高中数学题型全面归纳（教师版）：16.1极坐标与参数方程59（修）

1、第二节 极坐标与参数方程(选修4-4)考纲解读1.理解坐标系的作用.2.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标中用极坐标表示点的位置.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置方法相比较，了解它们的区别.6.了解参数方程,了解参数的意义.7.能选择适当的参数写出直线、

2、圆和圆锥曲线的参数方程.8.掌握参数方程化普通方程的方法.命题趋势探究 本章是新课标新增内容，属选考内容，在高考中可能有所体现. 参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具之一，值得特别关注.知识点精讲一、极坐标系 在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.图 16-31图

3、16-32二、极坐标与直角坐标的互化 设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:或 （对也成立）.三、极坐标的几何意义表示以为圆心，为半径的圆；表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；表示以为圆心过点的圆. (可化直角坐标: .)四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: ,即.记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示). 图 16-33五、圆的参数方程 若圆心为点，半径

4、为，则圆的参数方程为.六、椭圆的参数方程椭圆的参数方程为（为参数，）.七、双曲线的参数方程 双曲线的参数方程为.八、抛物线的参数方程 抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.题型归纳即思路提示题型196 极坐标方程化直角坐标方程思路提示 对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解.这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系.例16.7 在极坐标系中，圆的圆心到直线()的距离是 .分析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解.解析 极坐标系中的圆转化为平面直角坐标系中的一般方程为，即，其

5、圆心为，直线转化为平面直角坐标系中的方程为：，即.圆心到直线的距离为.变式1在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_.解析解析由2sin ，得22sin ，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0. 答案x2y22y0变式2 已知直线l的极坐标方程为2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r(2)，点A的极坐标为Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，求点A到直线l的距离.解析解由2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq r

6、(2)，得2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )eq r(2)，yx1.由Aeq blc(rc)(avs4alco1(2r(2)，f(7,4)，得点A的直角坐标为(2，2).点A到直线l的距离deq f(|221|,r(2)eq f(5r(2),2).变式3 已知一个圆的极坐标方程是，求此圆的圆心和半径.解析 由圆的极坐标方程得，得，故圆心坐标为，半径为。例16.8(2015江苏卷)已知圆C的极坐标方程为22eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)40，求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的

7、原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程化为22eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)sin f(r(2),2)cos )40，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，(x1)2(y1)26，因此圆C的半径为eq r(6).变式1 极坐标方程和参数方程（参数)所表示的图形分别是( )A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线解析 由极坐标方程得，则，即，故表示的图形是圆，其圆心坐标为，半径为，参数方程为（t为参数），消参数得，表示直线，故选A。变式2 在极坐标系中，点到直线的距离

8、是 .解析 依题意，点P坐标为，直线，得，即。所以点P到直线l的距离。变式3 （2012陕西理15）直线与圆相交的弦长为 .解析 将极坐标方程化为普通方程为与，联立方程组成方程组求出两交点的坐标和，故弦长等于。题型197 直角坐标方程化为极坐标方程思路提示 如果题目中已知的曲线为直角坐标方程，而解答的问题是极坐标系下的有关问题，这里要利用直角坐标与极坐标关系式，将直角坐标方程化为极坐标方程.例16.9 【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求，的极坐标方程；（）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积.

9、【答案】（）,（）变式1 【2016高考新课标理数1】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 QUOTE * MERGEFORMAT （t为参数，a0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos .（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan 0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解析【答案】（I）圆，；（II）1题型198 参数方程化普通方程思路提示已知直线或曲线的参数方程讨论其位置关系、性质问题一般要通过消参（代入法、加减法，三角法)转化为普通方程解答.例16.10 若直线与圆(

10、为参数)没有公共点，则实数的取值范围是 .解析 将圆的参数方程( 为参数)化为普通方程，圆心，半径.直线与圆无公共点，则圆心到直线的距离大于半径，得或，即的范围是.变式1 在平面直角坐标系中，直线的参数方程（参数），圆的参数方程为（参数），则圆圆心坐标为 _，圆心到直线的距离为 .解析 直线l的方程为，圆C的方程为，其圆心为为，圆心到直线l的距离变式2 (2013湖北理16)在庄角坐标系中，椭圆的参数方程（为参数，），在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与.若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为 .分

11、析 先将参数方程与极坐标方程化为普通方程，再根据直线过焦点，直线与圆相切建立关于椭圆方程中a,b,c的等式，再结合求得离心率。解析 由已知可得椭圆标准方程为。由，可得。即直线的普通方程为。又圆的普通方程为，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点，则得，又因为直线l与圆O相切，所以，因此，即。整理，得，故椭圆的的离心率为。变式3 参数方程（是参数）的普通方程是 .解析 利用，故普通方程是，例16.11 已知动圆（是正常数，是参数），则圆心的轨迹是 .解析 由动圆得.圆心坐标为（为参数），设，则，即为所求轨迹方程，所以圆心的轨迹是椭圆.变式1 方程表示的曲线是（ ） A. 线段 B. 双曲线的一支 C.

