理论力学综合问题

1、理论力学综合问题综合问题习题综-1 滑块M的质量为m，在半径为R的光滑圆周上无摩擦地滑动。此圆周在铅直面内，如图所示。滑块M上系有一刚性系数为k的弹性绳MOA，此绳穿过光滑的固定环O，并固结在点A。已知当滑块在点O时线的张力为零。开始时滑块在点B，处于不稳定的平衡状态；当它受到微小振动时，即沿圆周滑下。试求下滑速度v与角的关系和圆环的支反力。解：滑块M在下降至任意位置时的运动分析及受力分析如图（a）所示。滑块M在下降过程中v与的关系可由动能定理确定：解得 （1）滑块M的法向运动微分方程为把式（1）代入上式，化简得 综-3 一小球质量为m，用不可伸长的线拉住，在光滑的水平面上运动，如图所示。线的

2、另一端穿过一孔以等速v向下拉动。设开始时球与孔间的距离为R，孔与球间的线段是直的，而球在初瞬时速度v0垂直于此线段。试求小球的运动方程和线的张力F（提示：解题时宜采有极坐标）解：设小球在任意瞬时的速度为v1，由于作用于小球的力对小孔O之矩为零，故小球在运动过程中对点O的动量矩守恒。即 由题意 r = R - vt得小球在任意瞬时绕小孔O转动的角速度为 即 两边求积分得 故小球的运动方程为 r = R - vt而线的张力为 综-5 图示三棱柱A沿三棱柱B光滑斜面滑动，A和B的质量各为m1与m2，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，忽略摩擦，求运动时三棱柱B的加速度。解：1）以A及B为系

3、统，由于作用于该系统上的外力无水平分量，因此该系统在水平方向动量守恒。即 两边求导得： （1）2)以B为动系分析A的运动。如图（a）。根据 aA = ae + ar = aB + ar （2） （3）3）对A进行受力分析及运动分析，如图（b），建立质点运动微分方程由式（2）、（3）消去ar得 把式（1）代入上式得，再把该式与式（1）代入式（4）、（5）中消去FN，解得 （方向向左）综-7 图示圆环以角速度绕铅直轴AC自由转动。此圆环半径为R，对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A。圆环中的摩擦忽略不计，试求小球到达点B和点C时，圆环的角速度和小球的速

4、度。解：整个系统在运动过程中对转动轴动量矩守恒，机械能也守恒。 设小球至B位置时圆环绕AC轴转动角速度为，小球至C位置时圆环角速度为，又设小球在最低位置为零势能点。1）A至B过程动量矩守恒： （1）机械能守恒（2）把式（1）代入式（2）解得 2）A至C过程动量矩守恒 机械能守恒 如果确定小球在位置B时相对于圆环的速度vBr，则从速度分析知vBr垂直向下，vBe垂直于图面向里，且vBe故 综-9 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O作匀角速度转动。已知曲柄OA的质量为m1，OA = r，滑槽BC的质量为m2（重心在点D）。滑块A的重量和各处摩擦不计。求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC的加速度

5、、轴承O的约束反力以及作用在曲柄上的力偶矩M。解：曲柄OA和滑槽BC、滑块A的受力分析与运动分析分别如图（a）、（b）和（c）所示，其中p ( x )表示在BC在槽上受到的分布力但我们不求这些力。建立如图所示坐标系Oxy。1）求BCD的加速度及水平力。选取BC为动系，OA曲柄上滑块A为动点，A点加速度分析如图（c）所示。根据加速度合成定理 aa = ae + ar由于 故 根据质心运动定理，由图（b）得滑槽BC的运动微分方程 2）求轴承O的动反力及作用在曲柄OA上的力矩M曲柄OA的质心在E点，E点加速度的方向沿曲柄OA方向，且指向O点（见图a），其大小为 根据质心运动定理及刚体绕定轴转动微分方

6、程 （1） （2） (3)将 及= 0代入方程（1）、（2）、（3）中，解得轴承动反力作用在曲柄OA上的力矩 综-11 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的角速度及其质心的轨迹。解：（一）B脱落前瞬时B脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。（二）B脱落后瞬时 B脱落后杆质心作抛体运动 （1） （2）式（1）、（2）消去t，得 即 此即所求脱落后质心的运动轨迹。综-13 图示机构中，物块A、B的质量均为m，两均质圆轮C、D的质量均为2m，半径均为R。轮C铰接于无重悬臂梁CK上，D

7、为动滑轮，梁长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：（1）A物块上升的加速度；（2）HE段绳的拉力；（3）固定端K处的约束反力。解：图（a） （各自正向如图示）重力功：即 上式求导：图（b）：由系统动量矩定理图（c）图（d）图（c）综-15 均质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一均质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成角的瞬时，杆的角速度和角加速度。解：系统由水平位置转至与水平成任意角位置的过程中机械能守恒。设水平位置OA为零势能位置，而圆盘在运动过程中，因无外力

8、偶作用，只能作平动。因而有（1） （顺）式（1）对t求导后消去，得 （与同向）综-17 图示质量为m、半径为r的均质圆柱，开始时其质心位于与OB同一高度的点C。设圆柱由静止开始沿斜面滚动而不滑动，当它滚到半径为R的圆弧AB上时，求在任意位置上对圆弧的正压力和摩擦力。解：圆柱由静止开始沿斜面然后进入圆弧轨道过程中只滚不滑，受力及运动分析见图（a）设圆柱质心速度为v，则由动能定理得由图（a），根据以点D为矩心的动量矩定理有：（必须指出，这里的点D为圆柱的速度瞬心，且圆柱在运动过程中速度瞬心至质心的距离不变，才有如下的表达式）而 由质心运动定理：代入解得 （与原设反向）综-19 均质细杆AB长为l，质量为m，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小干扰，杆绕B点倾倒如图。不计摩擦，求：（1）B端未脱离墙时AB杆的角速度、角加速度及B处的反力；（2）B端脱离墙壁时的角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。解：（1）图（a） （未脱离时定轴转