高中数学题型全面归纳（教师版）：8.3空间点线面的位置关系33

1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解平面基本性质可以作为推理依据的公理和定理.命题趋势探究（1）考查内容.近年来，高考命题呈现出由考查知识向考查能力方向转变的趋势，题目新颖，灵活性强，立体几何试题经常以简单几何体为载体，考查线面位置关系，以中档难度题为主； 平面的基本性质、公理、公理的推论及直线与平面的位置关系，都是每年必考的知识点，试题难度不大，多为选择题和填空题.垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，或称“二传手”，不少问题常以垂直为解题的突破口，然后深入，主要考查渗透转化思想.（2）本专题知识

2、的考查多为识记，理解内容，如果掌握了方法，题目一般不是太难，每年高考分值约5分.知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示. 表8-4名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2过不在同一直线上的三点有且只有一个平面A,B,C不共线A,B,C且是唯一确定的公理2的推论推论1经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面若点A,则经过点A和直线a有且仅有一个平面推论2两条相交直线确定一个平面有且只有一个平面，使推论3两条平行直线确定一个平面ab有且只有一个平面，使公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过

3、该点的公共直线若则且二、空间直线与直线的位置关系1.位置关系如表8-5所示. 表8-5位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号ab公共点个数100特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内2.公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行.3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）.三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6）位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号公共点个数无数个10四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表8-7位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号，公共

4、点个数0无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型111 证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.例8.19如图8-73所示，

5、平面ABEF平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，求证：C,D,F,E四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC,FE相交与一点.解析 如图8-74所示，延长DC交AB的延长线与点G，由得延长FE交AB的延长线于G，同理可得故即G与G重合，因此，直线CD和EF相交与点G，即C,D,F,E四点共面.变式1 如图8-75所示，已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,点F在CC1上，且AE=FC1,求证E,B,F,D1四点共面.解析 如图8-299所示，在DD1上，取点N，使DN=AE,链接EN,CE,又AEDN,所以四边形AEND为平

6、行四边形，故NEAD，又ADBC, 所以NEBC,四边形BCNE为平行四边形，所以NCEB,因为C1F=AE,所以FC= D1N, 又FCD1N,所以四边形CFD1N为平行四边形，故D1FNC,从而D1FEB.因此，E,B,F, D1四点共面.评注 四点共面的证法：四点在两条平行或相交的直线上。变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD-A1B1C1D1中，上下底面均为正方形，平面A1B1C1D1，平面ABCD.求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD 共面.解析 如图8-299所示，=,DA=DC, 平面,则,又平面ABCD,则AD, DC,所以AD, DC.设=O.与O重合，则=O,故与A

7、C共面，同理DB与共面.例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD中，E,F,G分别在AB,BC,CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1，CG：GD=3：1，过E,F,G的平面交AD于H，连接EH,HG.(1)求AH：HD;(2)求证：EH,FG,BD三线共点.BFCGHAED图8-77解析 （1）因为所以EFAC,又EF平面ACD，所以EF平面ACD，而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH,所以EFGH,而EFAC,所以ACGH,所以即AH：HD=3：1.（2）证明：因为EFGH，且所以EFGH,所以四边形EFGH为梯形.令，则，而平面ABD，平面BCD，平面平面BC

8、D=BD，所以，故EH,FG,BD三线共点.评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1 如图8-78所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,AA1的中点.求证：（1）E,C, D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.解析 （1）如图8-301所示，链接,EF, ,因为E,F分别是AB和AA1的中点，所以FE,又因为BC,所以四边形是平行四边形，所以，所以EF，故EF与确定平面，所

9、以E,F,C, ,即E,F,C四点共面.（2） 由（1）知EF,且,所以四边形CFE为梯形，所以CE与F必相交，设交点为P,则P平面ABCD,且P,F平面,所以平面ABCD,且平面，又因为平面ABCD平面=AD, 所以AD,故，,AD三线共点.评注 三线共点问题，需先设两条共面的直线交于一点P，然后说明P是另外两个平面的交点，即也在第三条直线上，否则，不易证明.变式2如图8-79所示，点E,F,C,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点，证明：EF,HG,DC三线共点.解析 如图8-302所示，连接HE, ，GF由题意知，HC1EB，所以四边形HC1 B

