34不动点理论

1、3.4不动点理论3.4.1不动点定理定义341设(X, p)是度量空间，A: X X是一个映射。若存在数以，0 a 1,使对 任意X, y e X，有p(Ax, Ay) ap(x, y)(3.4.1)则称A是X上的一个压缩映射(Contraction Mapping).若X是线性空间，则称A是X上的一个压缩算子(Contraction Operator).【注】为简明起见，这里用Ax记A(x).由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离 的a (0a 1)倍。定理341压缩映射是连续映射。证 证明压缩映射A是连续映射，即证明：对任意收敛点列 Xn T X0 (n

2、 T3)，必有 Ax t Ax (n T 3).因为点列 X T X (n T 3)，即：p (X , X ) T 0 (n T 3),n 0n 0又因为A是压缩映射，即存在数以,0a 1,使得p(Ax ,Ax )ap(x ,x ),n 0n 0所以p ( Ax , Ax ) T 0 (n T 3),即：Ax t Ax(n T 3).证毕！定义34.2设X是一集，A: X T X是一个映射。若x* e X，使得Ax* = X*,(3.4.2)则称x*为映射A的一个不动点(Fixed Point).设A： X T X是一个映射，即：A ： X I Ax (x e X)，定义：泰个A2: x I

3、AAx，A3： xi AAA, x ,k A: I -A ，Axk = 1, 2,3,.定理 34.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(X, p)是完备的度量空间，A: X t X是一个压缩映射，则X中必有A的唯一不动点。证先证明映射A在X中存在不动点。在X中任取一点七，从开始，令x = Ax , x = Ax = A2x ,， x = Ax =Anx , n = 1,2,， 10210nn-10这样得到X中的一个列点xn.往证xn是基本点列。因为A是压缩映射，所以存在数a, 0a 1，使得p(x.+xn) = p(Axn, Axn-1

4、) 1).(3.4.3)反复应用上式，由归纳法得(3.4.4)p(xx ) 1).于是，对任意正整数P，由(3.4.3)及三点不等式得p (x , x ) p (x , x) + p (x, x ) + p (x (a n+p-1 +a n+ p-2 +a n ) p (x , x )a n a n+pa n p(x , x ) p(x , x ) T 0 (n 8),(3.4.5)1 -a 1 01 -a 1 0即xj是基本点列。因为X是完备空间，所以xj在X中存在唯一的极限x*，使得x x* (n 8).又因为压缩映射A是连续的，所以有Ax Ax* (n 8).而Ax = x x* (n

5、8)，且收敛点列Ax 的极限是唯一的，故Ax*= x*，即x*就是映射A在X中的不动点。 n再证明不动点是唯一的。若x也是映射A在X中的不动点，即Ax = x，则必有p(x*,xr) = p(Ax*, Ax) ap(x*, xr)，而0 a 1，因此要使上式成立，必须p (x*,x) = 0，即x* = x.证毕!【注 1】 定理 3.4.4 又称为压缩映射原理(contraction mapping theorem orcontraction mapping principle)或Banach 不动点定理(Banach fixed point theorem).【注2】 空间X的完备性条件，

6、只是为了保证映射A的不动点存在；至于不动点的唯一性 是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。【注3】 定理3.4.2解决了三个问题：证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性；提供了求不动点的方法一一迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的，初值”出 发，逐次作点列x = A心，n = 1,2,3,，它必收敛到方程Ax = x的解。这种方法称为逐次逼近法。在(3.4.5)中令 p s，得(3.4.6)p(x*,x ) Vp(x ,x ), n = 1,2,. n 1 一以 1 0上式不仅给出了 “近似解” xn与所求精确解x*的逼近程度(这个估计式在近似计算中很有 用)，而且还指出了方程A

7、x = x的解x*可能的范围(又称为事先估计)；例如当n = 0，由(3.4.6)知：/、1/、p(x*,x0) - p(xx0).【注4】定理3.4.2中的空间X的完备性条件不能去掉。例如：考察R1的子空间X = (0, s)到它自身的映射Ax = x (xg X, 0 1), 映射A显然是压缩映射，但是A在X = (0, s)中没有不动点。若不然，设x* g X是A在X = (0, s)中的不动点，贝0Ax* = x*, 即x* = x*, ( 1)x* = 0, x* = 0 .即x*史X = (0, s)，矛盾！【注5】 定理3.4.2中的条件0 1不能减轻为0 1.因为这样，即使X是

