概率论与数理统计+随机变量概念

1、概率论研究随机事件的概率，要完整的描述随机现象，需要知道概率空间。而概率空间的数学味道太浓，初学者难以理解。用随机变量及其分布作为描述随机现象的数学模型，更直观、简便，容易掌握。那么，什么是“随机变量”呢？如何理解它？随机变量是“用来表示随机现象结果的变量”。概率论与数理统计随机变量的概念1Michael Jordan 连续投篮10次，每次命中率为0.8，如何描述这一随机现象？每天进入某超市的顾客数是随机的，而顾客购买商品的件数也是随机的，如何去描述？如何描述电视机的寿命长短？如何用随机变量描述某学生在某次考试中是否及格？概率论与数理统计随机变量的概念2若随机现象的各种可能的结果都能用一个 变

2、量的取值（或范围）来表示，则称这个变量为随机变量。如果一个变量的取值依赖于随机试验的结果，在试验之前是不能确定的（也就是说它们的取值是随机的），则把这个变量称为随机变量。概率论与数理统计随机变量的概念3随机变量通常用大写字母X,Y,Z，表示。而表示随机变量的取值时，用x,y,z,.。我们是用随机变量的取值情况去描述随机现象的。用一个随机变量去描述随机现象的结果时，我们首先要会确定这个随机变量的取值范围；接着才考虑每种取值的可能性。概率论与数理统计随机变量的概念4例1 盒子里有7个白球、3个黑球，现每次从中任取一个球不放回。若用随机变量X表示首次取出白球的取球次数，则X 的所有取值是怎样的？概率

3、论与数理统计随机变量的概念5随机变量概率论与数理统计随机变量的分类6 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.概率论与数理统计随机变量的分类7离散型随机变量：随机变量X的全部可能 的取值只有有限个或可数无穷个。可数：可以逐个一一列举。分布律概率论与数理统计离散型随机变量8离散型随机变量可完全由其分布列来刻划即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定离散型随机变量分布列的性质:概率论与数理统计离散型

4、随机变量的分布列9例2 随机变量X的分布列为概率论与数理统计求常数a。解：由离散型随机变量的分布列的性质有解得：（舍去）离散型随机变量的分布列10例3 设离散型随机变量X的分布列为X-112P0.20.50.3求 (1) PX0.5; (2) P-2X0.5=PX=1+PX=2=0.5+0.3=0.8; P-2X3=PX=-1+PX=1+PX=2=1.概率论与数理统计离散型随机变量的分布列11例4 已知随机变量X的分布列为X-1012P概率论与数理统计求 PX1|X0.离散型随机变量的分布列12例5 袋里有5只球，编号为1，2，3，4，5。现在从盒里随意取3只球，用X表示 取出的3个球中的最大

5、号码，求X的分布律。概率论与数理统计离散型随机变量的分布列13例6 盒子里有7个白球、3个黑球，现每次从中任取一个球不放回。用随机变量X表示首次取出白球的取球次数，求X的分布律。概率论与数理统计离散型随机变量的分布列141.二项分布（XB(n,p)）概率论与数理统计若X的分布律为：记为 XB(n,p).二项分布可描述n重伯努利概型中“成功”的次数。常见离散分布15特别地，当XB(1,p),其分布律为X01Pp1-p此时称X服从参数为p的0-1分布。凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等. 应用场合概率论与数理统计常见离散分布

6、16xP012345678此时的 称为最可能成功次数如果XB(n,p)，那么，当k由0变到n时，PX=k先是单调增加，随后单调减小.当k为小于(n+1)p的最大整数时，取到它的最大值.常见离散分布17例7 市场上出售的鸡蛋中，有1/100鸡蛋由于天气炎热已开始变质,现有一个顾客购买了5个鸡蛋.求所购5个鸡蛋中，至少有一个以变质的概率。概率论与数理统计常见离散分布18例8 鸡在正常情况下感染某种传染病的概 率为0.2，用新疫苗A注射22只鸡后仅感染 1只，试问疫苗有效吗？通常概率在5%以下的事件称为小概率事件。在一次试验中，可认为小概率事件 不发生！这就是著名的小概率事件原理。 概率论与数理统计

7、常见离散分布19例9 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次. （1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？ （2）某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的.）?概率论与数理统计常见离散分布20解因此例10概率论与数理统计常见离散分布21小概率事件原理认为：在一次试验中，小概率事件不发生！但是，如果不断重复试验，小概率事件迟早会发生！为什么呢？于是，我们明白了一首歌：伤心总是难免的。既然伤心总是难免的，那伤心一次又何妨？人生漫漫长路，我们何必为一两

8、次挫折而耿耿入怀呢？概率论与数理统计常见离散分布222. 泊松分布 概率论与数理统计常见离散分布23 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.地震火山爆发特大洪水泊松分布的背景及应用概率论与数理统计常见离散分布24电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数概率论与数理统计常见离散分布25泊松定理概率论与数理统计常见离散分布26概率论与数理统计二项分布与Poisson近似的比较 常见离散分布27二项分布 泊松分布n很大, p 很小上面的表告诉我们概率论与数理统计常见离散分布28例11 (人寿保险问题)设有10,000个人参加了人寿保险,每年保费200元，死亡赔偿金100,000元。若他们的死亡率为0.001,求保险公司获利不少于50,000元的概率是多少? 保险公司的收入是 10000200=2000000 元解 设X表示这