10、E是平行四边形，所以HE，又,BF=FC,故GF，且GFHE,所以四边形EFGH为梯形，设HGEF=K,则K平面, KEF平面ABCD,又平面ABCD平面=DC.则KDC,所以FE,，HG，,DC三线共点.题型112 截面问题思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）.当时，S为四边形；当时，S为等腰梯形；当时，S与C1D1的交

11、点R满足；当时，S为六边形；当时，S的面积为.分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析 对于,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，当时，这时过的截面与正方体表面交与点，且，截面，如图8-81（a）所示，截面为等腰梯形，当时，过三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截面为四边形，如图8-81（b）所示，故正确；如图8-81（c）所示，当时，又CT=1，得 ；如图8-81（d）所示，当时，过点的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS；如图8-81（e）所示当时，则过点的截面为，其截面为菱形，对角线所以的面积为综上，

12、正确的命题序号是.变式1 如图8-82所示，是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过点有且只有一条直线与直线都相交；过点有且只有一条直线与直线都垂直；过点有且只有一个平面与直线都相交；过点有且只有一个平面与直线都平行. 其中真命题是（ ）.A. B. C. D. 分析 由于作为考查对象的AB与是两条异面直线，因此对题目给出的每个命题进行考查时，一般总要借助于平面（构造某个平面）来判断，针对考查的角度不同，构造平面的方式也各异.解析对于，过M与AB相交的直线必在平面MAB内，过M与相交的直线必在平面M内，且平面MAB与平面M的交线既不与AB平行，也不与平行，因此过

13、M与AB，都相交的直线必是平面MAB与平面M的交线，两个确定的平面，且有一个公共点M其交线是唯一的，故真； 对于，只需了解异面直线公垂线的性质（任意两条异面直线有且仅有一条公垂线）即可，图中即为异面直线AB的唯一一条公垂线，因此过M点有且只有一条直线与直线AB，都垂直故真； 对于，在AB和上各任取一点，连同点M确定一个平面，由“任取”即知不真. 对于，过点M有且只有一个平面与垂直，即与AB和都平行（因该平面不经过AB和）直故选C.变式2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，过对角线的一个平面交于E，交与F，得四边形，给出下列结论：四边形有可能是梯形；四边形有可能是菱形；四边形在底面A

14、BCD内的投影一定是正方形；四边形有可能垂直与平面；四边形面积的最小值为.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 解析过作平面与正方体-的截面为四边形BFD1E如图8303所示， 因为平面平而,且平面平面平面=,平面平面=,因此,同理BF故四边形BFD1E为平行四边形,因此命题不正确；若点E.F分别为AA1CC1的中点，则平行四边形BFD1E的邻边BE=BF,所以四边形BFD1E为菱形，因此命题正确； 对于命题，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此命题正确；对于命题，当EF平面BDD1B1时EF 平面BFD1E,则平面BFD1E平面BDD1B1，因此命题正确；对于

15、命题，当点F到线段BD1的距离最小时，此时平行四边彤BFD1E的面积最小，此时点E,F分别为AA1与CC1的中点,此时最小值为，因此命题正确故选B. 题型113 异面直线的判定思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过B点的直线是异面直线.（2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）.A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交解析 假设a与b是异面直线，而ca,则c显然与b不平行（否则，则有，矛盾），因此与可能相交或异面，故选

16、.评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1 已知空间三条直线，若与异面，且与异面，则（ ）A. 与异面B. 与相交 C. 与平行D. 与异面、相交、平行均有可能 解析 以正方体为模型分析，若与异面，与异面，则直线与直线可能平行、相交异面.故选D.变式2 已知为不垂直的异面直线，是一个平面，则在上的射影可能是： = 1 * GB3 两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）. 解析以正方体为模穗分析ab为异面直线,a,b在上的射影可能平行、垂直或成为一条直线厦其外一点，如图8-304(a)

