2022年高考全国甲卷（理）

1、狗心慧学绝密启用前2022年高考全国甲卷（理）时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分，共60分）.若z = -l + Gi,则=（） zz-1A. 1 + 3/D.D.C+乌 3 3【答案】C莒!莒!【解析】由，=-1 + /zz-1 4-11=F32.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率讲用前讲座后扰民编I;A.讲座前问

2、卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】对于A选项:讲座前问卷答题的正确率中位数为四区士理 = 72.5%,所以A错；对于B选项: 2可直接通过图表观察得知：问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；对于C选项:讲座前问卷答题 的正确率数据波动要大于讲座后问卷答题的正确率,故标准差也应该大于讲座后的标准差,所以C错；对 于D选项:讲座前正确率的极差为35%,讲座后的为20%,故D错.3.设全集。=一2厂1,0,1,2,3,集合

3、4 = -1,2,5 = *一4+3 = 0,则4(4。夕)=()0Vxi 1巧要证明再工21，即证明又由于/（X）在。,+8）单增，即证明“10Vxi 1巧要证明再工21，即证明又由于/（X）在。,+8）单增，即证明“1f(x2) /() /(再) /().下面构造函数1F(X)= /(x)-/(i),(0 x 1), Fr(x) = fx) + f(-) =(1)0+：-1),由于 y = e* + x xXXX为增函数,所以当0 xl时，ex+xe =-xex-l-e-rex +x-xex -1 ve+l-e1 = 0. 00 =尸(%)1在（0）单调递增，而斤（1） = /（1）一/。

4、）= 0,.尸。）0=，（%）/（上）得证.x四、选做题（每小题10分，共20分）22A.在直角坐标系X。中，曲线G的参数方程为2 + X6 （7是参数），曲线。2的参数方程为）=戈 .2 + s x 6 （s是参数）.（1）写出G的普通方程；（2）以坐标原点为极点，力轴正半轴为极轴建立极坐标 六一/ !系，曲线G的极坐标方程为28S。-sine = 0,求G与G交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标 【答案】见解析【解析】G：_ 2+26 ,消去参数，得 = 22吆_(, N0)=y2 =6%一2(jN0).6G ：2cos-sin = 0,两边乘/，即 2/Jcose0sine = O.C

5、3 :y = 2x,联立0)y = 2x1 x =2或(a + i + 2c了即3x32(a+b + 2c)2且a,6, c是正实数，故。+6 + 2cV3(当且仅当。= 6 = 2。时取等.即。= 6 = 1, c = L)； (2)由知2+6 + 2cV3且方=2。.故Ova +4c3.-.a + 4c 31 + 1 =”=产+ (2产(2 + (在)2=工q + c _ q+4c+(在J J (4)2+ (在)2 - a + 4c _q +4c - 当且1当a = 2c时等号成立.故IN3.莒!版权声明江西风向标智能科技有限公司（旗下网站：知心慧学）郑重发表如下声明:一、本网站的原创内容

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7、法机关和相关司法机构，并结合广大用户和 网友的举报，严肃清理侵权盗版行为，依法追究侵权者的民事、行政和刑事责任!特此声明江西风向标智能科技有限公司第12页，共12页颔心慧学A. 1,3B. 0,3C -2,1 D. -2,0【答案】D【解析】由3 = x*_4x+3 = 0 = 1,3, NdB = T,123,所以。贸/。砌=-2,0.C. 16D. 204.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的 体积为（）【解析】该多面体的体积由一个长方体体积减去一个三棱柱的体积得到，即2x4x2X 2x2x2 = 12.25.5.C.第2页，共12页何心慧学【解析

8、】设/（x） =（3%37）cosx,则/（一功=（3一一3）85（-%） = -/（。所以/3为奇函数，排除BD,令X = 1,则/（1） =（3 3T）cosl 0,排除 C.故选 A.6.当x = l时，函数/a）= alnx + g取得最大值一2,则f（2）=（） TOC o 1-5 h z A. -1B. -C. -D. 122【答案】Ba bf/（l） = Z = -2,9 2莒!莒!【解析】八力，一斗，由条件，得L z所以1=占=一2,即/a）=，+g所以 x xf （l） = a-o = u ;x x八2） = -篇八年:7.在长方体45co-44GA中，已知耳。与平面4SCD

