信号与系统-3章傅里叶变换课件

1、1.傅里叶级数定义及适用条件2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质4.周期信号的傅里叶变换5.抽样定理6.功率频谱与能量频谱7.系统频域分析法8.希尔伯特变换第3章 傅里叶变换 重点： 傅里叶1768年生于法国,1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”, 1822年在“热的分析理论”一书中再次提出。1829年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪60年代之后。3.1 傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表

2、示”.三角函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：3.2 周期信号的傅里叶分析1. 归一化：2. 归一正交化：3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号周期的终点 设三角函数的完备函数集为：其中三角函数集也可表示为：3.2.1 傅里叶级数的三角形式基频 周期 周期的起点 时，有（2）“单位”常数性，即当 满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有 可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为系数称为傅里叶级数 同上式 傅里叶级数的三角展开式 另一种形式 直流分量 n=0n=0基波分量 n次谐波分量 可展开为傅里叶级数的条件：（2） 在区间内

3、有有限个间断点；（1） 绝对可积，即：（3） 在区间内有有限个极值点。Direchlet条件傅里叶级数存在的充要条件式中， 为n次谐波振幅。 为n次谐波初始相位。！并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！ 1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2 傅里叶级数的复指数形式利用欧拉公式:式中幅度 相位 复指数 幅度 的具体求法如下：2. 直接从复变正交函数集推导中展开，有在复变正交函数空间将原函数式中例求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。已知冲激序列-T0 O T0 2T0 t的三角傅里叶级数为：又解求下图中三角波的三角傅里叶级数。则为的周期延拓，即 将去除直流分量，则仅剩交流分量在内的函

4、数记为（1）将周期函数例解A-T0 O T0 2T0 t 故（2）利用直接法求解故 常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v的定积分。3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现3.3 周期信号的对称性 1纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之

5、和仍然是奇函数）。满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。定义： 奇谐函数 偶谐函数满足 的周期为T 的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。2横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。已知奇谐函数：例解3.4 常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念频谱图表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹）

6、，纵坐标对应各频率分量的幅度值 。 振幅频谱（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位 （单位常用度或弧度）。 相位频谱（相频特性图）例，求频谱解（1）单边频谱： （2）双边频谱： 包络线 频谱图随参数的变化规律： 1）周期T不变，脉冲宽度变化第一个过零点：谱线间隔情况1：第一个过零点为n =4 。 在 有值（谱线） 第一个过零点n=8 情况2：脉冲宽度缩小一倍第一个过零点增加一倍谱线间隔不变幅值减小一倍第一个过零点为n =16。情况3：脉冲宽度再缩小一倍示意图 第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变幅值再减小一倍 由大变小，Fn 第一过零点频率增大

7、，即 所以 称为信号的带宽， 确定了带宽。 由大变小，频谱的幅度变小。由于 T 不变，谱线间隔不变，即 不变。结 论 第一个过零点情况 1：时，谱线间隔2）脉冲宽度不变, 周期T变化 示意图 第一个过零点谱线间隔幅值: 第一个过零点 情况 2：时，谱线间隔周期T扩展一倍示意图 谱线间隔减小一倍第一个过零点不变幅值减小一倍 第一个过零点 情况 3：时，谱线间隔周期T再扩展一倍示意图 谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍 第一个过零点不变 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即 带宽不变。T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 T 时，谱线间隔 0 ，这时： 周期信号 非周期信号；离散频谱

8、连续频谱结 论典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下： 1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号3.4.2 常见周期信号的频谱1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱幅度谱复数频实数频谱幅度谱与相位谱合并 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：(1)是正负交替的信号，其直流分量a0等于零；(2)它的脉宽恰等于周期的一半

9、，即t =T1/2。2. 周期对称方波信号的傅里叶级数幅度谱相位谱3. 周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数bn。如何求bn留作思考！其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。4. 周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求bn留作思考！此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：5. 周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数a0 、an。如何求b

10、n留作思考！此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：6. 周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为则，全波余弦信号为：此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n= .实际中，n=N, N是有限整数。如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小若用2N1项逼近，则3.4.3 吉布斯效应误差函数和均方误差误差函数均方误差对称方波, 是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余

