本科《统计学》课件NO7

1、第七章 方 差 分 析熟悉方差分析的有关术语、基本思想及基本假设；掌握单因素方差分析的数据结构、分析步骤，并能用Excel进行方差分析；学习目标了解双因素方差分析的数据结构、分析步骤，并能用Excel进行方差分析。目录第一节 方差分析概述第二节 单因素方差分析第三节 双因素方差分析第一节 方差分析概述 方差分析是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响的。一、 方差分析的有关术语【例7-1】某机构抽取16家企业作为改革方案的试点单位，并为4种改革方案分别分配4家企业开展试行工作。不同改革方案在各企业中带来的工人收入增加值如表7-2所示。一、 方差分析的有关术语

2、在方差分析中，所要检验的对象称为因素。在【例7-1】中，“改革方案”是所要检验的对象，即因素或因子。（一） 因素一、 方差分析的有关术语因素的不同表现或取值称为水平或处理。在【例7-1】中，“方案1”“方案2”“方案3”“方案4”是“改革方案”这一因素的具体表现，即水平。（二） 水平一、 方差分析的有关术语每个因素水平下得到的样本数据称为观测值。在【例7-1】中，每一种改革方案在各个企业中所带来的“工人收入增加值”就是观测值。（三） 观测值二、 方差分析的基本思想方差分析是通过对数据误差来源的分析来判断不同总体的均值是否相等，从而得出自变量对因变量是否有显著影响的结论。因此，人们在进行方差分析

3、时，需要考察数据的误差来源。三、 方差分析的基本假设假设1：每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于因素的每一个水平，其观测值来自于正态分布总体的简单随机样本。假设2：各个总体的方差必须相同。也就是说，各组观测数据是从具有相同方差的正态分布中抽取的。假设3：观测值是独立的。四、 方差分析中假设的一般提法设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1，2，3，k表示，要检验k个水平（总体）的均值是否相等，需要提出以下假设：H0：1=2=3=k(自变量对因变量没有显著影响)H1：1，2，3，k不完全相等(自变量对因变量有显著影响)四、 方差分析中假设的一般提法比如，在【例7-1】中，设方案1方案4所带来

4、的工人收入增加值的均值分别为1，2，3，4。为检验改革方案对工人收入增加值是否有影响，需要提出以下假设：H0：1=2=3=4(不同改革方案对工人收入增加值没有显著影响)H1：1，2，3，4不完全相等(不同改革方案对工人收入增加值有显著影响)第二节 单因素方差分析一、 单因素方差分析的数据结构调查人员在进行单因素方差分析时，需要用到的数据结构如表7-3所示。一、 单因素方差分析的数据结构为叙述方便，在单因素方差分析中，用A表示因素，因素的k个水平（总体）分别用A1，A2，A3，,Ak表示，每个观测值用xij（i=1,2，3，k；j=1,2,3，n）表示，即xij表示第i个水平（总体）第j个观测值

5、。比如x32表示第3个水平的第2个观测值。其中，从不同水平中抽取的样本容量既可以相等，也可以不等。二、 单因素方差分析的分析步骤（一） 提出原假设和备择假设H0：1=2=3=k(自变量对因变量没有显著影响)H1：1，2，3，k不完全相等(自变量对因变量有显著影响)若不拒绝原假设H0，则不能认为自变量对因变量有显著影响，即不能认为自变量与因变量之间有显著关系；若拒绝原假设，则意味着自变量对因变量有显著影响，即自变量与因变量之间有显著关系。值得注意的是，拒绝原假设H0只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等。二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量假设从第i个总体

6、中抽取一个容量为ni的简单随机样本，令 为第i个总体的样本均值，则有 式中，ni为第i个总体的样本观测值个数；xij为第i个总体的第j个观测值。1. 计算因素各水平（总体）的均值二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量全部观测值的总均值是全部观测值的总和除以观测值的总个数。令总均值为 ，则有 式中，n=n1+n2+n3+nk。2. 计算全部观测值的总均值二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量为构造检验的统计量，分析人员在方差分析中需要计算三个误差平方和。3. 计算误差平方和总离差平方和（1）水平项误差平方（2）误差项误差平方和（3）二、 单因素方差分析的分析步骤（二）

