福建省厦门市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题及答案

1、试卷第 PAGE 5 页，共 5 页福建省厦门市 2021-2022 学年高二上学期期末质量检测数学试题学校:姓名：班级：考号： 一、单选题直线l13A l ，若l21的倾斜角为 60，则l3B 的斜率为（）32C3D 33等差数列a中， a a 6 ， a 4 ，则a （）n4682AB a b ， AC a c ， AD b c ，若A1B2C3D4 3已知 a, b, c 是空间的一个基底，A, B, C, D 四点共面则实数 的值为（）A 1B 0C1D 2 4抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点

2、反射后，反射光线平行于抛物线的轴已知抛物线 y2 8x ，从点 A4, y 发出一条平行于 x 轴的光线，经1过抛物线两次反射后，穿过点B 4, y ，则光线从 A 出发到达 B 所走过的路程为2（）A8B10C12D145“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为 1m，则该门洞的半径为（）A1.2mB1.3 mC1.4 mD1.5 m6直线 l 的方向向量为m 1,0, 1，且 l 过点 A1,1 ，则点P 1, 1, 1到 l 的距离为()A2B3C6D 22在四面体 OABC 中， OA

3、OB OC ， AOB AOC 60 ， BOC 90，则OB与 AC 所成角的大小为（）A30B60C120D150椭圆E : x2 y2 1a b 0的左、右焦点分别为F 、 F， E 上存在两点A 、 满a2b2412B足 F A 2F B ， AF a ，则 E 的离心率为（）5122A33B 23CD 1322二、多选题圆C1: x2 y2 r2 r 0与圆C2: x2 y2 4x 3 0 只有 1 个公共点，则 r 的值可以是（）A4B3C2D110曲线C : x2 y y 1 ，则（）4AC 上的点x, y满足 x R ， y 1CC 与 x 轴、y 轴共有 3 个公共点BC 关

4、于 x 轴、y 轴对称DC 与直线 y x 只有 1 个公共点2如图，直三棱柱 ABC A B C中， CA CB ， CA CB CC，D，E，M 分别为1 1 11B C ， CC ， AB 的中点，点 N 是棱 AC 上一动点，则()1 111A MN BC1C MN 平面 A DE1B存在点 N， MN 平面BC N1D存在点 N， MN DE设函数 fx x 1,x 0,x2 x 1,x 0数列an满足an1 f an，则（）当a1时， a 112n若an为递增数列，则a 11若an为等差数列，则a 01当a1 2 时 ， 1 1 1 aaa123 1 1an三、填空题写出直线2x

5、y 1 0 的一个方向向量m 双曲线C : x2a2y2b21a 0,b 0的右焦点F c,0 到 C 的渐近线的距离为c ，32则 C 渐近线方程为 15如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成 9 个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1 个图案（图 1）；在第 1 个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2 个图案（图 2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第 n个图案中所有着色的正方形的面积之和为a，则数列a 的通项公式annn四、双空题16圆C : x 22 y 22 4 与 x 轴相切

6、于点 A点 B 在圆 C 上运动，则 AB 的中点M 的轨迹方程为 （当点 B 运动到与 A 重合时，规定点 M 与点 A 重合）；点 N 是直线 x y 0 上一点，则 MN AN 的最小值为五、解答题数列an求数列a的前 n 项和为S的通项公式；n， Sn n2 n令b 1，求数列b的前 n 项和T na annnn1如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A2,0 ， OAB ABC 120， AB 2 求直线 BC 的方程；记 OAB 的外接圆为圆 M，若直线 OC 被圆 M 截得的弦长为 4，求点 C 的坐标如图，在正方体 ABCD A B C D 中， O 为 AC 的中点，点P 在

7、棱 BB 上1 1 111(1)若 BP 1 PB ，证明： D O 与平面PAC 不垂直；211(2)若 D O 平面 PAC ，求平面PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值11HN NM ，圆在平面直角坐标系xOy 中，点M 4,0 ，直线l x 轴，垂足为 H，N 过点 O，与 l 的公共点的轨迹为 求 的方程；过 M 的直线与 交于 A，B 两点，若MA 2MB ，求 AB 212017 年复门金砖会晤期间产生碳排放3095 吨2018 年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20 年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，

