专题：函数的奇偶性讲义教师用

1、-. z.函数的奇偶性一、函数奇偶性 设函数的定义域为，如果对于任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数设函数的定义域为，如果对于任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数奇函数的图象关于原点成中心对称图形 偶函数的图象关于轴成轴对称图形二、方法归纳1.函数的定义域是关于原点的对称点集即对就有，是其具有奇偶性的必要条件2.在公共定义域：两个偶函数的和、差、积、商均为偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积、 商是偶函数； 偶函数与奇函数的积、商是奇函数3.判断函数的奇偶性应把握： 假设为具体函数，严格按照定义判断，注意定义域的对称性和变换中的等价性假设为抽象函数，在依托定义的根底上，用好赋值法，注

2、意赋值的科学性和合理性 4.定义在关于原点的对称点集上的任意函数，总可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和即，其中为偶函数， 为奇函数5.奇偶函数性质的推广：假设函数的图象关于直线对称，则；对任意实数*都成立假设函数的图象关于点对称，则；三、典型例题精讲例11函数 的图象( )A关于*轴对称B关于y轴对称 C关于原点对称D关于直线*1对称 解析：由， 是奇函数，图象关于原点对称答案：C【技巧提示】用定义判定函数的奇偶性需要对函数解析式进展恒等变形，不要轻易断定是非奇非偶函数分段函数的奇偶性判断须注意各段中解析式的作用围2分段函数奇偶性的判定又例：函数的奇偶性解析：当时，；当时，是奇函数例2是偶函

3、数而且在(0，)上是减函数，判断在(，0)上的增减性并加以证明解析：函数在(，0上是增函数设*1*20，因为是偶函数，所以，由假设可知*1*20，又在(0，)上是减函数，于是有，即，由此可知，函数在(，0)上是增函数【技巧提示】具有奇偶性的函数，其定义域关于原点的对称性，使得函数在互为对称的区间的单调性具有对应性偶函数半增半减，奇函数一增全增 例3定义在区间(，)上的奇函数为增函数，偶函数在区间0，)上的图象与的图象重合，设0，给出以下不等式： 1f()f()g()g()；2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()；4f()f()g()g() 其中成立的是 A (1)与(4)B

4、(2)与(3)C (1)与(3)D (2)与(4) 解析：根据函数、的奇偶性将四个不等式化简，得：1f()f()g()g()；2f()f()g()g()； 3f()f()g()g()；4f()f()g()g() 再由题义，有 显然1、3正确，应选C【技巧提示】具有奇偶性的函数可以根据*个区间的单调性判定其对称的区间的单调性，因而往往与不等式联系严密抽象函数常常集函数性质、图象、定义域与值域等问题于一身，既能考察函数的概念与性质，又能考察学生的思维能力，并且概念抽象、构思新颖、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高，它在高中数学教材中虽很少涉及到，但在各类高考模拟试题中常常见到，也是近年来高考试题中的新

5、宠又例：偶函数在定义域为R，且在，0上单调递减，求满足 的的集合解析：偶函数在，0上单调递减，在0，上单调递增根据图象的对称性，等价于解之，满足条件的的集合为1，例4设是(，)上的奇函数，当0*1时，则等于( )A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5解析： 0.5答案：B【技巧提示】 这里反复利用了和，后面的学习我们会知道这样的函数具有周期性又例：如果函数在R上为奇函数，且在(1，0)上是增函数，试比较，的大小关系_解析：为R上的奇函数，又在(1，0)上是增函数且1，答案：例5函数的定义域为，且满足对于任意，有 1求的值； 2判断函数的奇偶性，并证明；解：1令，得； 2令，得，令，得，即

6、为偶函数 【技巧提示】赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有0，1，1，2，2，等等例6函数在(1，1)上有定义，1，当且仅当0*1时0，且对任意*、y(1，1)都有，试证明：(1)为奇函数；(2)在(1，1)上单调递减证明：(1) 由，令*y0，得0，令y*，得0， 为奇函数(2)先证在(0，1)上单调递减令0*1*21，则f(*2)f(*1)f(*2)f(*1)f()0*1*21，*2*10，1*1*20，0，又(*2*1)(1*2*1)(*21)(*1+1)0 *2*11*2*1，01，由题意知f()0，即f(*2)f(*1)在(0，1)上为减函数，又为奇函数且f(0)0在(1，1)上

7、为减函数【技巧提示】这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般的求解最为常见赋值技巧常为令或等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定的围是解题的焦点练习选择题1函数f(*)(*1) eq r(f(1*,1*)，*(1,1)()A是奇函数 B是偶函数C既是奇函数又是偶函数 D是非奇非偶函数答案：B解析：*(1,1)，*10.f(*)(*1)eq r(f(1*,1*) eq r(1*2).f(*)f(*)f(*)为偶函数应选B.2函数f(*)eq f(1,*)*的图象关于()Ay轴对称 B直线y*对称C坐标原点对称 D直线y*对称答案：C解析：f