7、 计算检验统计量它是全部观测值与总平均值的误差平方和，反映了全部观测值的离散状况。其计算公式如下：3. 计算误差平方和总离差平方和（1）二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量水平项误差平方和也称为组间平方和，是各组均值与总均值的离差平方和，反映了各总体的样本均值之间的差异程度。其计算公式如下：3. 计算误差平方和水平项误差平方（2）二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量误差项误差平方和也称为组内平方和，是每个水平或组的各样本数据与其组均值误差的平方和，反映了每个样本各观测值的离散状况。其计算公式如下：3. 计算误差平方和误差项误差平方和（3）二、 单因素方差分析的分

8、析步骤（二） 计算检验统计量SST，SSE和SSA之间的关系可用等式表示如下：3. 计算误差平方和误差项误差平方和（3）二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量具体推导过程如下：经证明可知：3. 计算误差平方和二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数；SSE的自由度为n-k，其中k为因素水平（总体）的个数；SSA的自由度为k-1。由于这里主要是比较组间均方和组内均方之间的差异，故通常只计算SSA的均方和SSE的均方。4. 计算均方二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量SSA的均方（组间均方）记为MSA，计算公

9、式如下：SSE的均方（组内均方）记为MSE，计算公式如下：4. 计算均方二、 单因素方差分析的分析步骤（二） 计算检验统计量检验统计量如下：5. 得出检验统计量二、 单因素方差分析的分析步骤（三） 做出决策在计算出检验统计量后，分析人员应将统计量的F值与给定的显著性水平的临界值F（k-1，n-k）进行比较，从而做出对原假设H0的决策。若FF（k-1，n-k），则拒绝H0，即H0：1=2=3=k不成立，表明各个总体均值之间存在显著性差异；若FF，则拒绝原假设H0，表明1，2，3，r之间的差异是显著的，即所检验的因素A对观测值有显著影响；若FBF时，则拒绝原假设H0，表明1，2，3，k之间的差异是

10、显著的，即所检验的因素B对观测值有显著影响。3. 做出统计决策二、 有交互作用的双因素方差分析（一） 有交互作用双因素方差分析的数据结构假设两个因素分别为A，B。A因素有r个不同水平，分别为A1，A2，A3，Ar；B因素有k个不同水平，分别为B1，B2，B3，Bk。在有交互作用的双因素方差分析中，为了对A，B两个因素的交互作用进行分析，人们需要对两个因素各水平的组合进行若干次重复的观察。假设对每个水平组合AiBi重复t次试验，每次试验结果用xijt表示，那么有交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7-10所示。二、 有交互作用的双因素方差分析（一） 有交互作用双因素方差分析的数据结构二、 有交

11、互作用的双因素方差分析（一） 有交互作用双因素方差分析的数据结构设xijl为对应于因素B第i个水平和因素A第j个水平的第l个观测值； 为因素B的第i个水平的样本均值； 为因素A的第j个水平的样本均值； 为对应于因素B的第i个水平和因素A的第j个水平组合的样本均值； 为全部n个观测值的总均值。相关计算公式如下：二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步骤（1） 对因素A的原假设和备择假设。H0：因素A各水平的均值之间无显著差别。H1：因素A各水平的均值之间有显著差别。（2） 对因素B的原假设和备择假设。H0：因素B各水平的均值之间无显著差别。H1：因素B各水平的均值之间

12、有显著差别。1. 提出原假设和备择假设二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步骤（3） 对AB交互作用的原假设和备择假设。H0：AB交互作用影响不显著。H1：AB交互作用影响显著。1. 提出原假设和备择假设二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步骤在有交互作用的双因素方差分析中，人们需要将总离差平方和SST分解成四部分，即SSA，SSB，SSAB和SSE，分别反映因素A、因素B、因素A与因素B交互作用和剩余因素产生的误差平方和。它们的计算公式分别如下：2. 计算检验统计量二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步

13、骤SST的自由度为rkt-1,即n-1；SSA的自由度为r-1；SSB的自由度为k-1；SSAB的自由度为(r-1)(k-1)，SSE的自由度为rk(t-1)。SST，SSA，SSB，SSAB，SSE的自由度之间有以下关系：n-1=(r-1)+(k-1)+(r-1)(k-1)+rk(t-1)2. 计算检验统计量二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步骤由平方和与自由度可以计算出均方MSA，MSB，MSAB和MSE，分别如下：2. 计算检验统计量二、 有交互作用的双因素方差分析（二） 有交互作用双因素方差分析的步骤根据以上结果，可以计算出因素A、因素B和AB交互作用的检验统计量，计算公式分别如下：2. 计算检验统计量二、 有交