8、环保办会的积极信号，践行金 砖国家倡导的可持续发展精神据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018 年公园已有的红树林年碳吸收量为 130 吨，如果从 2019 年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为 m（ m 0 ）吨2018 年起，红树林的年碳吸收量依次记a ， a ，12a 3，写出一个递推公式，表示a与a 之间的关系；n1n证明：a 50m是等比数列，并求a 的通项公式；nn为了提前 5 年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？参考数据：1.0214 1.32 ，1.0215 1.35 ，1.0216 1.3722已知椭圆 : x2

9、y2a2b2 1a b 0，焦点 F 1,0，A，B 是 上关于原点对称的两3点， ABF 的周长的最小值为4 2求 的方程；直线 FA 与 交于点 M（异于点 A），直线 FB 与 交于点 N（异于点 B），证明：直线 MN 过定点答案第 PAGE 19 页，共 19 页1D【解析】【分析】参考答案：直线l1 l ,斜率乘积为 1 ， 斜线斜率等于倾斜角的正切值.23【详解】k tan60 1, kk3121，所以k2 3 .故选：D.2B【解析】【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列a中，因a a 6 ， a 4 ，而a a a a，于是得a 4 6 ，解得n

10、a 2 ，246828462所以a2 2 .故选：B 3A【解析】【分析】由共面定理列式得 AB x AC y AD ，再根据对应系数相等计算.AB x AC y AD ，则【详解】因为 A, B, C, D 四点共面，设存在有序数对x, y使得a b x a c y b c ，即a b xa yb x y c ，所以得 x y 1, 1 .故选：A 4C【解析】【分析】利用抛物线的定义求解.【详解】 如图所示：焦点为 F 2,0，设光线第一次交抛物线于点A ，第二次交抛物线于点B，AB 过焦点F，准线方程为： x 2 ，作 AA 垂直于准线于点 A ，作 BB 垂直于准线于点B ， 则 AA

11、 AB BB ， AA AF BF BB ， AA AA BB BB ， AA BB 6 6 12 ， 故选：C5B【解析】【分析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】 1 2251设半径为R， 2.5 R2 R2 ,解得 2 4 5R ,化简得R 1.3.4故选：B.6C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】 A1,1 ， P 1, 1, 1 AP 0, 2, 2AP m AP cos AP m m222又m 1,0, 1， AP 在m 方向上的投影，| AP |2 (2) 2P 到 l 距离d .8 26故选：C.7B【解析】【分析】以OA, OB, OC

12、 为空间的一个基底，求出空间向量求OB, AC 的夹角即可判断作答.【详解】在四面体 OABC 中， OA, OB, OC 不共面，则 AC OC OA ，令OA OB OC 1 ， 依题意， AC OB (OC OA) OB OC OB OA OB cos90 cos60 1 ，2设OB 与 AC 所成角的大小为 ，则cos | cos AC, OB | AC OB | 1 ，而0 90，| AC | OB |2，解得 60.所以OB 与 AC 所成角的大小为60故选：B 8A【解析】【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接 BF、CF、CF、 BC ，推导出A 、 F、C 三点共线，11

13、21利用椭圆的定义可求得 AF1、 AF2、 AC 、CF 2，推导出CAF2 90 ，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率.【详解】BC作点 关于原点的对称点 ，连接 BF 、CF 、CF112、 BC ，则O 为 BC 、 F F的中点，故四边形BFCF为平行四边形，故CF /BF且 CF BF ， 则1 2121212CF F B ，12所以， F A 2CF ，故A 、 F 、C 三点共线，111由椭圆定义， AFAF 2a ，有 AF 2 a ，所以 CF a ，则 AC a ，CF CF 2a1212再由椭圆定义1，有 CF2313， 5a ， 3因为

14、 CF 22 AC 2 AF22 ，所以CAF2 90在AF F中， F F 2 AF2 AF2 即4c2205a2 ，所以，离心率e 1 21 21293故选：A.9BD【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可.【详解】对圆C ，其圆心为0,0 ，半径为r ；对圆C，其圆心为2,0 ，半径为1，则 CC 2 ，1因为圆C1: x2 y2 r2 r 0与圆C221 2: x2 y2 4x 3 0 只有 1 个公共点，故圆C ,C12外切或内切，则2 r 1或2 r 1 ，故可得r 1或r 3 .故选： BD . 10ACD【解析】【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭

