匀质球体在流体中的弧线运动探讨

1、匀质球体在流体中的弧线运动探讨020537 仪22 张亚介绍：球体在流体中前进时，不仅仅受到流体的黏滞阻力或压差阻力，如果球体自身存在自旋，还会产生垂直于径向方向的力，从而导致有垂直于运动方向的加速度，使其在流体中的前进方向改变，具体表现为弧线运动。一般的教科书上只给出弧线运动之所以产生的定性解释，但未能定量计算得出答案。而现实中，由人们在生活中的一般认识知道：球体并非满足自旋角速度越大其运动弧度越大，亦与球体本身性质、其径向速度大小、流体黏滞度等因素有关，所以这篇论文将具体探讨这个问题，即主要利用伯努利方程和刚体运动学知识进行定量计算。十九世纪五十年代物理学家马格纳斯Gustav Magnu

2、s研究了这类现象，故有马格纳斯现象之称。 这里首先介绍几个概念：理想流体：完全不可压缩的无黏滞流体。茹可夫斯基定理：在流体中以速度-U=-运动的物体受到的横向力正比与流体密度和绕物体的环量. Uy.附壁边界层：当流体非理想流体，存在黏滞性时，处于其中的固体外表处流体的相对速度总是为0。在固体不动的参考系内，沿外表的外法向，流体速度的切向分量有一个梯度。此梯度随离开外表的距离而减小，最后趋于0。亦即，流速渐进地趋于未受固体扰动的主流。附在壁面速度梯度明显不为0的这层流体，称为边界层boundary layer。流体的黏滞性愈小，边界层愈薄。边界层的厚度正比于，其中为流体密度，为流体黏度。在边界层

3、以外的区域黏滞性可以忽略，即我们可以使用理想流体模型。雷诺数：对于球体来说，Re =小雷诺数 =6 大雷诺数 模型建立：为了很好地说明球体的弧线运动，我将尽量简化模型，然后逐步引入复杂量。首先，我的模型可视为在一个无外力包括重力的环境中充满了连续均匀的流体，其中一个匀质正球体在其内运动。流体和球体只有相互的作用。由附着边界层定义知：对于流体并非理想情况，必然有黏滞系数。由于其存在黏滞性，附着于浸在流体中的固体壁上的流体与固体外表的相对运动速度总为0。当球体在流体中不仅有径向速度时，还存在自旋，即角速度,那么其外表的环流与气流的速度相叠加，使流体相对速度加快，此时，转换到球坐标中进行计算：球体自

4、旋旋转的球体会带动周围的流体随之转动，形成环流运动。 旋转球体产生的 流体动力方向与来流速度球体的前进方向前进方向相垂直旋转的球体会改变运动方向在纬度为的半球上，点的自转速度。所以，纬度为的点上相对流体为。相反的一面为。由伯努利方程：在流体中高度差效应不显著的情况下，那么有+ 那么-对球体上任一点， 沿自旋轴的对应点的相对速度为 其产生垂直于径向方向上的力为：在球面上积分，有=2=即F =曲率半径有由此可见，球体在流体中的弧线运动的曲率半径不仅与其自转角速度有关系，而且还与其本身的前进速度有关。解决了当径向速度和自旋角速度为定值得情形，我将引入其变化规律，将模型复杂化。对于球体来说，随着其飞行

5、轨迹的延长，其速度和角速度都是不断减小的。现在将这两项也考虑进去。首先，对于固体来说，这两项都与阻力和摩擦力有关。实际上阻力与摩擦力是相同的力，但是为了简化计算，我采取分别考虑相关的项来得出近似结果。对于摩擦阻力，可以只看作对于角速度的改变有关。试验证明，流体内面元两侧相互作用的黏性力与面元面积及速率梯度成正比，即=又知边界层厚度 正比于，由于其比例系数比拟复杂，我暂且用K代替，即 在边界层范围内，我们有此力阻碍球体自旋，即产生使自旋角速度减小的角加速度。对于匀质球体，转动惯量 其中力矩 为 与半径乘积。那么对积分，有 由球的质心动量矩定理，有 所以 解决了自旋角速度减小的问题，再考虑速度的变

6、化。对于球体来说，其所受阻力有两种，黏滞阻力和压差阻力。对于本文，将分为小雷诺数和大雷诺数两种情形讨论。当为小雷诺数情形时，使用公式=6可以近似将球体看作是两个不同速度的半球通过流体。一边速度为；另外一边为。所以总的合阻力为当其为大雷诺数情形，那么用公式所以 亦有两种结果I II此时我们已经不但得到了曲率半径与角速度和径向速度的关系，而且还得到了角速度和径向速度随时间的变化率。下一步，我们将考虑球体运动随时间变化表现出的规律。我的目标是解决速度方向的变化和偏移距离。因为偏移距离可以表示为速度变化的函数，所以首先考虑方向的变化我们已经得到 定义A由推导出下式可以看到角速度与时间的关系，即任意时刻

7、时的角速度大小。 同理，对于已经得到的速度关系式进行积分I 定义II定义我们又得到任意时刻径向速度与时间的关系。下边可以解决速度方向变化的问题：由F=(a)首先考虑小雷诺数情形下的运动方向偏转角度对小雷诺数情形有： 因为是常量，可以看到加速度只与时间有关。定义 (b)然后考虑大雷诺数情形下的运动方向偏转角度可以看到小雷诺数和大雷诺数具有相同的。因此，二者积分有相同的结果，即：这时我们已经能够得到任意时刻速度的偏转角度了。再利用这个量解决距离偏移的问题。由刚刚求得的式子知道 时刻速度的角度为。对于小雷诺数情形, 时刻 对于大雷诺数情形，时刻。那么总的偏移为各小偏移的积分： 此时，速度方向的改变和距离的偏移均已得出准确的结果。具体问题可以用此式作一定的分析。不应