11、弦项。例-E/2T1/4-T1/4tE/2o对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1、2、3时的逼近波形）（3）N=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限项的N越大，误差越小例如: N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；有吉伯斯

12、现象发生。结论以周期矩形脉冲为例：只需修改上面程序(3.2.3节)中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非plot命令。谐波阶数取还需用到MATLAB的反褶函数fliplr来实现频谱的反褶。 上机练习！3.4.4 周期信号的MATLAB仿真实现对周期矩形脉冲信号，有3.5 非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换谱线间隔谱线间隔0 从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。由于1从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。T 时，信号的频谱分布仍然存

13、在。 结论无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。 从数学角度来看：所以，傅里叶级数展开为：为频谱密度函数。定义周期信号：频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 为有限值。非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。 所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。！2傅里叶逆变换怎样用计算3. 正、逆傅里叶变换反变换正变换!傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换存在的充分条件:用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。4傅里叶变换的另外几种形式 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.

14、单边指数信号 6. 符号函数2. 双边指数信号 7. 冲激函数傅里叶变换对 3. 奇双边指数信号 8. 冲激偶的傅里叶变换 4. 矩形脉冲信号 9. 阶跃信号的傅里叶变换5. 钟形脉冲信号 10. 复正弦信号 3.5.2 常见信号的傅里叶变换1. 单边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：利用傅里叶变换定义公式时域波形单边指数信号的频谱如下：频域频谱2. 双边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：（正实函数）利用傅里叶变换定义公式求解过程时域波形双边指数信号的频谱如下：频域频谱相位3. 奇双边指数信号的傅里叶变换频域频谱时域波形频谱如下：4. 矩形脉冲信号的傅里叶变换实函数时域有限的矩形脉冲信

15、号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（频带B）为5. 钟形脉冲信号的傅里叶变换 （高斯脉冲）其傅里叶变换为：（正实函数）因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频谱为零。时域波形频域频谱6. 符号函数的傅里叶变换其傅里叶变换为：（纯虚数函数） 符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。7. 冲激函数傅里叶变换对直流信号的傅里叶变换是冲激函数！均匀谱或白色谱1Oto1OtO8. 冲激偶的傅里叶变换 记为 同理，有9. 阶跃信号的傅里叶变换 幅频特性 相频特性 u(t)Ot1O10复正弦

16、信号 的傅里叶变换为一位于且强度为的冲激函数。 结论O升余弦脉冲信号的傅里叶变换 补充升余弦脉冲信号：其傅里叶变换为：（实数）其频谱由三项构成，均为矩形脉冲频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了利用傅里叶变换定义公式化简得：求解过程3.5.3 MATLAB仿真实现MATLAB数学工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏变换及逆变换的函数fourier()和ifourier()。（1）傅里叶变换调用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) （2）傅里叶逆变换调用格式1）f=ifourier(F) 2）f=i

17、fourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在调用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令对所用到的变量进行说明，即将这些变量说明成符号变量。对fourier()中的函数f及ifourier()中的函数F也要用符号定义符syms将f或F说明为符号表达式；若f或F是MATLAB中的通用函数表达式，则不必用syms加以说明。 ！书中例题可上机练习时间函数 频谱某种运算 变化 变 化 运算3.6 傅里叶变换的性质1. 傅里叶变换的唯一性傅里叶变换的唯一性表明了信号的时域和频域是一一对应的关系。 ！2.对称性（频域、时域呈现的对应关系）若 ，则即证明证毕如冲

18、激和直流函数的频谱的对称性就是一例子：！若 为偶函数，则 或 即f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。F()OOOOF(t)tt（1）冲激函数（2）直流函数1OO1OOFT对称性t 换成f 换成F1换成例解 3. 线性（叠加性、均匀性） 相加信号频谱各个单独信号的频谱之和证明推论求 f(t) 的傅里叶变换例解4. 奇偶虚实性无论 f (t) 是实函数还是复函数，下面四式均成立:时域反摺频域也反摺时域共轭频域共轭并且反摺更广泛地讲，函数f(t)是t的复数；令虚部实部整理上式得出：把式（2）、（3）代入式（1）整理得：性质1 实数函数 设f(t)是t的实函数,则 的实部与虚部将分别等于 f2(t