15、圆的性质判断.【详解】x2y0,C : y2 1 表示椭圆在 x 轴上方的部分，4x2y 0,C : y2 1 表示双曲线在 x 轴下方的部分，4作出图象：双曲线的一条渐近线为 y x ，2故选项 ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD.AD【解析】【分析】A：连接BC , B C ，证明BC 平面 AB C 即可；1111B：建立空间直角坐标系，判断 MN 与 BN 是否可能垂直即可；CD：当 N 是 AC 中点时，MNDE.【详解】A 选项：连接 BC , B C ，由题可知四边形BCC B是正方形，则BC B C ，111 111由题知平面BCC B1 1ABC， 平面 ABC ，平

16、面BCC B1 1平面 ABC BC ， AC BC ， AC 平面 AC 平面 BCC B，又 BC BCC B， AC BC ，1 111 11又 B C AC C ， B C, AC 平面 AB C ， BC 平面 AB C ，11111 MN 平面 AB C ， BC MN .11故A 正确；B 选项：如图建立空间直角坐标系，设 ACBC CC12，则C 0,0,0 ， B 2,0,0 ， A0,2,0 ， B 2,0,2 ， M 1,1,1，设 N 0,t,0 ， 0 t 2 ，则1BN 2,t,0 ， NM 1,1 t,1，若 BNMN，则 BN NM 0 2 t 1 t 0 ，即

17、t2 t 2 0 ，方程无实数根，即 BN 与1MN 不垂直，则不存在点 N，使得MN 平面 BC N ，B 错误；C 选项：当 N 是 AC 中点时，MN B C ， B C DE，MN平面 A DE ；111当 N 不是 AC 中点时，MN 和 B1C 相交，若MN 平面 A DE ，结合 B C 平面 A DE 可知平111面 AB C 平面 A DE ，这显然与图形不符( A E 与 AC 相交)，故此时MN 与平面 A DE 不平1111行；故C 错误；D 选项：由 C 项可知，N 为 AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD.AD【解析】【分析】分a ,0 ， ann0,1， a

18、n 1, ， an 1四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解： an,0 时， an1 f an an1 0 ， a 0,1时， a f a a2 a 1 a a110,1，nn1nnnnn a 1, 时， a f a a2 a 1 a a11 1 ，nn1nnnnn a 1时， a f a a2 a1 1 ，nn1nnna 1,a 0,因此， a n1，n1a2 a 1,a 0nn1有a 0 时， a1an1n 1， a10 时， a an1n an12 ，对于选项A， a1 1 0,1， a2n 1，故A 正确；对于选项B，a为递增数列时，则a a 0 ，nn1n当a

19、 0 时， a a 1 0 ，则a a 1 0 ，不符题意，nn1nn1n当a 0 时， a a2 a1 ，nn1nn则a a a2 2a 1 a120 ，n1nnnn所以a1综上a10 且a10 且a1 1， 1，故B 错误；对于选项C，an为等差数列时，则aan1n d ，（d 为常数），当a 0 时， a a 1 ，则a a 1，符合题意，nn1nn1n当a 0 时， a a2 a1 ，nn1nn则a an1n a2 2ann 1 an 12 ，要使an12 为常数，则an1 0 ，所以a1 1，综上a1 0 或a1 1（其中， a1 1时，an为常数列），故 C 错误；对于选项D， a

20、 2 ， a111 a2 a，有1 1 ，1所以 1 1n11，nna1n1aa 1nna 1annaann 1 a a 1a 1 11 11 11n12 a 1a 1 23 a 1a 1 nn1则 1 1 aa121a1n111，a 1a11n1因为a1 2 1 ，所以an11，即1a 1n10 ，1所以 a 11 1 aa2n1a 11 1，故D 正确.故选：AD131, 2【解析】【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线2x y 1 0 可以化为 y 2x 1 ，所以直线的斜率为2 ，直线的一个方向向量可以写为1, 2.故

