一致收敛性剖析课件

1、一. 函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性：设函数列fn(x)与函数f定义在同一数集D上,若对任给的正数,总存在某一自然数N,使得当nN时,对一切xD都有则称函数列fn(x)在D上一致收敛于f ,记作定理1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列fn(x)在数集D上一致收敛的充要条件是:任给正数总存在正整数N,使得当n,mN时,对一切xD,都有定理2 函数列fn(x)在D上一致收敛于f的充要条件是或当n,N时,对任意正整数p,对一切xD,都有一致收敛.推论 设在数集D上fn(x)f(x)(n),若存在数列xnD,使|fn(xn)-f(xn)| 0,则函数列fn(x)在数集D上非应用此方法判断函数列f

2、n(x)在数集D上非一致收敛于f(x)时,常作辅助函数Fn(x)=fn(x)-f(x),取xn为Fn(x)在数集D上的最值点.函数项级数的一致收敛性:设Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函数列,若Sn在数集D上一致收敛于S(x),则称函数项级数un(x)在D上一致收敛于S(x),或称un(x )在D上一致收敛.定理3 (一致收敛的柯西准则)或函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的充要条件为对任给的正数,总存在某自然数N,使得当nN时,对一切xD和一切自然数p,都有的充要条件是推论 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列un(x)在一致收敛于零.设函数项级数un(x)在

3、数集D上的和函数为S(x),称为函数项级数un(x)的余项.定理4 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛于S(x)三、函数项级数的一致收敛性判别法定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有则函数项级数un(x)在D上一致收敛.定理6(阿贝耳判别法)设(1) un(x)在区间I上一致收敛;(2)对于任意xI, vn(x)是单调的;(3)vn(x)在区间I上一致有界,即对任意xI,和自然数n,存在正数M,使得| vn(x)| M,则级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.定理7 (狄里克雷判别法)设(1)un(x)的部分和函数列在I

4、上一致有界;(2)对任意xI,vn(x)是单调的;(3)在I上vn(x)一致收敛于0.则级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.对于含参量反常积分2. 含参量反常积分的一致收敛性和函数I (x),若对任意 0,存在N 0,对任意M N,对一切 x a, b,都有则称含参量反常积分在 a,b上一致收敛于I(x),或称(1)在a,b上一致收敛.含参量反常积分一致收敛的判别法一致收敛的柯西准则含参量反常积分(1)在 a, b上一致收敛的充要条件是对任意 0,存在M c, 对任意A1, A2M,对一切x a, b,都有与级数一致收敛的关系在a, b上一致收敛的充要含参量反常积分条件是：对任一趋于+的递

5、增数列An (其中A1=c),函数项级数在a, b上一致收敛.定理 设有函数 g (y),使得魏尔斯特拉斯M判别法:若收敛,则在a, b上一致收敛.狄利克雷判别法若 (1)对任意 N c,含参量正常积分数 x 在a, b上一致有界,即存在 M 0,对一切 N c 及对参一切 x a, b有(2)对任意 xa, b,函数 g(x, y)关于 y 单调递减且当y +时,对参量x, g(x, y)一致地收敛于0,则含参量在a, b上一致收敛.反常积分阿贝耳判别法:(2) 对任意 x a, b,函数 g(x, y)为 y 单调函数,且对参量x , g(x, y)在a, b上一致有界,则含参量反常积分若

6、 (1)在a, b上一致收敛；在a, b上一致收敛.例1 设f(x)在全体实数集上连续,证明:函数列fn(x)在任何有限区间上一致收敛.由f(x)的连续性,把区间0,1 n等分,作函数 f(x+t)的积分和证明:对任何有限区间a,b, f(x)在a,b+1连续,从而一致连续,对任意0,存在0,对任意x ,x a,b+1,当|x -x|时由于所以故取n 充分大,使1/ n ,则因此故fn(x)在a,b一致收敛于例2 设试问当为何值时, fn(x)在0,+)一致收敛.解: 由于当x1/lnn时, f(x)单调递减,因此, fn(x) 在x=1/lnn时取最大值,又所以故故当1时, fn(x)在0,

7、+)一致收敛.例3 证明在(-,+ )上一致收敛.证: 作函数则因此y充分大时,f(y)0,存在正整数N,对一切nN,及任意正整数p,使故取则时根据以上的证明,对任意xa,b,存在0,对任意x(x- , x+ ),存在正整数N,对一切nN,及任意正整数p,有由于构成a,b的一个开覆盖,由有限覆盖定理,存在开区间令对一切nN,及任意正整数p,有故在a,b上一致收敛.例6 证明在0,1上一致收敛.证: 设则故un(x)有驻点0,1,n/n+2,由于故由M-判别法在0,1上一致收敛.例7 设一元函数f(x)在x=0的邻域内有二阶连续导数,f(0)=0,0 f(0)0,在-, 上f(x)连续,且即由于

8、f(x)在-, 上连续,所以存在M0,使取故则对任意x-1, 1,有记有从而由M判别法,在-1, 1上一致收敛.例7 设b0, a1, a2, , an , 为常数列,级数收敛,证明在0,b上一致收敛.证: 1.由于收敛,从而做为函数项级数一致收敛.2.由于故一致有界,由阿贝尔定理即得要证的结论.例8 证明级数在任何有穷区间a,b上一致收敛,但在任意x0a,b不绝对收敛.证: 1. 记c=max|a|,|b|,则即单调下降.另一方面, xa,b时又由狄里克莱判别法,在a,b上一致收敛.2. 对任何x0 a,b是发散级数.一致有界性与等度连续性设fn(x)区间a,b上定义的函数列,若存在常数M0

9、,使对任何xa,b及任何正整数n,有其中M与n无关.则称fn(x)区间a,b上一致有界.fn(x)区间a,b上非一致有界对任意M0,存在正整数j,xja,b使注：fn(x)区间a,b上一致有界的充要条件是存在有界数列an对任何xa,b及任何正整数n,有设fn(x)区间a,b上定义的函数列,若对任意0,存在0,(与n无关) 对任何x1, x2a,b及任何正整数n,有则称fn(x)区间a,b上等度连续.例 设fn(x)是区间(a,b)上定义的连续函数列,若对任意x0(a,b), fn(x0)都是有界数列,证明fn(x)在(a,b)的某个子区间上一致有界.证 设fn(x)在(a,b)的任意子区间上非

10、一致有界.则存在x1(a,b)及正整数n1,有在区间1上有又连续,由连续函数的性质,存在含x1的闭区间1,使由于fn(x)在1上非一致有界,所以存在x2 1及正整数n2,有使在k 上有再由连续函数的性质,存在闭区间2 1,在区间2上有依此下去,得一列闭区间由于1, 2, , n, 的交非空,任取则即fn(x0)存在一个无界子列,从而与fn(x0)有界矛盾.例 设函数列fn(x)在区间a,b上为等度连续函数列,如果则fn(x)在区间a,b上一致收敛于f(x).证 1. f(x)一致连续.对任意0,存在0,对任意x1, x2a,b,任意正整数n,有令n有即f(x)在a,b上一致连续.2. 由于f(x)在a,b上一致连续,对任意0,存在0,对任意x1, x2a,b,当|x1- x2|Ni时令当nN时,对任意xa,b,存在ai,i=1,2, ,k,使从而即