19、)=0，f(t)=f1(t)，则有 特殊情况讨论：从上式可以得出结论: 实信号的频谱具有很重要的特点，正负频率部分的频谱是相互共轭的.特点偶函数奇函数性质2 虚函数设f(t)是纯虚函数则反之也正确.因而 是 的奇函数,而 是 的偶函数。性质3 实偶函数实偶函数的傅里叶变换仍为实偶函数结论反之，若一实函数f(t)的傅里叶积分也是实函数，则f(t)必是偶函数。推论设f(t)是t的实偶函数，则例解tOf(t)F()tO性质4 奇实函数 设f(-t)=-f(t) ，则：反之，若一实函数f(t)付里叶积分是一纯虚函数，则f(t)必是奇函数。实奇函数的傅里叶变换则为虚奇函数结论推论例解tOf(t)O|F(

20、)|OF()O()/2-/2同理可以推出：若 是虚函数且还是偶函数，则 的傅里叶变换为虚偶函数。性质5：性质6：若 是虚函数且还是奇函数，则 的傅里叶变换为实奇函数。读者可以仿照性质3、性质4给予简单证明如果将 按照奇偶来划分 由此可看出，此时F()是虚函数且是的奇函数。对于f(t)为虚函数的情况，分析方法同上，结论相反。 上述讨论的结果如下:f(t)F()实一般实部偶、虚部奇、幅频偶、相频奇偶实部偶奇虚部奇虚偶虚部偶奇实部奇5. 尺度变换特性时间波形的扩展和压缩,将影响频谱的波形对于一个实常数a ，其关系为令x=at，则dx=adt ，代入上式可得则证明时域压缩则频域展宽；展宽时域则频域压缩

21、。结论时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）f(t/2)缩tO缩f(2t)缩tO缩1展展O展展O尺度变换变换后语音信号的变化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例定义若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效频带宽度 。 等效频带宽度若高度为 的矩形与 的面积相等，则称矩形宽度为等效脉冲宽度 。 等效脉冲宽度信号的等效

22、脉冲宽度和占有的等效频带宽度成反比。 结论(2) 脉宽频宽常数(1) 函数 f(at) 表示函数 f(t) 在时间刻度上压缩a倍，同样 表示函数在频率刻度上扩展a倍，因此比例性表明，在时间域的压缩等于在频率域中的扩展反之亦然。上述反比特性的物理意义：6. 时移特性若 则证明令则同理可推得：带有尺度变换的时移特性令a 0时加绝对值单矩形脉冲 的频谱为有如下三脉冲信号：其频谱为求三脉冲信号的频谱例解 频移特性与时移特性对称（这里0为实常量） 7. 频移特性证明若则同理可得矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t 相乘后信号的频谱函数。利用频移特性可得宽度为 的矩形脉冲信号对应的频谱函数为例解0A

23、2/tt2/t-)(tfowF()F()oww0- w02/tAt2/t-t tfcos)(w08. 微分特性 （1）时域（2）频域，则若若 ，则证明（略）9. 积分特性若（1）时域积分则, 则若(2) 频域积分若则10 . 卷积定理（1）时域卷积定理 设有两个时间函数f1(t)和f2(t)，它们分别对应的频谱函数为F1()和F2()：若则可简记为证明式中（2）频域卷积定理若则可简记为1. 用频移特性3.7 周期信号的傅里叶变换 3.7.1 正、余弦信号的傅里叶变换令 由频移特性 oo余弦信号频谱 正弦信号频谱2. 用极限方法有限长余弦 看成矩形 乘以 。对 求极限即可得到无限长余弦信号。1-

