2022高考总复习 数学(人教A理一轮)1.2　简单不等式的解法

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI1.2简单不等式的解法第一章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03案例探究1 三类不等式的解法必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.两个实数比较大小的方法 =bbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).3.三个“二次”之间的关系 判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0

2、)的解集 Rax2+bx+c0)的解集 x|xx2或xx1 x|x1x0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.常用结论5.恰成立问题的转化:af(x)在M上恰成立af(x)的解集为另一转化方法:若xD,f(x)A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若xD,f(x)B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1xba

3、c2bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()2.(2019四川雅安一中期中)设a,b,c,dR,且ab,cd,则下列结论正确的是()A. B.a-cb-dC.acbdD.a+cb+d答案 D解析 a,b,c,dR,且ab,cd,根据同向不等式的可加性,得a+cb+d,故选D.3. (2020福建厦门期末检测)实数x,y满足xy,则下列不等式成立的是()B.2-x0D.x2y2答案 B解析 由xy,得-x-y.由y=2t是增函数,得2-x2-y.4.(2020安徽马鞍山

4、二模,理1)已知集合A=x|x2-2x-30,xZ,B=x|x|2,xZ,则AB=()A.-1,0,1B.-2,-1,0,1C.-1,0,1,2D.-2,-1,0,1,2,3答案 C解析 由题意,得A=-1,0,1,2,3,B=-2,-1,0,1,2,则AB=-1,0,1,2,故选C.5.设a,b,c是任意实数,能够说明“若cba且ac0,则abac”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.答案 1,0,-1(答案不唯一)解析 由cba且ac0,可取a为正数,c为负数,由命题为假命题,得abac不成立,即ab0,所以a,b,c可取的一组分别为1,0,-1.关键能力 学案突破考点1比较两个数(式

5、)的大小例(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cabD.bac答案 (1)B(2)B解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般

6、适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eaba解析 (1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb.又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2,b=a2+1,考点2不等式的性质及应用【例2】 (1)(2020北京海淀一模,4)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是()答案 (1)D(

7、2)C解析 (1)(方法1)根据数轴可得cba|b|a|,对于A:因为cb,a0,所以c+ab,则c+acbb-a,即c+ab-a,故A错误;对于B:因为cba|b|a|,所以c2b2a2,且b2ab,所以c2b2ab,即c2ab,故B错误;对于C:因为ba|a|,且c0,所以|b|cb0,则下列不等式一定成立的有()A.a2b2 B.-ab0,则下列不等式中正确的是()A.log2(ab)bc2答案 (1)B(2)C 解析 (1)因为ab0,于是a2b2,故A不正确;由ab0,得-ab,所以等号取不到,故C不正确;当a=3,b=2时,3+2b0,得abb2,所以log2(ab)log2b2,

8、故A不正确;因为c20,当c2=0时,ac2=bc2,故B不正确;考点3利用均值不等式证明不等式考向1常系数一元二次不等式的解法【例3】 解下列不等式:(1)2x2-3x-20;(2)-3x2+6x-20;(3)4x2-4x+10;(4)x2-2x+20.(4)因为x2-2x+2=0的判别式0或(x-a)(x-b)0型不等式,再依据“大于取两边,小于取中间”的口诀写出解集;对难于因式分解的不等式可采用判别式法求解,先计算对应方程的判别式,若判别式不小于零,求出相应的一元二次方程的根,画出对应函数的简图,由图象得出不等式的解集,若判别式小于零,直接根据对应函数的图象确定不等式的解集.对点训练3解

9、下列不等式:(1)x2-3x+20;(3)-2x2+3x+20.考向2含参数的一元二次不等式的解法【例4】 解关于x的不等式ax2+2x+10.思考如何解含参数的一元二次不等式?解题心得含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.对点训练4解关于x的不等式x2-ax-2a20. 解 原不等式变形为(x-2a)(x+a)0,则-ax2a,此时不等式的解集为x|-ax2

10、a;若a0,则2ax-a,此时不等式的解集为x|2ax-a;若a=0,则原不等式即为x20,此时解集为.考点4分式不等式的解法A(UB)=()A.x|1x2B.x|1x2 C.x|1x2D.x|1x4答案 C 思考解分式不等式的基本思路是什么? 考点5均值不等式的实际应用考向1主元x在R上恒成立求参数范围【例6】若一元二次不等式2kx2+kx- 0对一切实数x都成立,则k的取值范围为()A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0)答案 D 考向2主元x在给定区间上恒成立求参数范围【例7】(2019黑龙江佳木斯一中调研二)设对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,则实数

11、a的取值范围是()思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法? 答案 B (方法2)设f(x)=x2+ax-3a,对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,考向3给定参数范围的恒成立问题【例8】已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.答案 x|x3解析 x2+(k-4)x+4-2k0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0在k-1,1时恒成立.解题心得 1.ax2+bx+c0(a0)对任意实数x恒成立的条件是2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二

12、是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.对点训练6(1)已知a为常数,xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是.要点归纳小结1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.

13、判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.要点归纳小结5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.案

14、例探究1 三类不等式的解法 中学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.一 含有绝对值的不等式1.绝对值的属性:非负性.2.式子中含有绝对值,通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用);二是通过平方去掉绝对值.3.若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解:(1)|f(x)|g(x)的解集与f(x)g(x)或f(x)-g(x)的解集相同;(2)|f(x)|g(x)的解集与-g(x)f(x)g(x)的解集相同.4

15、.对于其他含绝对值的问题,则要具体问题具体分析,通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值,将其转化为整式不等式,再做处理.【例1】解下列不等式:(1)|x2+x|3x;(2)|x-1|+|x+2|5;(3)|2x-1|-|x-2|1时,不等式变为x-1+x+25,解得x2,1x2.当-2x1时,不等式变为1-x+x+25,解得35,-2x1时不等式均成立.当x-2时,不等式变为1-x-x-2-3,-3x-2.综上所述,不等式的解集为(-3,2).(3)思路:本题依然可以仿照(2)的方式进行零点分段,再解不等式,但从另一个角度观察,所解不等式为|2x-1|b0a2b2)一次将两个绝对值去掉,再

16、进行求解.|2x-1|x-2|,(2x-1)2(x-2)2,4x2-4x+1x2-4x+4,3x23,解得-1x0.解法一(列表法):求得相应方程的根为-2,1,3.列表如下:x-2-2x11x3x+2-+x-1-+x-3-+各因式积-+-+由上表可知,原不等式的解集为x|-2x3. 小结:此法叫列表法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.由图可知,原不等式的解集为x|-2x3.小结:此法叫穿根法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.【例3】解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解检查各因式中x的符号均正.求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.原不等式的解集为x|-1x2或2x3.说明:3是三重根,在C处穿三次,2是二重根,在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时,n为奇数时,曲线在x1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.对点训练 解不等式