000000367.0000.0000000.000000.000000317.0000.000000307.0000.000000287.0000.000000909.0000.0

32、00000253.0000.000000360.0000.000000121.0000.00000064.00000.000000317.0000.0000000.000000.000000151.000000001000001000000000000001000000010000010000X( 7, 9)0.000000249.0000X( 8, 1)0.0000001045.000X( 8, 2)0.000000391.0000X( 8, 3)0.000000443.0000X( 8, 4)0.000000255.0000X( 8, 5)0.000000150.0000X( 8, 6)0

33、.000000307.0000X( 8, 7)0.000000151.0000X( 8, 8)0.0000000.000000X( 8, 9)1.000000155.0000X( 9, 1)0.0000001050.000X( 9, 2)0.000000449.0000X( 9, 3)0.000000552.0000X( 9, 4)0.000000316.0000X( 9, 5)0.000000258.0000X( 9, 6)1.000000287.0000X( 9, 7)0.000000249.0000X( 9, 8)0.000000155.0000X( 9, 9)0.0000000.000

34、000RowSlack or SurplusDual Price10.0000000.00000022680.000-1.00000030.0000000.00000040.0000000.00000050.0000000.00000060.0000000.00000070.0000000.00000080.0000000.00000090.0000000.000000100.0000000.000000110.0000000.000000120.0000000.000000130.0000000.000000140.0000000.000000150.0000000.000000160.0000000.000000170.0000000.000000180.0000000.000000190.0000000.000000200.0000000.0000002116.000000.000000220.0000000.0000002315.000000.00000010.000000.13.000000.14.000000.11.000000.12.000000.1.0000000.7.0000000.2.0000000.5.0000000.6.0000000.3