24、13.7.2 一般周期信号的傅里叶变换周期信号式中 求单位冲激序列 的傅里叶变换 例解FSFTOO(1)O1O小结周期信号傅里叶变换的特点： (1) 周期信号可求取傅里叶变换和傅里叶级数，但非周期信号则只能求傅里叶变换；(2) 非周期信号的频谱 是连续谱，它的大小是有限值；(3) 周期信号的频谱 是离散谱，其幅值是无穷大（含谱密度概念），它的大小用冲激表示； 是 的包络的 倍； 是单个复谐波成份的复振幅，而 是单位带宽内所有复谐波成分的合的复振幅值； （6） 的单位是伏特或安培，而 的单位则是(伏特/赫，安培/赫)；(7) 代表的是信号的功率分配, 而 代表了信号的能量分布。 3.8 抽样定理

25、取样目的及所遇到的问题：数字信号处理系统简单框图（1) 取样后离散信号的频谱是什么样的？它与未被取样的连续信号的频谱有什么关系？（2)连续信号被取样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从取样的信号还原成原始信号？问题:连续信号离散信号抽样还原(有条件) 抽样时域抽样频域抽样自然抽样(矩形抽样)理想抽样(冲激抽样)平顶抽样低通(掌握)带通（了解)此时的抽样脉冲p(t)是矩形。由于fs(t)=f(t)p(t) 抽样信号在抽样期间脉冲顶部随f(t)变化，故这种抽样称为“自然抽样”。时域抽样简图抽样过程可以看成由原信号f(t)和一个开关函数p(t)的乘积来描述。抽样信号为1矩形脉冲抽样

26、（自然抽样）3.8.1 时域抽样 连续信号f(t)抽样脉冲p(t)量化编码数字信号抽样信号由于p(t)是周期信号，可知p(t)的傅氏变换为:令模拟带限信号傅氏变换为 ，即取样脉冲序列的傅氏变换为 设取样为均匀抽样，周期为Ts，则取样角频率为（1）抽样信号频谱推导式中：由频域卷积定理得，时域相乘的傅氏变换等于它们的频谱在频域里相卷积。代入上面计算出的p(t)信号在时域被抽样后，它的频谱 是连续信号的频谱 以取样角频率 为间隔周期地重复而得到的。在重复过程 中，幅度被取样脉冲p(t)的傅里叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列的形状。 ！当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时，幅度以Sa函数的规律变化。从

27、的频谱图可见，抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而呈Sa函数分布。因矩形脉冲占空系数很小，故其频谱所占的频带几乎无限宽。！抽样后频谱o1o抽样前频谱(1) 如果取样脉冲宽度与系统中各时间常数相比十分小的时候，这个冲激函数的假定将是一个很好的近似，它将使分析简化。(2) 通过冲激取样的方法来表明数字信号，在数字信号处理中有着广泛的应用。(点抽样；均匀抽样)取样率必须选得大于信号频谱最高频率的两倍。（2）抽样频率的选择！（3）矩形脉冲抽样of (t)oooo点乘卷积oP (t)2. 冲激抽样（理想抽样）

28、若取样脉冲是冲激序列，此时称为“冲激取样”或“理想抽样”。设Ts为取样间隔，则取样脉冲为因T(t)的傅氏系数为:故冲激取样信号的频谱为：周期单位冲激序列的FT：ooooo抽样前信号频谱抽样后信号频谱由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以 是以 为周期等幅地重复，如下图所示：（1）时域理想抽样的傅里叶变换下面对矩形脉冲抽样和冲激抽样进行比较和小结：FT相乘 相卷积FT（2）关于非理想抽样非理想抽样理想抽样比较理想抽样和非理想抽样的对比 结论 矩形脉冲抽样和冲激抽样的重要差别就在于频谱分量的性质不同。矩形脉冲抽样所导出的频谱分量的幅度是按包络 的变化规律随频率而下降的，而理想抽样所导出的频谱却有

