6.5定积分的应用教案

1、6.5定积分的应用教案6.5定积分的应用教案6.5定积分的应用教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题6.5定积分的应用教学目的理解定积分在经济、几何、物理上的简单应用。教学重点定积分在经济、几何、物理上的简单应用。教学难点定积分在经济、几何、物理上的简单应用。教学用具备 注山东理工职业学院教案纸教学过程教 学 内 容教学方法复习检查引入新课引入新课新授课考勤由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的

2、过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：(1)将区间分成个小区间，相应得到个小曲边梯形，小曲

3、边梯形的面积记为；(2)计算的近似值，即（其中）；(3)求和得的近似值，即；(4)对和取极限得.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积）具有的特性：即在区间上具有可分割性和可加性.o 图6-5（1）第(2)步是关键，这一步确定的是被积表达式的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对省略下标，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积（如图6-5（1）阴影部分），即.通常称为面积元素，记为. 将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在上“无限累加”，就得到面积.即.一般说来，用定积分解决实

4、际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间；（2）在区间上任取一个小区间，并在小区间上找出所求量的微元；（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注 能够用微元法求出结果的量一般应满足以下两个条件： = 1 * GB3 是与变量的变化范围有关的量； = 2 * GB3 对于具有可加性，即如果把区间分成若干个部分区间，则相应地分成若干个分量.定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述. o 图6-5（2）(2)求由两条曲线，及直线

5、所围成平面的面积（如图6-5（2）所示）.下面用微元法求面积. = 1 * GB3 取为积分变量，. = 2 * GB3 在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素. = 3 * GB3 写出积分表达式，即. = 3 * GB2 求由两条曲线，及直线所围成平面图形（如图6-5（3）的面积. o c图6-5（3）这里取为积分变量，用类似 (2)的方法可以推出：.例1 求由曲线与所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图6-5(4)）由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得.o 1 2 A (1,1)图6-5(4)o 2 8

6、A(2,-2) 4-2B(8,4) 图6-5(5)例2 求曲线与所围图形的面积.解 画出所围的图形（如图6-5(5)）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为.注 本题若以为积分变量，由于图形在两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：.显然，对于例2选取作为积分变量，不如选取作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例3 求曲线在区间上所围平面图形的面积.解 如图6-5(6)所示，曲线的交点坐标为，选取作为积分变量，于是，所求面积为.0 图6-5(6)极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程与射线所围成（如图

7、6-5（7）所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形的面积，从而得面积微元为于是，所求曲边扇形的面积为 .O 2a x图6-5(8)xo图6-5(7)例4 计算心形线所围图形的面积（如图6-5(8)）.解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积是极轴上方部分图形面积的两倍.对于极轴上方部分图形，取为积分变量，由上述公式得：.这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不再赘述.定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这

8、条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图6-5（9）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为.o a b 图6-5（9）dyo c图6-5（10）类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图6-5（10），所得旋转体的体积为 .例5 求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解 (1)绕轴旋转的椭球体如图6-5（11）所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,由公式所求椭球体的体积为图6-5（11）

9、.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图6-5(12)所示）,取为积分变量, ,由公式所求椭球体体积为o 图6-5(12)b-b .当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图6-5(13)）.o a b 图6-5(13)取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作为底，为高的柱片，从而得到体积元素.于是该物体的体积为.例6 一平面经过

10、半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.（如图6-5(14)）解 取这平面与圆柱体的底面交线为轴-R o R 图6-5(14)建立如图6-5(10)的直角坐标系，则底面圆的方程为.立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分别为，即.因而截面面积为.故所求立体体积为.定积分在物理上的应用举例(1)变力作功由物理学知道,物体在常力的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移时,力对物体所作的功是.但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用

11、微元法来求这个量.a b 图6-5(15)设物体在变力的作用下,沿轴由点移动到点,如图6-5(15)所示,且变力方向与轴方向一致.取为积分变量,.在区间上任取一小区间,该区间上各点处的力可以用点处的力近似代替.因此功的微元为，因此,从到这一段位移上变力所作的功为.例7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即(为比例系数).已知弹簧拉长时,需力,要使弹簧伸长,计算外力所做的功.解 由题设,时,.代入,得.从而变力为,由上述公式所求的功为.(2)液体的压力由物理学知道,在液面下深度为处的压强为,其中是液体的密度,是重力加速度.如果有一面积为的薄板水平地置于深度为处,那么薄板一侧所受的

12、液体压力.但在实际问题中,往往要计算薄板竖直放置在液体中(如前面问题2中的闸门)时，其一侧所受到的压力.由于压强p随液体的深度而变化,所以薄板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算,但可以用定积分的微元法来加以解决.设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便,建立如图6-5(16)所示的坐标系,曲边方程为.取液体深度为积分变量,o a b 图6-5(16),在上取一小区间,该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为,宽为的小矩形水平地放在距液体表面深度为的位置上时,一侧所受的压力.因此所求的压力微元为:.于是，整个平板一侧所受压力为. 下面我们来看本节前面问题2的答案.例8 修建一道梯形闸门，它的两

13、条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.解 根据题设条件.建立如图6-5(17)所示的坐标系，的方程为.取为积分变量,在上任一小区间的压力微元为，从而所求的压力为 .定积分在经济中应用举例我们知道导数在经济问题的应用，可以对经济函数进行边际分析和弹性分析，但在实际中往往还要涉及到已知边际函数或弹性函数，来求原函数的问题，就需要利用定积分或不定积分来完成，根据导数与积分的关系有：(1)已知边际成本，求总成本.有，其中是固定成本，一般不为零.(2)已知边际收益，求总成本.有.其中被称为自然条件，意指当销售量为0时，自然收益为0.下面通过实例说明定积分在经济方面的应用.例9 已知某产品边际成本函数且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).解 .例10 某工厂生产某产品（百台）的边际成本为=2（万元/百台）设固定成本为0，边际收益为(万元/百台).求：（1）生产量为多少时，总