6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理（2）

1、【新教材】余弦定理、正弦定理教学设计（人教A版）第2课时 正弦定理教材分析教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？ ”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从a b直角三角形出发，得到sin力 sin 8a b直角三角形出发，得到sin力 sin 8是否成立呢？ ”这样设置符合学生的认知。csinC,并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.教学目标与核心素养课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现

2、正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法 发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函 数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式；.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；.数学运算：解三角形；.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般 的思想方法发现数学规律.教学重难点重点：正弦定理的内容，对正弦定理的证明及基本运用;难点：正弦定理的探索及证明.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多

3、媒体。教学过程一、情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？耍求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本45-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答下列问题。三、新知探究,正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即总=岛=肃下=2凡 其中R是三角形外接 bill bill JD 0111圆的半径.正弦定理的变形。：h : c=sin A ： sin 8 ： s

4、in C；(2) = 2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C；(3)sin 4=沃,(3)sin 4=沃,sin B=2r,sin C=c2R;(4)sin B=bsinA, Z?sin C=csin B, isin C=csin A.abc+-+c(sin 人sin Bsin C-sin A + sin B+sin C.正弦定理应用解三角形(1)三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).4、三角形的面积公式(1)S=，“(/%表示a边上的高).(2)S=；a/?sin Cbcsin Aacsin

5、 B.四、典例分析、举一反三题型一 两角及一边解三角形例 1 在中，A = 30, C=105,。=10,求4 c, B.【答案】3=45。力=1W，c=5g+ 5班.【解析】因为A = 30。, C=105,所以3=45。.囚sinfsin Cz asin B lOsin 45 r- 所以b=.人=八。=32, sin A sin 30 v asin C lOsin 105asin C lOsin 105C= T sin Asin 30=5陋+ 5#解题技巧(两角及一边解三角形问题的基本方法)假设所给边是角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后 由正弦定理求第

6、三边;(2)假设所给边不是角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.跟踪训练一在5c中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, cA= 105, C = 45, c = 贝ij b = ()A. 1 B巾 C.y/3 D. 2.在A5C 中，假设 tanA=；, C=150, BC= 1,那么 A.【答案】1、A. 2、手.【解析】1、在ABC 中，V71=105, C=45, ：.B=S0-A-C=180-105-45 = 30.由正弦定理出，得嵩=磊，解得b=L应选A.2、因为tanA=:，所以sin4=.由正弦定理知二sin C=T5sin 150。=9 o

7、1 usin /i，题型二两边及一边的对角解三角形 例 2 在AABC 中，71=45, c=#,。=2,求儿 B, C.【答案】b=y3+1, 8=75。，。=60。或=小一1, B=15。，C=120.【解析】 sin % -sin C/.sin C=csin A &xsin 45 a/5C=60。或 120。.当。=60。时，8=75。,b=b=csin 3 而sin 750 小十sin C sin 60当C=12。时,3=15。，b=舄霍=强密=小一1.=5+1, 3=75。，。=60。或人=小一1, 3=15。，C=120.解题技巧：(两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦

8、定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法那么能判断另一边所对的 角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果的角为小边所对的角时，那么不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角， 要分类讨论.跟踪训练二ABC 中，5 = 45。，b 二版 a=l,那么角 A =.2.在3c 中，q=1, b=y3, A = 30,求边 c 的长.【答案】1、30. 2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，焉=*曲 解得sinA=1,所以4 = 30。或A= 150。.又因痴，所以AA, TOC o 1-5 h z Alii 21 111 r*j乙贝

9、U A = 30. a b /目.八 hsin A yj32、由7 T=T p?得 sin B= =.sin A sn Ba 2；ab, ABA = 30, ：.B 为 60。或 120.当 8=60。时，C=180o-60-30o = 90.此时，C=1片 + 廿=.1+3 = 2.当 3=120。时，C=180o-120-30o = 30.此时，c=a=l.综上知c= 1或2.题型三 正弦定理在边角互化中的应用例 3 在A5C 中，匕+c=l, C=45。，5=30,那么 b=.【答案】V2-1.b c【解析】由正弦定理知卷=清”olll U oill Vx人+cb_sin 3+sin C

10、 sin B. h+c .sin 300r-1/?=sinB+sin CS，n sin 45。+sin 30。=y2-例4在AABC中，呼=气&=哼，试判断ABC的形状； c/v/【答案】等边三角形.【解析】（化边为角）根据正弦定理，得到喘=喘=煞，整理为焉=焉=表VA, B, Ce（0,兀），：.A = B=C,ZVIB。为等边三角形.解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题 的重要手段.正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用.再判断三角形形状时（1） 化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化

11、角为边，再根据多项式的有关知识（分解因式、配方等） 得到边的关系，如a=b, /+尻=/等，进而确定三角形的形状.利用的公式为：sinA=;, sin3=W，ZaZasinC=;.（2）化边为角.将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三 1个内角的关系，进而确定三角形的形状.利用的公式为：Q=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC.跟踪训练三1 在ABC 中，假设 4cos A=bsin & 那么 sin Acos A+cos2jB 等于（）A. 1B.yC. -1C. -1D.j_22.在5c 中,QCOS71Aj=bcos（B判断A3C的形状.

12、【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，ojW sin Acos A = sin2B,即 sin Acos A= 1 cos? 所以 sin Acos A+cos2jB= 1.2、法一：（化角为边）:71，Qsin A = Osin B.z7 h由正弦定理可得：哧=喻：.a2=b2, ：,a=b,工/XABC为等腰三角形.法二：（化边为角）：cos(/_ A )=/?cos(2-B j,Asin A = /?sin由正弦定理可得：2Rsin2A = 2/?sin2B, B|J sin A = sin B,.A = B（A + B=ti不合题意舍去），故ABC为等腰三角形.题型四

13、与三角形面积有关问题例5 在A3C中，8=30。，AB=20 AC=2,求ABC的面积.【答案】2小或小.【解析】由正弦定理，得sinC=*=坐，又ABsin8cAe448,故该三角形有两解：。=60。或120。.当。=60。时，A=90, S-8c=%BAC=2#;当 C=120。时，A = 30, SBC=AB-AGsinA=y3.ABC的面积为25或“I解题技巧（三角形面积公式应用技巧）（1）求三角形面积时，应先根据题目给出的条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少 一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值.（2）事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABC=cihsm C

14、=csin A=*csin B,即给出三角形的两边和 夹角（其中某边或角需求解）求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角, 应熟练应用此公式.跟踪训练四.BC的面积为5，且匕=2, c=小,那么A的大小为（ ）A. 60。或 120。B. 60C. 120C. 120D. 30。或 150.在钝角A3C中，角4 B, C的对边分别为m。，的且q= 1, A = 30。，c=小，那么ABC的面积为【答案】1、A.2、声.【解析】1、由S8c=csinA得,=/x2x巾xsinA,一a/3所以 sin A= ?,故A = 60或120。，应选A.2、在钝角AABC中，由a=l, A=30。，c=小，利用正弦定理可知C=120。，得到3=30。，利用面积公式 得Saabc= 2X1 XVX2 =4-,五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6. 4. 3余弦定理、正弦定理第2课时 正弦定理1.正弦定理例1