29、着相同的幅度，不随频率而减少； 是信号本身固有的； 是人为的； 称为奈奎斯特抽样频率； 称为奈奎斯特抽样间隔； 抽样频率为奈奎斯特抽样频率的两倍或两倍以上时，抽样信号的频谱才不会发生混叠。只有这样才能无失真地恢复出原信号。 3抽样定理定理3.1设有一连续信号 f(t)，它的频谱则只要取样间隔满足 ，连续信号f(t)就可表示为： 由于f(t)的频带有限,而时域取样必导致频域周期。在周期重复时，为保证 内为 ，则重复周期应满足 ,将取样信号 通过截止频率为 的理想低通滤波器，便能从中恢复 ,也就是说，能从取样信号fs(t)中恢复出原始信号 f(t)。证明OO由时域卷积定理知：复原始信号f(t)。设

30、 、 ,则当 通过截止频率为 的理想低通滤波器时，滤波器的响应频谱为 ，显然滤波器的作用等效于一个开关函数 同 的相乘。即则 (内插公式)证毕而由傅里叶变换的对称性可知：由于定理二是讨论由离散信号恢复成连续信号，所以又称重建定理。 设f(t)是一带限连续信号，最高频率为 ,根据定理一对f(t)进行抽样，得f(nT)，则f(nT)经过一个频率响应为如图的理想低通滤波器后便得到f(t). (自证)定理3.210频域抽样定理 若信号 为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。3.8.2 频域抽样 频域有限时域有限时

31、域无限频域无限但反之不一定成立如：白噪声时域取样与频域取样的对称性f(t) 以 为周期重复f(t)以T为周期重复根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理偶函数变量置换 频域取样后的时间函数相乘卷积抽样定理小结时域对 取样等效于频域对 重复时域取 样间隔不大于 。频域对 抽样等效于时域对 重复频域取样间隔不大于 。满足取样定理，则不会产生混叠。3.9 功率频谱与能量频谱3.9.1 周期信号的功率谱 周期性信号的能量无穷大，功率有限，因此可从功率方面进行研究。 (1) 正交分解与信号功率 对周期信号f(t)做正交分解，有： 则总功率为式中，为正交信号分量的功率 如果信号在非正交函数集中分解后，信号

32、的功率并不满足叠加性（如泰勒级数展开）。 注意利用信号傅里叶级数分解后的信号分量，计算原信号的功率 例 因为傅里叶级数分解是正交分解 解时域求得的信号功率频域求得的信号功率（1）周期信号的表示形式对于周期信号，在时域中求得的信号功率频域中的信号各谐波分量功率之和。这就是 Parseval 定理在周期信号时的表示形式帕塞瓦尔定理：（2）信号有效值 与信号有着相同的功率的直流信号的大小，称为信号的有效值。设 为某直流信号的幅度值。若信号 的功率与该直流信号的功率相等，则 式中，称为信号的有效值。注意！信号的有效值不能叠加求标准正弦信号的有效值.例解利用信号傅里叶级数分解后的信号分量计算信号的有效值

33、。例解(1) 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）的频率上，子信号功率 ，直流信号的功率为 将周期性信号在各个频率上分量的功率大小，用图的方法表示出。其横坐标为频率，纵坐标为信号分量的功率，该图形称为功率谱图。功率谱与频谱非常相似，但有稍许不同：(2) 对于双边功率谱，在每个频率点上，子信号功率为：(3) 功率谱只有大小（幅度），没有相位。（3）周期性信号的功率谱3.9.2 能量频谱 对于非周期信号而言，其周期为无穷，但能量有限，所以它的功率为零，故我们只可以从能量角度研究对其进行研究。 非周期信号在各个频率上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱 描述单位频带内的信号能量。：（1）能量

34、谱信号总能量：定义 双边能量谱 如果信号是实数信号，则还可以得到其单边能量谱为：单位角频率 如果换成单位频率 则信号总能量为 双边能量谱： 单边能量谱： 能量谱和功率谱一样，同样只有大小（幅度），没有相位。注意！能量信号：信号在时间区间(-,+ )内的能量为有限值，而在时间区间(-,+ )内的平均功率P=0，这样的信号称为能量信号。非周期信号当它在有限时间范围内有一定的数值；而当 t 时数值为0时。即为能量信号。能量信号的能量的计算公式： 信号的总能量 ，可以推导出：时域求得的信号能量频域求得的信号能量对于非周期信号，信号能量可以从时域中求得,也可以从频域中求得。这就是 Parseval 定理