21、答案为： 1, 2.14 y 3x【解析】【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线C : x2 y23a2b2 1 的渐近线为： y b x ，即bx ay 0 ，aa2 b2依题意，bcc ，即b3a2 b222 ，解得b 3a ，所以C 渐近线方程为 y 3x .故答案为： y 3x8 n151 9【解析】【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得a 的通项公式.n【详解】结合已知条件，归纳总结如下：第一个图案中，着色正方形的面积即a1 1 ；98118第二个图案中，新着色的正方形面积是 a ，故着色正方形的面积即a；91

22、28999第三个图案中，新着色的正方形面积是 a92，故着色正方形的面积即9999 9a 1 1 8 1 8 2 ；3第n 个图案中，新着色的正方形面积是8 a91181 8 21 8 n1 .n1，故着色正方形的面积即n999a 999 9 1 8 n 1 故a n9 9 1 891 8 n .9故答案为：18 n.91316x 22 y 12 11【解析】【分析】将点 M 的轨迹转化为以 AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN 的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得 A2,0 ， C 2,2 ，因为 M 为 AB 中点，所以CM AM ， 所以点

23、M 的轨迹是以 AC 为直径的圆，又 AC 中点为2,1， AC 2 ， 所以点 M 的轨迹方程为x 22 y 12 1，圆心D 2,1，设 A2,0 关于直线 x y 0 的对称点为 Am, n， n 0 1则有 m 2 m 2 n 0m 0，解得n 2，所以 A0, 2，13220 22 2 12所以由对称性可知 MN AN 的最小值为 AD 1 1 113故答案为： x 22 y 12 1，117(1) a 2n 1；n(2)Tnn.2n 1【解析】【分析】根据给定条件结合“当n 2 时， an S Snn1”计算作答.由(1)求出bn，利用裂项相消法计算得解.(1)数列an的前 n 项

24、和为Sn， Sn n2 ，当n 2 时， an S Snn1 n2 n 12 2n 1 ，当n 1 时， a S11 1 ，满足上式，则an 2n 1，所以数列an的通项公式是an 2n 1(2)2 211111由(1)知， bn a ann1 2n 12n 1 (n 12) ，n 1所以Tn b b b 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) (11)n2335572n 12n 112 1 (11) n，22n 12n 1所以数列b 的前 n 项和Tnn18(1)3x y 4n3 0 ；2n 1(2) (2, 23) .【解析】【分析】延长 CB 交 x 轴于点 N，根据给定条件求出ANB

25、 即可计算作答.利用待定系数法求出圆 M 的方程，再由给定弦长确定 C 点位置，推理计算得解. (1)延长 CB 交 x 轴于点 N，如图，因OAB 120 ，则NAB 60，33则直线 BC 的倾斜角为 120，直线 BC 的斜率k BC，因此， y 3 x 3，即333x y 4 03所以直线 BC 的方程为 3x y 4 0 .(2)依题意，设圆 M 的方程为x2 y2 Dx Ey F 0，D2 E2 4F 0 ，F 0F 0由(1)得： 4 2D F 0D 23，解得E 2，9 3 3D 3E F 0于是得圆 M 的方程为x2 y2 2x 23 y 0 ，即x 12 y 3 2 4 ，

26、圆心M 1,3 ，半径r 2 ，3因直线 OC 被圆 M 所截的弦长为 4，则直线 OC 过圆心M 1,，其方程为 y 3x ，33x y 4 0 x 23由解得，即C(2, 23) ， y 3x y 26所以点 C 的坐标是(2, 23) . 19(1)证明见解析(2)6【解析】【分析】设正方体 ABCD A B C D的棱长为2 ，以点A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA所在直又 AB OA 2 ，则有B 3,，又ABC 120 ，于是得ANB 60 ，1 1 111线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，计算出DO AP 0 ，即可证得结论成立；1利用空间向量法可求得平

27、面PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值.1(1)证明：以点A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA1所在直线分别为x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体 ABCD A B C D 的棱长为2 ，则 A0,0,0 、O 1,1,0、C 2,2,0 、D0,2,2 ，1 1 1111由 BP PB 得P 点的坐标为 2,0, 2 ，321DO 1, 1, 2， AP 2,0, 2 ，因为D O AP 2 0 ，13 13所以 D O 与 AP 不垂直，所以D O 与平面 PAC 不垂直11(2)解：设 P 2,0, a 0 a 2，则 AP 2,0, a， AC 2,2,