17、(b) (c)所示，故选，不正确，因为若投影为同一条直线，则a,b必在同一平面内与异面矛盾变式3 若直线不平行于平面，且，则（ ）A. 内的所有直线与异面B. 内不存在与平行的直线C. 内存在唯一的直线与平行D. 内的直线与都相交解析 由题意知直线与平面相交，则直线与平面内的直线只有相交和异面两种关系，因而只有选项B是正确的故选&B.例8.23如图8-83所示，已知两个正方形和不在同一个平面内，和分别和为的中点，用反证法证明：直线与是异面直线.解析 假设直线与共面，连接,则平面,且平面与平面交于，由已知，两正方形和不在同一平面，故平面，又，所以平面，又平面平面，所以，又，所以，这与矛盾，故假设

18、不成立，所以直线与不共面，直线与是异面直线.变式1在正方体中，棱的中点分别是，如图8-84所示，判断点是否共面？并说明理由.解析 点ADHF不共面，反证法：假设ADHF共面连接CFAFHF又ADBC，因为BC平面BCCBAD平面BCCB，所以AD平面BCCB，因为CDH，所以平面ADHF平面BCCB=CF因为AD平面ADHF所以ADCF所以CFBC，而CF与BC相交，矛盾，所以假设不成立，故点A，DH，F不共面，最有效训练题33（限时45分钟）1.下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C

19、. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.下列四个命题： = 1 * GB3 若直线是异面直线，是异面直线，则是异面直线；若直线相交，相交，则相交；若，则与所成的角相等；若，则，其中真命题的个数是（ ）A.4 B. 3 C. 2 D. 13.设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A. 在平面内有且只有一条直线与直线垂直B. 过直线有且只有一个平面与平面垂直C. 与直线垂直的直线不可能与平面平行D. 与直线平行的平面不可能与平面垂直4.平行六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为（ ）A.3 B. 4 C

20、. 5 D. 65.如图8-85所示，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题： = 1 * GB3 过点有且只有一条直线与直线都相交；过点有且只有一条直线与直线都垂直；过点有且只有一个平面与直线都相交；过点有且只有一个平面与直线都平行；其中真命题是（ ）A. B. C. D. 6如图8-86所示，在四面体中，若截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A. B. 截面 C. D.异面直线与所成的角为图8-867过正方体的顶点作直线，使与直线所成的角都相等，这样的直线可以作 条8如图8-87所示，是正方体的表面展开图，分别是棱的中点，与在原正方体中的位置关系为 9下列命题中不正确的是 = 1 *

21、 GB3 没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；10在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） = 1 * GB3 能构成每个面都是等边三角形的四面体；能构成每个面都是直角三角形的四面体；能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；11如图8-88所示，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且 （1）求证：四点共圆；（2）设与交于点，求证：三点共线

22、12如图8-89所示，正方体中，分别是，的中点，问：（1）和是否为异面直线？说明理由；（2）和是否为异面直线？说明理由；最有效训练题33I.C 解析 如图8-305所示，在正方体-中，易知AB1与AD1与底面所成的角为45，但AB1与AD栩交，故选项A错.设EF，PQ分别是棱AA1BB1CC1DD1的中点,点A,B,A1到面EFPQ的距离相等，但平面ABB1A与平面EFPQ相交，故选项B错平面ABB1A1平面ABCD平面ADD1A1平面ABCD但平面ABB1A1与平面ADD1A1相交于A1A故选项D错故选C.2 D 解析 如图8-306所示 若A1A为b,CD为a,BC为c,则a,c不异面，所

23、以不正确 若A1A为b,AB为a, A1B1为c, 则ac所以不正确 若A1A为b,AB为a, AD为c, 则abacbc. 且a与c相交，故也不正确. 由异面直线所成角的定义或等角定理知正确敞选D.3. B 解析 如图8-307所示，是的斜线，PA,，AB则，内所有与，平行的直线都垂直于m故A错;即可知过有且仅有一个平面PAB与垂直，假设有两个平面都与垂直，则这两个平面的交线m 应与垂直，与条件矛盾，所以B正确；又，所以，因为，所以，所以C错.又在平面内取不在直线上的-点D，过D可作平面与平面PAB平行，所以，因为平面PAB，所以平面故选B.4.C 解析 如图8-308所示，平行六面体与AB,都共面的棱为BCC1D1DCAA1BB1共5条. ； 故选C. 5C. 解析 如图8309所示，因为点M不在B1C1上，所以由B1C1与点M可确