35、在非周期信号时的表示形式（2）Rayleigh定理 求信号 的能量。解根据对称特性：令 =10例根据频域卷积定理：信号的能量为：（3）脉冲信号的脉冲宽度和频带宽度 对于信号的能量分析，同样可以运用等效时宽和等效频宽的约束性。等效时宽 脉冲的绝大部分能量集中的时间区间 等效频宽 脉冲的绝大部分能量集中的频率区间 对于同一种信号而言 常数 3.9.3 两个信号相似程度的描述 在信号分析中有时要比较两个信号是否相似。 一般可以用误差能量 来度量确定信号的相似性。 设x(t)、 y(t)为两个确定信号， 误差能量定义 为相关系数 式中, a为系数， 选择合适的a使ay(t)与x(t)的误差能量 最小，

36、 即： 得 ，此时：定义相对误差能量为：式中, 为相关系数。 因为 所以相关系数满足关系|xy|1 注意！xy=1，x(t)、y(t)线性相关，形状完全相似，误差能量xy=-1，x(t)、y(t)线性相关，形状完全相反，误差能量xy=0，x(t)、y(t)线性无关，形状完全不同。 两个无时差信号的相似性可用相关系数来表示，当遇到两个有时差信号，如无线接收机收到的两个不同（电离层反射）路径的信号，这时相似性研究就需要用相关函数表示。相关函数研究的是信号在时移过程中的相关性。 对两个不同信号或同一个信号在时移过程中的相似性研究， 分别用互相关函数与自相关函数来表示。 相关函数1. 互相关函数 定义

37、两个能量信号x(t)、 y(t)的互相关函数为同理若x(t)、 y(t)均为实能量信号， 则一般Rxy()Ryx() 定义两个功率信号x(t)、 y(t)的互相关函数为若x(t)、 y(t)均为实功率信号， 则 2. 自相关函数 若x(t)=y(t)，互相关函数便成为自相关函数, 此时Rxx()一般用R()表示为若x(t)为实能量信号， 自相关函数可表示为 若x(t)为功率信号， 自相关函数可表示为若x(t)为实功率信号， 自相关函数可表示为 3. 相关函数的特点(1)一般情况下(2)(3)相关与卷积的关系 h (t) h (-t)没有反褶变量互换证明相关定理则若若有y(t)是实偶函数， 也是

38、实偶函数则此时相关定理就是卷积定理去共轭变量互换自相关函数与幅度谱的平方是一对FT：周期余弦 的自相关对功率有限信号取一个周期T例解同周期1可见周期信号的自相关仍为同周期的函数。 例求周期余弦信号x(t)=E cos1t 的自相关函数。解在时域中,卷积积分的方法可求得系统的零状态响应。它是以冲激信号作为基本信号，将任意连续信号分解为无穷多个冲激函数的加权和，每个冲激函数对系统的响应叠加起来，就得到的零状态响应。本节中,正弦信号或谐波信号作为基本信号，将信号分解为无穷多个正弦信号或虚指数的加权和。这些信号作用于系统时所得到的响应之叠加即为系统的零状态响应。 3.10 系统频域分析法在时域中其中：

39、H(j)=FTh(t) 称频域系统函数。则h(t)= IFTH(j) 也称系统的频率响应。称为幅频特性，称相频特性。输入的频谱响应的频谱3.10.1 周期性信号的稳态响应在频域中式中 为h(t)的傅里叶变换，频域系统函数可见，系统的零状态响应yzs(t)是等于激励ejt 乘以加权函数H(j)，此加权函数H(j)即为频域系统函数，亦即为h(t)的傅里叶变换。设激励 f(t)=ejt, 则系统零状态响应为即有 h(t)H(j)！周期信号激励下的系统响应正弦信号激励时的响应设输入信号为正弦信号，即所以设系统的频率响应 为例 若输入信号求系统响应用叠加定理：作用于系统时故响应为零。因此系统响应为 对于