28、0 ，因为 D O 平面 PAC ，所以 D O AP ，所以DO AP 2 2a 0 ，得a 1 ，111且 DO AC 2 2 0 ，即 D O AC ，1所以CP 0, 2,1， CD11 2,0,2 ，设平面PCD 的法向量为m x, y, z ，1m CD 2x 2z 0由1，取 y 1，可得m 2,1,2，m CP 2 y z 0因为 D O 平面 PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为DO 1, 1, 2，11m, D O 1m D Om D O11 66所以cos ，61所以平面PCD 与平面 PAC 所成夹角的余弦值为620(1) y2 4x ；3(2) 6.【解析】【分析

29、】设出圆 N 与 l 的公共点坐标，再探求出点 N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得. (2)设出直线 AB 的方程，与 的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答.(1)设 P x, y为圆 N 与 l 的公共点，而直线l x 轴，垂足为 H，则H x,0 ，又 M 4,0 ， HN NM ，于是得 N x 4 ,0 ，因 O，P 在圆 N 上，即 NO NP ，2x 42 x 4 22 y2则有，化简整理得： y2 4x ，所以 的方程为 y2 4x .(2)显然直线 AB 不垂直于 y 轴，设直线 AB 的方程为x my 4 ， Ax , y， B x , y x my 4112

30、2由 y2 4x消去 x 并整理得： y2 4my 16 0 ，则 y y12 4m ， y y1 2 16 因为 MA 2 MB ，则点 A 到 x 轴距离是点 B 到 x 轴距离的 2 倍，即 yy y1241 2 y ，2 y 2 y y 4 y 4222由 12解得 1或 1，则有 m ，2y y 16y 21 22 y 22322232m2 1因此有 AB 3所以 AB 6.y y12 6 6，21(1) an1 1.02an m ；证明见解析， an 130 50m1.02n1 50m最少为 6.56 吨【解析】【分析】根据题意直接写出一个递推公式即可；要证明aa 50mm50是等

31、比数列，只要证明 n1为一个常数即可，求出等比数列na 50mna 50m的通项公式，即可求出ann的通项公式；记S 为数列a的前 n 项和，根据题意求出S，利用分组求和法求出数列a的前nn15nn 项和，再令S 3095 ，解之即可得出答案.15(1)解：依题意得a1 130,a2 1 2%a1m, a3 1 2%a2m,则a 1.02a m ，n1n因为a 1.02a m ，所以a 50m 1.02a 51m ，n1nn1n所以an1 50m 1.02an50m，因为a1 50m 130 50m 0所以数列a 50m是等比数列，首项是130 50m ，公比是 1.02，n所以a 50m 1

32、30 50m1.02n1 ，n所以a 130 50m1.02n1 50m ；n(2)解：记Sn为数列an的前 n 项和，a15S a a 1512 130 50m 50m 130 50m1.02 50m 130 50m1.0214 50m 130 50m 130 50m1.02 130 50m1.0214 15 50m130 50m11.021511.02130 50m11.3511.02 750m 750m 2275125m ，依题2275 125m 3095，所以m 6.56， 所以 m 最少为 6.56 吨22(1) x2 y2 143(2)证明见解析【解析】【分析】设椭圆 的左焦点为F

33、，根据椭圆的对称性可得BF AF ，则三角形 ABF 的周长为2a 2 AO ，再设 Ax, y根据二次函数的性质得到 AO b ，即可求出 ABF 的周长的最3小值为2a 2b ，从而得到2a 2b 4 2，再根据a2 b2 1，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；设直线 MN 的方程 x my n ， m 0 ， M x , y， N x , y，联立直线与椭圆方程，1122消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程 x m y 1、 Ax , y ，直线FB 的方程133x my 1 、 B x, y，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示y，即可得到233232 y y3m2 y 3m2 y 4 y y 0 ，整理得3m 4y y12m b 1 3 n 112 0 ，11221212y y1 2再代入 y y12 6mn， y y3m2 41 2 3n2 12 ，即可得到m 5n 8