8、(*)eq f(1,*)*是奇函数，f(*)的图象关于原点对称，应选C.3以下说法错误的个数为()图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过坐标原点； 偶函数的图象一定与y轴相交A4 B3 C2 D1答案：C解析：由奇、偶函数的性质，知说确；对于，如f(*)eq f(1,*)，*(，0)(0，)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以说法错误；对于，如f(*)eq f(1,*2)，*(，0)(0，)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以说法错误应选C.4f(*)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则以下各点在函数f(*)图象上的是()A(3，2)

9、B(3,2) C(2，3) D(3，2)答案：D解析：f(*)在R上为奇函数，f(3)f(3)2，f(3)2，应选D.5设函数yf(*)在区间D上是奇函数，函数yg(*)在区间D上是偶函数，则函数H(*)f(*)g(*)在区间D上是()A偶函数 B奇函数C即奇又偶函数 D非奇非偶函数答案：B解析：由f(*)是奇函数得f(*)f(*)，g(*)是偶函数得g(*)g(*)，H(*)f(*)g(*)f(*)g(*)H(*)，所以H(*)f(*)g(*)在区间D上为奇函数6函数f(*)a*2b*2ab是定义在a1,2a上的偶函数，则ab()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3) C0 D1答案：

10、B解析：由偶函数的定义，知a1,2a关于原点对称，所以2a1a，解得aeq f(1,3).又f(*)为偶函数，则b0. 所以abeq f(1,3).二、填空题共4小题，每题5分，共20分7设奇函数f(*)的定义域为5,5，假设当*0,5时，f(*)的图象如下列图，则不等式f(*)0的解集为_答案：(2,0)(2,5解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(*)在5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f(*)0 的解集是(2，0)(2,5，如下列图8.yf(*)是定义在R上的奇函数，当*0时，f(*)*22*，则f(*)在R上的解析式为_答案：f(*)eq blcrc (avs4alco1(

11、*22*，,*0，,*22*，,*0.)解析：令*0，则*0，f(*)(*)22*22*.又f(*)为奇函数，f(*)f(*)*22*，f(*)eq blcrc (avs4alco1(*22*，,*0，,*22*，,*0.)9f(*)在a，b上是奇函数，且f(*)在a，b上的最大值为m，则函数F(*)f(*)3在a，b上的最大值与最小值之和为_答案：6解析：因为奇函数f(*)在a，b上的最大值为m，所以它在a，b上的最小值为m，所以函数F(*)f(*)3在a，b上的最大值与最小值之和为m3(m3)6，应选D.10f(*)为奇函数，且当*0时，f(*)*23*2.假设当*1,3时，f(*)的最大

12、值为m，最小值为n，则mn的值为_答案：eq f(9,4)解析：*0时，f(*)*23*2，且f(*)是奇函数，当*0时，*0，则f(*)*23*2.故当*0时，f(*)f(*)*23*2.当*eq blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)时，f(*)是增函数；当*eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，3)时，f(*)是减函数因此当*1,3时，f(*)ma*feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)eq f(1,4)，f(*)minf(3)2.meq f(1,4)，n2，从而mneq f(9,4).三、解答题共3小题，每题10分，共30分11判断以下函数的奇

13、偶性：(1)f(*)|*1|*1|；(2)f(*)eq blcrc (avs4alco1(*2，*1,0，|*|1,*2，*1).解：(1)函数f(*)的定义域为R，定义域关于原点对称因为f(*)|*1|*1|*1|*1|f(*)，所以f(*)为奇函数(2)函数f(*)的定义域为R，定义域关于原点对称当*1时，*1，f(*)(*)2*2f(*)；当|*|1时，|*|1，f(*)0f(*)；当*1时，*1，f(*)(*)2*2f(*)所以对一切*R，都有f(*)f(*)，即函数f(*)是偶函数12.f(*)是R上的奇函数，且当*0时，f(*)*22*2.(1)求f(*)的表达式；(2)画出f(*

14、)的图象，并指出f(*)的单调区间解析：(1)设*0，则*0，于是f(*)(*)22*2*22*2.又f(*)为奇函数，f(*)f(*)因此，f(*)*22*2.又f(0)0，f(*)eq blcrc (avs4alco1(*22*2，*0，,0，*0，,*22*2，*0.)(2)先画出yf(*)(*0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应yf(*)(*0)的图象，其图象如图所示由图可知，其增区间为1,0)和(0,1，减区间为(，1和1，)13函数f(*)eq f(a*b,*21)是定义在(，)上的奇函数，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(2,5).(1)求函数f(*)的解析式；(2)判断f(*)在(1,1)上的单调性，并且证明你的结论解析：(1)根据题意得eq blcrc (avs4alco1(f00，,fblc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(2,5)，)即eq blcrc (avs4alco1(f(a0b,102)0，,f(f(a,2)b,1f(1,4)f(2,5)，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b0，)