40、作用于系统时，解例 正弦波通过RC电路带宽，求系统响应 系统函数为幅频特性相频特性解 用MATLAB画出的幅频和相频特性图截止频率当rad/s时所以，系统响应为 当rad/s时用MATLAB画出的输入和输出波形某线性非时变系统的幅频响应|H(j)|和相频响应()如图所示。若激励 , 求该系统的响应y(t)。解()-220-|H(j)|2-220例非正弦周期信号激励时的响应 为输出信号的频谱 由于这类计算通常比较烦琐，因此最适合用Matlab来计算。 该信号通过系统后，其响应的频谱为：傅里叶反变换即可得：例输入信号的频谱为 RC电路，若输入信号为周期矩形脉冲波如下图所示。求系统响应。解其中，T=

41、2，基波频率，因此，有RC电路的频率响应为因此，RC 电路的频率响应为因此，输出信号的频谱为 系统响应为RC电路输出的幅度频谱 RC电路输出的时域波形 频域分析的方法的求解步骤为：先求出输入信号的频谱F(j)和频域系统函数H(j)由于y(t)=h(t)f(t)，利用连续时间非周期信号的傅里叶变换的时域卷积性质，有 Y(j) = H(j) F(j) ， 求出输出信号的频谱 将Y (j)进行傅里叶反变换就得到 y(t)3.10.2 非周期信号通过线性系统的零状态响应补充RC电路，若输入信号为矩形脉冲波如图所示。求系统响应。矩形脉冲波输入信号的频谱为解RC电路的系统函数为因此，输出频谱为因为令1/R

42、C=a，可得用Matlab画出的输出信号的频谱如图所示。图中画出了带宽和的两种情况 RC电路输出的幅度频谱RC电路输出的时域波形 由于RC电路的低通特性，高频分量有较大的衰减，故输出波形不能迅速变化。输出波形不再是矩形脉冲信号，而是以指数规律逐渐上升和下降。当带宽增加时，允许更多的高频分量通过，输出波形的上升与下降时间缩短，和输入信号波形相比，失真减小。结论在如图所示系统中，f(t)为已知激励 ， 。例求零状态响应 y(t)。设 f(t) F(j)即有：H(j)=F h(t)=-j sgn()故得：R(j)=H(j) F(j)= -jsgn() -j sgn() F(j) =-sgn() sg

43、n() F(j)= -F(j)所以：y(t)= -f(t) 可见此系统为一反相器。根据对偶性解h(t)h(t)f(t)y(t)为起始频率，1h=freqs(b,a,w) 式中对应于式(3-159)中的向量，对应于式（3-159）中的向量使用形式如为终止频率，为频率取样间隔。向量返回在频率向量上的系统函数样值。，w为频率取值范围，2h,w=freqs(b,a) 该调用格式将计算默认频率范围 内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量， 200个频率点记录在w中。3.10.3 MATLAB仿真实现右图是常见的用RLC元件构成的某系统电路。设4freqs(b,a) 该调用格式并不返回系统函数样

44、值，而是以对数坐标的方式绘出系统的幅频响应和相频响应。3h,w=freqs(b,a,n) 该调用格式将计算默认频率范围内200个频率点的系统函数样值，并赋值给返回变量，个频率点记录在w中。，试用MATLAB的freqs()函数求解该系统频率响应并绘图。例 ，RLC二阶低通滤波器电路图根据原理图，容易写出系统的频率响应为：式中，将R、L、C的值代入的表达式，得：解b=0 0 1; a=0.08 0.4 1; % 生成向量b，ah,w=freqs(b,a,100); % 求系统频响特性h1=abs(h); % 求幅频响应h2=angle(h); % 求相频响应subplot(211); plot(w,h1);gridxlabel(角频率(W); ylabel(幅度);title(H(jw)的幅频特性);subplot(212); plot(w,h2*180/pi);gridxlabel(角频率(w); ylabel(相位(度);title(H(jw)的相频特性);MATLAB源程序为：程序运行结果如图所示。RLC二阶低通滤波器的幅频特性及相频特性已知符号函数的傅里叶变换 根据对称性得到 则 若系统函数为 则冲激响应 3.11 希尔伯特变换系统框图: 系统的