9、和平面44国8所成的角均为30。，则（）iA.AB = 2ADiB.与平面ABD所成的角为30。|C.AC = CBi藤ID.BQ与平面35。所成的角为45。去!“,：【答案】D【解析】5Q与平面ABCD所成的角即ZB.DB，耳Z）与平面所成的角即NDBJ,则4。6 = /环/ = 30。,设4。= 2,则3=5/ = 1,由长方体对角线长公式=4+户+62,得AB =收,从而ABi=6,AB = 03,故A错误;AB与平面典G。所成的角1AB的正弦值为即与平面皿G。所成的角不为30。,故B错误;AC = y/3/2 = S，故C错误;用。与平面BB&C所成的角 4。的正弦值为旦,即B.D与平

10、面叫QC所成的角为45。,故D正确.A 11 - 36 2【答案】BB 11 - 4G一2r 9-3V3D.2【解析】由条件得，AO48为等边三角形，有45 = 2,.沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，蕊是以O为圆心，04为半径的圆弧，。是4B的中点，。在叁上，CDLAB. “会圆术”给出弱的弧长的 淅CD2近似值s的计算公式：s = AB + -,当。4 = 2,/AOB = 60时，s OA0C =瓜CD = 2-5所以2 +产=2 +号=中.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2%,侧面积分别为味和龟，体积分别为修和，若削=

11、2,则?=()乙”乙第4页，共12页 TOC o 1-5 h z A.非B. 2亚C.回D. 2【答案】C【国牵析】设圆的半径/（即圆锥母线）为3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为小弓，高分别为4,4, ,要=2,平=2,即石=2弓，侧面展开图的圆心角之和为2则也+我 =2%,由O解S乙兀糖2I Inr/ 学 得，4=彳=2,弓=：=1,由勾股定理，得 =J/2片=6,3=/2唠=2也,所以12,/_/九_彳_2布_ r-莒!.椭圆c ：当+5 = 1（。 b 0）的左顶点为4,点尸，。均在C上,且关于y轴对称,若直线AP, AQ a b,工的斜率之积为1,则C的离心率为（）： 一,；41, A

12、 也B.正C. -D.-22“23【答案】A【解析】椭圆C的右顶点为瓦由于点尸，0均在C上,且关于V轴对称，所以直线3尸，4。也关于y轴对称,即kAP*kBP = -kAPkAQ =对称,即kAP*kBP = -kAPkAQ =L/_=e = W.442.设函数/（x） = sin（0 x+X）在区间（0,%）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（）A.B舒D.【答案】C TOC o 1-5 h z 【解析】设0% +生=，则f 为0 +匹），由两个零点可得2% 3 +生43%,即又因为 333333有三个极值点，（sinf） = cosf,所以“ba B. bac C. abc D.

13、acb 【答案】A TOC o 1-5 h z 1冗【解析】构造函数(x) = lx2-cosx, xe0,贝iJg(x) = /(K)= -x+sinx,22jr1gf(x) = -l+cosx0,所以g(x)4g(0) = 0,因此，(x)在电一|上递减，所以(一) = a-bx,b 112cos 44即Bvc,因此c6。，即选A.4sini tani_4_41 cos-41,二、填空题（每小题5分，共20分）.设向量白，6的夹角的余弦值为且| a|= 1, | Z）|= 3,则（2a + 6）Z =【答案】111 一一 一11 , (2a + b)b = 2ab + b【解析】向量】言的

14、夹角的余弦值为二a=axbx-= 2 + 9 = 11.丫2.若双曲线/一金.二1（m0）的渐近线与圆了2+/2一纣+3 = 0相切,则7 二 nr【答案】2 3【解析】.,圆的方程化为标准方程，+（y 2）2 =1,所以由题意知圆心为（0,2）,半径为1的圆与直线% =如相切，所以圆心到渐近线的距离/=门=1,且m0,可得加=.V1 + 7W23.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面上的概率为【答案】12 6【解析】这4个点在同一个平面上的概率为个二有.AC1.已知A4BC中，点。在边4。上，ZADB = 120, AD = 2, CD = 2BD.当上取得最小值时, ABB