8、完备的度量空间，而且对任意x, y g X，当x丰y时，有P (Ax, Ay) 2时，记A = Bn，则A是X上的一个压缩映射。由定理3.3.4，映射A在X中 有不动点x*，即Ax* = x*.往证x*也是B的不动点。事实上，因为映射AB = Bn+1 = BA，所以A(Bx*) = ABx* = BAx* = B(Ax*) = Bx*，即Bx*是A在X中的不动点。由于压缩映射A在X中只有一个不动点，所以Bx*= x*，即x*是B在X中的不动点。下面证唯一性。设x是映射B在X中的任一不动点，即Bx = x，贝0Ax = Bnx = Bn-1 (Bx) = Bn-1 x Bx = x，因此x是压

9、缩映射A在X中的不动点。因为压缩映射A在X中只有一个不动点，所以x* x.证毕！作为定理3.4.3的一个应用，考察积分方程：甲(x) = f (x) + 人XK(x, y)甲(y)dy ,a其中人是一个常数。这种类型的方程称为伏特拉(Volterra)型积分方程。定理344设f (x)是区间a, b上的连续函数，K(x, y)是三角形区域(x, y) a x b, c y x上的连续函数，且|K(x, y)| M，则对任何常数人，方程(3.4.7)甲(x) = f (x) + lf xK (x, y 帅(y )dya在a, b上有唯一的连续函数解中(x).证 考察Ca, b到Ca, b的映射B

10、 :对中e Ca, b中B中:B甲(x) = f (x) + lf xK(x, y帅(y)dy .(3.4.8)a则方程(3.4.7)有唯一解的问题就转化为映射B在Ca, b中是否有唯一的不动点的问题；即 存在唯一的中*(x) e Ca, b，使得B甲 *( x)=甲 *( x)，亦即f (x) + XI xK(x,y帅*(y)dy =p*(x).a对寸平，甲 e Ca, b，当 xea, b时，(|甲| = max|甲(x)|)1 2axb|B甲(x)-B甲2(x)| =人j xK(x,y)甲(y)-(y)dy |X|M(x-a)|-|. (3.4.9)a用归纳法证明：当x e a, b时，

11、 TOC o 1-5 h z . 、. 、 I. _ - (x - a)n HBq (x) - Bn (x) X n Mn -板中.(3.4.10)12n!12当 n = 1 时，由(3.4.9)知：(3.4.10)成立！假设当n = k -1时，(3.4.10)成立！即._. . .A I _ _(x - a)k-1 .,Bk-1甲(x) -Bk-1甲(x) X k-1 Mk-1甲一甲.(3.4.11)12(k-1)! “ 12、，往证当n = k时，(3.4.10)成立！In fact,由(3.4.11)得：B叩(x) B叩(x)2=XJxK(x,y)Bk-1b (y) Bk* (y)dy

12、a12xJ x|K (x, y )| Bk -1baxJxM Xa卜y) - Bk 1也(y)dy h k1Mk1(y 5-1、U(k 1)!=IX|kMk-lb 一中 |Jx(y一a)k1dy i i(k 1)! 12” a却|kMk 虬|.|匡-| dy由归纳法原理知：(3.4.10)成立!取自然数n，使得max Bn中(x) 一 Bn中(x) a| 一中 | axb 121 2利用定理3.4.5知：存在中*(x) e Ca, b，使得B甲*(x)=甲*(x)，即:f (x) + MxK(x, y帅*(y)dy =甲*(x).a亦即方程(3.4.7)在Ca, b上有唯一的解。证毕!3.4.2凸集与凸包定义343 (凸集)设X是一线性空间，E u X .若对Vx, y e E，连接它们的线段 ax + (1a) y | 0 a 1 u E,则称E是凸集(convex set)。仰 1 3.4.1设X是线性空间，X的每个线性子空间都是凸集。反之未必。证 设Y是X的线性子空间，因为对Vx, y e Y及任意数a, p，都有a x +p y e Y，特别地， 以x + (1a)y e Y，所以y是一个凸集。反之，设X = R 3,集E = (x, y,0) e X | x2 + y2 0,