高三数学集体备课——椭圆与双曲线

1、高三数学集体备课椭圆与双曲线谢旭东 2009-11-18一、范围（一）考试要求：1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。3了解圆锥曲线的初步应用。4. 理解数形结合的思想.（二）解读考试要求1.椭圆的定义：（1）第一定义；（2）第二定义. 2.椭圆的标准方程及其几何性质：标准方程、图形、顶点、对称轴、焦点、焦距、焦半径. 注意：定义的数学表达式；定义中轨迹存在的条件2a(2a|F1F2|)3.双曲线的定义：第一定义；第二定义4.双曲线的标准方程及其几何性质：标准方程、图形、顶点、对称轴、焦点、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径.（

2、三）本章的特点 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求（3）计算量大要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力(四) 教学目标：1、正确理解椭圆、双曲线和的定义，明确焦点、焦距的概念；2、能根据椭圆、双曲线的定义推导它们的标准方程；3、记住椭圆、双曲线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线的标准方程；4、掌握椭圆、双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和

3、抛物线；5、掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；6、利用椭圆、双曲线的几何性质，确定椭圆、双曲线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和的参数方程，并掌握它的应用；7、掌握直线与椭圆、双曲线位置关系的判定方法.（五）重难点归纳 1、与圆锥曲线定义有关的应用问题，第一定义解决好焦点三角形；第二定义解决好准线和焦点有关的距离的最大（小）问题；2、与圆锥曲线性质有关的问题，综合其他知识求椭圆、双曲线方程或研究其他问题；难点是学生对焦半径公式的记忆。3、求圆锥曲线的方程，注意定位，定量。焦点定位问题及相应解法策略；4、直线与圆锥曲线的位置关系问题；对运算能力提出较高的要求.二：规律

4、总结1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义. 圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.二要数形结合，既

5、熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中，椭圆中、双曲线中.重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.3、当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法；4、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.5、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小

6、等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.6、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.7、.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围.三、近年来高考试题回放高考在考什么？类型一：与圆锥曲线定义有关的问题1、（07辽宁卷）设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则22、（07浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（ B ）A. B. C.2 D.33、（08上海文科12）设是椭圆上的点若、是椭圆的两个焦点

7、，则等于( D )ABCD.4、（08北京理4）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5、（08浙江理科12文科13）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则 答案：86、（2009全国卷理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则= 故选A a. b. 2 C. D. 3 类型二：与圆锥曲线性质有关的问题1、（2007全国）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为( B )A B C D 2、（2008福建）双曲线的两个焦点为、，若P为其上一

8、点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ B ） A. B. C. D.3、（08天津理科5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（ B ）A6B2CD4、（08全国2理9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）AB C D5、（08全国理科15）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 答案：6、(08海南理宁夏14）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为 7、（2009全国卷理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 故选A w.w.w.k.s.5.u.c.o

9、.m A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 典例三：求圆锥曲线的方程1、（07全国2）已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）A B C D2、（2008年山东）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ A ）（A） (B) (C) (D)3、（2008年天津卷7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ B ）（A） （B） （C） （D）4、（08重庆理8）已知双

10、曲线的一条渐近线为，离心率，则双曲线方程为（ C ）A B. C D5.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 【解析】，则所求椭圆方程为.6、（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）【答案】CA B C D【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为典例四：直线与圆锥曲线的位置关系问题1、（07陕西理）已知椭圆C:（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积

11、解：（）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得 ，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值DFByxAOE2（08全国理科21文科22）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.()若 ,求k的值；()求四边形AEBF面积的最大值. （）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为， 如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，又

12、，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为 解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为 3. (08全国I文22理21)（本小题满分12分）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率；（）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程解：（1）设，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得 则离心率（2）过直线方程为与双曲线方程联立，将，代入，化简有将数值代入，有 解得，求得方程为：4、（2009全国卷理）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率

13、为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、 由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 ，代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。 又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.全国2卷近几年高考在考什么？2005年解几中线线平行的判断; 以抛物线为载体，考查直线知识、设而不求、韦达定理.问题是：证明直线过定点、求截

14、距范围.2006年求椭圆内接三角形的周长，注意定义;直线与圆相交；抛物线为载体，考查导数求切线、设而不求、韦达定理.问题是：证明向量数积是定植、建模找函数表达式，求最值.2007年考查双曲线的离心率; 以圆为载体，考查直线与圆的位置关系、数列知识.问题是：求圆的方程、建模求向量的数量积的取值范围.2008年双曲线离心率的取值范围;以椭圆为载体，用向量包装，求斜率及内接四边形面积的最大值2009年求双曲线离心率；以椭圆为载体，求长半轴、短半轴。平面向量为条件，探求存在性问题四、热点透析及解析几何高考的命题趋势高考对圆锥曲线的考查一直是一个热点。（1）考查圆锥曲线的概念与性质，多数考查圆锥曲线的定

15、义、方程、和性质（2）求曲线方程和求轨迹；（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题.客观题中会以求椭圆离心率、双曲线的渐近线方程和定义的应用为主，主观题多对圆锥曲线方程和直线与圆锥曲线的位置关系综合考查，可涉及弦长、焦点弦、及中点弦等问题，很容易与其他知识，如三角、数列、平面向量（尤其这一点）等组成探索性的综合性大题，考查思维能力，实现试题的区分度。 （1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，分值约为30分左右， 占总分值的20%左右。 （2）整体平衡，重点突出：考试说明中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识

16、点超过50，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点， 对支撑数学科知识体系的主干知识， 考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程（类型确定、类型未定）；直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；与曲线有关的最（极）值问题；与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；（3）能力立意，渗透数学思想方法：函数思想，方程思想（待定定系数），等价转化思想，数形结合的思想及掌握坐标法、对称思想、参数思想等（4）题型新颖，位置不

17、定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。五、教学方法：针对不同课程构建不同的教学流程，强调学生的主体地位，特别注重学生思维的充分暴露，强化知识体系的建立，确定明确的教学方法和教学手段，有力地促进学生更加主动地学习，较好地构建知识体系，形成良好的思维品质。下面为拟采用的教学方法： （1）、关于数学基本原理的认知与建立的教学主要采取“导引探究式”教学方法。 、创设问题情境,诱导学生发现、提出问题,激发探究欲望 、创设思维情境,启导学生发现解决问题的思路和方法,培养学生创新思维能力 、释疑解惑,引导学生独立解决问题,培养逻辑推理能力 、精讲总结,理性归纳,使学生形成新的认知结构 、精心设计变式分层练习,使学生在运用知识中形成技能,培养学生迁移与创新的能力 （2）、关于数学基本原理的应用及深化的教学主要采取“演练互议式 （3）、关于数学知识结构（小结与复习）的教学主要采取“问题模块链接式”主要环节为：