12、圆弧 D. 射线解析 由方程。故选A变式2 已知直线（为参数），（为参数）.(1)当时，求与的交点坐标；(2)过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点.当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解析 （1）当时，的普通方程为。的普通方程为。联立方程组，解得与的交点坐标为，。（2）设点，由题意，得，整理得。故点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆。题型199 普通方程化参数方程思路提示 对于直线与圆锥曲线方程化为参数方程问题实质是引入第三个变量的换元法，这里有代数换元（如抛物线的参数方程）或三角换元（如椭圆的参数方程）.例16.12 在平面直角坐标系中，设是椭圆上的一个动点，求的最大值.分析 利用

13、椭圆的参数方程，建立与参数的关系，运用三角函数最值的求法，求解的最大值.解析 点是椭圆上的一个动点，则（为参数），则，故.变式1 已知点是圆上的动点.(1)求的取值范围；(2)若恒成立，求实数的取值范围.解析 （1）由圆的方程得，得。则可得的取值范围是。，（2）若恒成立，则，因为，所以，故，得。所以的取值范围是。变式2 直线过，倾斜角. （1） 写出的参数方程； （2）与圆相交于两点，求到两点的距离之积.解析 （1）直线l的参数方程为（若M为l上的动点，则参数t是有向线段的数量）（2）解法一：将l的方程代入，则解法二：如图16-43所示，连接OP并延长交圆于点C，反向延长交圆于点D，由相交弦定

14、理得，变式3 已知抛物线，点在轴的正半轴上，过的直线与相交于两点，为坐标原点.(1)若时，的斜率为，求以为直径的圆的方程； (2)若存在直线使得成等比数列，求实数的取值范围.解析 （1）若=1时，直线的斜率为1，则直线的方程为,设,圆心，联立方程，消去建立的一元二次方程得，所以，过焦点（1,0）,所以，那么以为直径的圆的方程为.设直线的参数方程为（为参数），代入抛物线方程中得：，即，且成等比数列，则,即，得，故4.因此实数的取值范围为.题型200 参数方程与极坐标方程的互化思路提示 参数方程与极坐标方程的互化问题，需要通过普通方程这一中间桥梁来实现，先将参数方程（极坐标方程）化为普通方程，再将

15、普通方程化为极坐标方程（参数方程）.例16.13 (2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq blc(avs4alco1(xacos t，,y1asin t)(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去t，得C1的普通方程x2(y1)2a2，曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22

16、sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组eq blc(avs4alco1(22sin 1a20，,4cos .)若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.所以a1.点拨(1)第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去，建立与直线C3：0的联系，进而求a.(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决

17、，可先转化为直角坐标方程，然后求解.变式1在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，圆C的圆心的极坐标是Ceq blc(rc)(avs4alco1(1，f(,4)，圆的半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求直线l被圆C所截得的弦长.解(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(，)为圆C上的一个动点，则AODeq f(,4)或AODeq f(,4)，|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)或|OA|OD|coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4).所以圆C的极坐标方程为2coseq bl

18、c(rc)(avs4alco1(f(,4).(2)由sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)1，得eq f(r(2),2)(sin cos )1，直线l的直角坐标方程为xyeq r(2)0，又圆心C的直角坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)满足直线l的方程，直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.最有效训练题60(限时45分钟)1.极坐标方程表示的曲线为（ ）A. 一条射线和一个圆 B. 两条直线 C. 一条直线和一个圆 D. 一个圆 2.圆的圆心的一个极坐标是（ ）A. B. C. D. 3. 若以直角坐标系的原

19、点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0 x1)的极坐标方程为()A.eq f(1,cos sin )，0eq f(,2)B.eq f(1,cos sin )，0eq f(,4)C.cos sin ，0eq f(,2)D.cos sin ，0eq f(,4)4.直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 5.过点的直线的参数方程为（为参数），若此直线与直线相交于点，则=（ ）A. B. C. D. 6.设曲线的参数方程( 为参数)，直线的方程为，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（ ）A. B. C. D. 7.已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为( 为参数)，则圆上的点到直线的最短距离为 .8.在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数，）和（为参数），则曲线与的交点坐标为 .9.已知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若，点的横坐标是，则= .10.在极坐标系中，为极点，已知两点的极坐标分别为，,求的面积.11.已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上的两动点，若，求的最大值.12. 已知曲线（为参数），曲线.（1）若分别是曲线和曲线上的两个动点，求线段长度的最小值