2022高考总复习 数学(人教A理一轮)2.1　函数及其表示

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.1函数及其表示第二章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03素养提升微专题2 抽象函数的定义域的类型及求法必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.函数与映射的概念 函数映射定义建立在两个A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)和它对应建立在两个A到B的一种确定的对应关系f,使对于集合A中的元素x,在集合B中都有的元素y与之对应记法y=f(x),xAf:AB非空数集非空集合任意唯一确定任意一个唯一确定2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数

2、y=f(x),xA中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:、和.(3)相等函数:如果两个函数的相同,并且完全一致,那么我们就称这两个函数相等.x的取值范围A 函数值的集合f(x)|xA 定义域值域对应关系定义域对应关系3.函数的表示方法表示函数的常用方法有、和.4.分段函数(1)定义:如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.(2)分段函数的相关结论分段函数虽然由几个部分组成,但是它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函

3、数的值域的并集.解析法图象法列表法常用结论1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的映射就是函数;(2)映射问题允许多对一,但不允许一对多.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3.一条与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.常用结论4.函数定义域的求法【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数是其定义域到值域的映射.()(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1有两个交点.()(3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.()(4)对于函数f:AB,其值域是集合B.()(5)分段函数是由两

4、个或几个函数组成的.()2.(2020北京,11)函数f(x)= +ln x的定义域是_.答案 (0,+)3.已知f,g都是从A到A的映射(其中A=1,2,3),其对应关系如下表:则f(g(3)等于()A.1B.2C.3D.不存在x123f312g321答案 C解析 由题中表格知g(3)=1,故f(g(3)=f(1)=3.答案 A 5.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中是映射,是函数.答案 解析 函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应,所以不是映射也不是函数;表示的对应是映射;是函数,由于中集合A,B不是数集,所以不是函数.关键能力 学案突破考点1函数

5、及其有关的概念【例1】 以下给出的同组函数中,表示相等函数的有 .(只填序号)f2(x):f1(x)=2x,f2(x):如图所示.xx11x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象.故选B.(2)由题中函数f(x)的图象可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.考点2求函数的定义域、值域【例2】 (1)(2020福建厦门期末,理3)函数f(x)=log2(1-x)+ 的定义域为()A.(-,1)B.-1,1) C.(-1,1D.-1,+)(2)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=

6、2xD.y=答案 (1)B(2)D 思考已知函数解析式,如何求函数的定义域?解题心得1.函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,求解时,把自变量的限制条件列成一个不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定义域,解集要用集合或者区间表示.2.由实际问题求得的函数定义域,除了要使函数解析式有意义外,还要使实际问题有意义.对点训练2(1)(2020湖南湘潭三模,文14)函数f(x)= +ln(ex-1)的定义域为.(2)若函数y=f(x+1)的值域为-1,1,则函数y=f(3x+2)的值域为()A.-1,1B.-1,0C.0,1D.2,8(3)若函数f(x2+1)的定义域为-1

7、,1,则f(lg x)的定义域为()A.-1,1 B.1,2 C.10,100D.0,lg 2(2)函数y=f(x+1)的值域为-1,1,由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为-1,1,故函数y=f(3x+2)的值域为-1,1.故选A.(3)因为f(x2+1)的定义域为-1,1,则-1x1,故0 x21,所以1x2+12.因为f(x2+1)与f(lg x)的外函数是同一个对应关系,所以1lg x2,即10 x100,所以函数f(lg x)的定义域为10,100.考点3求函数的解析式思考求函数解析式有哪些基本的方法?解题心得 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如

8、一次函数、二次函数),可用待定系数法;(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(3)方程法:已知关于f(x)与f 或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,与其组成方程组,通过解方程组求出f(x).提醒:由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.(4)由f(x)+2f(-x)=x2-x,得f(-x)+2f(x)=x2+x,-2,得f(x)= x2+x.考点4分段函数(多考向)考向1分段函数求值 思考求分段函数的函数值如何选取函数的解析式? 考向2已知分段函数的等

9、式求参数的值A.1B.2C.-2或2D.1或2思考求分段函数的含有参数的函数值如何选取函数的解析式?答案 D解析 当ex-1=1时,x=12符合题意.当log3(x2-1)=1时,x2-1=3,解得x=2(负根舍去),故a的值为1或2.故选D.考向3已知函数不等式求自变量的范围思考如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式? 答案 C解析 当x0时,x+11,则不等式f(x)f(x+1),即x2-1(x+1)2-1,求得- x0.当01,则不等式f(x)f(x+1),此时f(x)=x2-10f(x+1)=log2(x+1),则01时,不等式f(x)f(x+1),即log2x1.综上可得,不等

10、式的解集为(- ,+),故选C.解题心得分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,应首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,应分类讨论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.考点4函数在实际生活中的应用【例7】 某地区上年度电价为0.80元/kWh,年用电量为a kWh.本年度计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间,而用户期望电价为0.40元/kWh.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本

11、价为0.30元/kWh.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解题心得利用函数的有关知识解决数学应用问题,关键是建立函数关系式,为此,要从题目的文字表述中寻找等量关系.对点训练5(2020北京,15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用 的大小评价在a,b这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:在t

12、1,t2这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,甲企业在0,t1的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案 解析 表示区间端点连线斜率的相反数,在t1,t2这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中,甲企业在t1,t2这段时间内,斜率最小,其相反数最大,即在t1,t2的污水治理能力最强,故错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜

13、率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,故正确.要点归纳小结1.函数的定义域是研究函数的基础,它与函数的对应关系决定了函数的值域,同时,定义域和对应关系相同的两个函数是同一个函数.因此要树立函数定义域优先的意识.2.求函数y=f(x)定义域的方法:函数给出的方式确定定义域的方法列表法表中实数x的集合图象法图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合解析法使解析式有意义的实数x的集合实际问题有实际意义且使相应解析式有意义的x的集合要点归纳小结3.函数有三种表示方法,即列表法、图象法、解析法,三者之间可以相互转化

14、;求函数解析式常用的方法有换元法(凑配法)、待定系数法和方程组法.4.分段函数“两种”题型的求解策略:(1)根据分段函数解析式求函数值:首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围:应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.要点归纳小结在求分段函数的值f(x0)时,首先要判断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.素养提升微专题2 抽象函数的定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数

15、,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,下面结合实例具体探究一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法.类型一已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域其解法是:若f(x)的定义域为a,b,则在fg(x)中,令ag(x)b,从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域.【例1】 已知函数f(x)的定义域为-1,5,求f(3x-5)的定义域.【解题指导】该函数是由u=3x-5和f(u)构成的复合函数,其中x是自变量,u是中间变量,由于f(x)与f(u)是同一个函数,因此这里是已知-1u5,即-13x-55,求x的取值范围.解f(x)的定义域为-1,5,类型

16、二已知fg(x)的定义域,求f(x)的定义域其解法是:若fg(x)的定义域为mxn,则由mxn确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域.【例2】 已知函数f(x2-2x+2)的定义域为0,3,求函数f(x)的定义域.【解题指导】令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),由于f(u)与f(x)是同一函数,因此u的取值范围即为f(x)的定义域.解由0 x3,得1x2-2x+25.令u=x2-2x+2,则f(x2-2x+2)=f(u),1u5.故f(x)的定义域为1,5.类型三已知fg(x)的定义域,求fh(x)的定义域其解法是:先由fg(x)的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f h(x)的定义域.【例3】 函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.0, B.-1,4C.-5,5D.-3,7答案 A解析 因为f(x