相似三角形培优专题

1、相似三角形培优专题1.如图，在 Rt&BC 中，Z ACB=90 , CDLAB 于 D.求证：(1)4ACDs ABC;2(2)AC =AD*B;2(3)CD =ADRB.证明：(1)/ACB=90 , CD LAB,.Z CDA = 90 = Z ACB,. Z A= Z A,.ACDA ABC./A ACDA ABC,.AC =ADAB AC 2 .AC = AD SB;.CDAB,.Z ADC= Z BDC = 90 ,. /A+/ACD = 90 , Z ACB= 90.Z A+ZB= 90Z ACD= Z B.A ACDA BCD,.CD _ADBD - CD 2.CD = ADZ

2、)B .2.如图，点 C, D在线段AB上，4PCD是等边三角形，且 /APB=120,求证: (1)AACPA PDB,(2)CD2=ACjBD.证明：(1);4 PCD是等边三角形，/ PCD = / PDC = / CPD = 60, ./ACP= ZPDB = 120,. / APB= 120 ,./ APC+/ BPD= 60,. / CAP+Z APC=60./ BPD= / CAP, .,.ACPAPDB ;(2)由(1)得 AACPs PDB ,PD BD.PCD是等边三角形,.-.PC = PD=CD,AC CD一二一，CD BD.CD2=AC?BD.3.如图，正方形 DEF

3、G的边EF在4ABC的边BC上，顶点D、G分别在边 AB、AC上，已知那BC 的边 BC= 15,高 AH= 10,(1)求证：AADGsABC;(2)求这个正方形的边长和面积.解：(1)二.四边形形DEFG是正方形,DG / BC.ADGAABC;(2)如图，高 AH交DG于M, 设正方形 DEFG的边长为x,则DE = MH=x,AM = AH - MH= 10 - x,. ADGA ABC,DG AM- ，BC AH,x 10f，1510. . x = 6,x2= 36.答：正方形DEFG的边长和面积分别为 6, 36.4.如图，有一块三角形的余料 ABC,它的高 AH = 40mm,边

4、BC=80mm,要把它加工成一个矩 形，使矩形的一边 EF落在BC上，其余两个顶点 D、G分别在AB、AC上.(1)求证： ADGA ABC;(2)设DE = xmm,矩形DEFG的面积为ymm2,写出y与x的函数关系式；解：(1)二.四边形DEFG是矩形,DG / EF,.ADGAABC, DE=xRH = DE = xAR=AH-RH =40-x.ADGAABC,DG AR 二 , BC AH.DG 40 -x, , ， 8040 .DG = 2 (40-x)y = x?2 ( 40 - x) = - 2x2+80 x5.如图，在 GABC中，Z B=90, AB=20m, BC=12m,

5、点P从点A开始沿 AB边向点 B以2m/s 的速度移动，点 Q从点B开始沿BC边向点C以1m/s的速度移动，P、Q分别从A、B点同时 出发，时间为ts.求当t为何值时，APBQ与祥BC相似？解：由题意得，BP=20-2t, BQ-t,当4PBQ与AABC相似时，=或=BA BC BC BA TOC o 1-5 h z 20-2tt 20-2tt即1=一或二一，2012122060100解得，t二/或t二大，1113“100当t=7T或t二二时，4PBQ与9BC相似；6.如图，已知AABC中AB=6cm, AC=4cm,动点D、E同时从 A、B两点出发，分别沿 AC、B-A 方向匀速移动，它们的

6、速度分别是1cm/s和2cm/s,当点E到达点A时，D、E两点停止运动.设运动时间为t(s),问：当t为何值时， 那DE与9BC相似？解：根据题意得： BE=2t, AD = t,.AE=6- 2t,AE AD当=时，AB AC TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 6-2t tI?即 =一，解得：t二；647AE AD当一=时，AC AB HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 6-2t tg即 * =一,解得：t二-；464g 12综上所述：当t二二或一时，AADE与AAB

7、C相似.4 7.如图所示，矩形 ABCD中，AB=8, BC= 6, P是线段BC上的一点(P不与B重合)，M是DB 上一点且 BP=DM,设BP=x, 4MBP的面积为 y.(1)求y与x的函数关系式.(2)写出自变量的取值范围.解：(1)矩形 ABCD 中，ZC = 90, CD = AB=8,根据勾股定理得，BD = /根+CD? = V空+群=10,过点M作MN XBC于N,则MN / CD,所以，ABNMsBCD,MN BM.一 一二MN 10 TOC o 1-5 h z 即,S10“口4解得 MN 二二(10 一x),2所以，4MBP 的面积为 y=.BP7MN=-x7(10-x)=x2+4x HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22 55即y与x的函数关系式为y二一三x2+4x;J(2)P是线段BC上的一点(P不与B重合)，BC=6,0 x6.如图，RtAABC 中，/ B=90 , AB= 12cm, BC= 10cm,点 D 从点 A 出发沿 AB 以 2cm/s 的速度 向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE / BC, DF /AC（点E、F分别在AC、BC上）.求经过t时四边形 DFCE的面积y.解：运动时间为 t,则 AD=2tcm, DB=(12-2t)cm.DE / BC