15、D=.【答案】V3-1【解析】令助二九以。为坐标原点，DC为轴，垂直DC的直线为V轴，建立直角坐标系，则第6页，共12页C(2Z,O), 4(1,#), S(T,O),AC2-1)?+3 412(*+3/+i+J-t+l4-2BZ =百一1时等号成立.三、解答题(每小题12分，共60分).记其为数列4的前勿项和.已知巴+制=24+1.证明：4是等差数列；(2)若4，%，的 n成等比数列，求的最小值.【答案】见解析；【解析】(1)由已知得2，+/=2*4+.当 =i时,原式恒成立；当力22时，25 +(n-1)2 = 2(n-V)an_r + (m-1);两式相减得：Zq+ZM - lnZw -

16、 ZS-lMT+l,整理得：莒!(2m - 2)( =(2n - 2)q1T + (2 - 2),因为 2 2,故 2 一 2 0,所以 q, 4=1(% A 2),所以数列4是公差为1的等差数列.(2)由(1) d = 1 ；由题意G =/,即(q + 6)2 = (q +3)(q +8),化简得：s 六 cn(n-1), 4、:九(篦一 1). 1 2 251 z 25x2 625 卬% .q=-12. 故d 12mH= _nn (w). 因为力wN， TOC o 1-5 h z 2:;、/222228., 所以 =12或 =13时，(S)1nb =-78.J.已知四棱锥尸一4BCD中，平

17、面/BCD, AD = CD = CB = 1, AB = 2, PD = 5 (1)证明: 5O_LR4; (2)求直线PD与平面所成角的正弦值.【答案】见解析；【解析】(1).？DJ_底面43c7),，？。_1班,取4g中点连接。E,可知= 二2CD/5,，CD班且CD = BE,，四边形5CDE为平行四边形，OE = CB = 1, 二DE = B, /.为直角三角形,4g为斜边，8D_L4D, ?nw =。，平面2PAD, ；BgPA.PAD, ；BgPA.由知，尸D 49,60两两垂直,=建立空间直角坐标系如图所示，则。(0Q0)，4(100)1(0,6。)，餐,二,即AB 胃=0的

18、所成的角的正弦值为的所成角为仇则sinC =颔心慧学尸（0,0,6），丽=（0,0,-6），苏= （L0,），刀= （L6,O），设平面 P48的法向量为jr -= Q厂一,不妨设y = z = l,则3 =(右,1,1),设PD与平面R48 f +岛=0.甲、乙两个学校举行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分,负方得0分，没有平局.三个 项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5, 0.4, 0.8,各 项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列 和期望.不虐.【答案】见解析；厂W【解

19、析】（1）记甲学校获得冠军为事件4；贝UP(A) = 0.5x0.4x(l-0.8) + 0.5x(l-0.4)x0.8 + (1-0.5) x0.4x0.8 + 0.5x0.4x0,8 = 0.6 甲学校获得 冠军的概率是06 (2) X的可能取值为0, 10, 20, 30则P(X = O) = O.5xO.4xO.8 = (M6P(X = 10) = 0.5x 0.4 x (1-0.8) + 0.5 x(l-0.4) x 0.8 + (1-0.5) x 0.4 x 0.8 = 0.44P(X = 20) = 0.5 x(l-0.4) x(l- 0.8)+ (1- 0.5) x(l- 0.4) x0.8 +(1 - 0.5) x 0.4 x(l-0.8) = 0.34P(X = 30) = (l-0.5)x(l-0.4)x(l-0.8) = 0.06 X的期望值为(X) = 0 x0.16 + 10 x0.44 + 20 x0.34 + 30 x0.06 = 13.设抛物线。：丁=230）的焦点为尸，点。（。0）,过广的直线交。于 N两点.当直线MD垂直于方轴时，W如| = 3. （1）求C的方程；（2）设直线MD, NO与C的另一个交点分别为4, B,记直线MN, 4B的倾斜角分别为a, .当a-6取得最大值