福建福州八中2012017学年高二下期中数学试卷理科解析版

1、2016-2017学年福建省福州八中高二 (下)期中数学试卷(理科)、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项 是正确的，请把答案填在答卷相应位置上) ；3.复数一 (i为虚数单包)的共腕复数是( 2i-lA 二 一、BC D 匚,二,5 万,33 35 5.下列推理过程属于演绎推理的为()A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验 成功后再用于人体试验B,由 1=12, 1+3=22, 1+3+5=32, 得出 1+3+5+t (2n-1) =n2C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与 对面重心的连线)交

2、于一点D,通项公式形如an=cqn (cqw0)的数列an为等比数列，则数列-2n为等比 数列.在 近似替代”中，函数f (x)在区间x,冷1上的近似值()A,只能是左端点的函数值f(X)B,只能是右端点的函数值f (x+1)C.可以是该区间内的任一函数值 f ( 2)(迁x, x+1)D.以上答案均正确F (甘/ 戈)4-Q 誓.设f (x)是可导函数，且limt-5二3,则f(x0)=(A.二 B. - 1 C. 0D. - 2 .、八I 一一、一一一.某个自然数有关的命题，如果当 n=k+1 (nCN )时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立.现已知当 n=2016时，该命题

3、成立，那么，可推得A. n=2015时，该命题成立 B. n=2017时，该命题成立C n=2015时，该命题不成立D. n=2017时，该命题不成立6,若 p=Va+, q=/a?3+Va4- (a0),贝U p、q 的大小关系是(A. pqD.由a的取值确定7,函数f (x) =-x3+3x在区间(a2-12, a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A. (T, Vil) B. (T, 2)C. (T, 2 D. (1, 4).设 a, bC (0, +oo),贝J a+, b叶()A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于2.下面给出了四个类比推理.a

4、,b为实数，若a2+b2=0则a=b=0；类比才|出：zi、Z2为复数，若zi2+z22=0,贝 U Zi=Z2=0.若数列an是等差数列，bn=- (ai+a2+a3+an),则数列bn也是等差数列； 口类比推出：若数列Cn是各项都为正数的等比数列，dn=C3,则数列dn也是等比数列.若a、b、cC R.则(ab) c=a (bc)；类比推出：若；、E、7为三个向量.则(：?b) ?。与暂(诧)若圆的半径为a,则圆的面积为九2；类比推出：若椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,则椭圆的面积为 九ab TOC o 1-5 h z 上述四个推理中，结论正确的是()A. B.C.D.记 f(n)(x)

5、为函数 f (x)的 n (nC N*)阶导函数，即 f(n) (x) =f (x)(n2, nCN*).若 f (x) =cosx,且集合 M=m| f(m) (x) =sinx, mCN*, m2017,则集合M中元素的个数为()A. 1006 B, 1007C, 503 D. 504二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).若纯虚数Z满足(1-i) z=1+ai,则实数a等于.计算定积分(x2+sinx) dx=.用数学归纳法证明 lW+-+F 1) ”时，由 n=k (k1) 时，第一步应验证的不等式是 .二维空间中圆的一维测度(周长)1=2砥1二维测度(面积)S=兀与三维空

6、 问中球的二维测度(表面积)S=4九2,三维测度(体积)丫驾九3；四维空间中超 球”的三维测度V=8冗3,则猜想其四维测度 W=.三、解答题(本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或 证明过程.).复数 z= (1+i) m2+ (3-10i) m- (4-9i),(其中 i 为虚数单位，m C R), (1)当m=0时，求复数z的模；(2)当实数m为何值时复数z为纯虚数；(3)当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？.设点P在曲线y=/x2上，从原点向A (2, 2)移动，如果直线OP,曲线y=1 x2及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为 S、S2.(I)

7、当=&时，求点P的坐标；(H)当S+&有最小值时，求点P的坐标和最小值.已知函数 f (x) =2ax- ln (2x), x (0, e , g (x) =, x (0, e,其中e是自然对数的底数，aC R.(I)当a=1时，求函数f (x)的单调区间和极值；(H)求证：在(I)的条件下f (x) g (x) +-1；(m)是否存在实数a,使f (x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存 在，请说明理由.四、选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是 正确的，请把答案填在答卷相应位置上).若 zi= (m2+m+1) + (m2+m 4) i, mC R, z

8、2=3 2i,则 m=1 是 zi=z2 的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件.某微信群中甲、且红包被全部抢光,乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个, 4个红包中有两个2元，两个3元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有(A. 35 种 B. 24 种C. 18 种 D. 9 种.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x)=x3+ax2+ (a2-1) x+1(aC R)的导函数y=f(x)的图象，则f (1)等于C g D弓或多八一、,_,，- l 一， .一,(如一卬2)一21.已知定义在R上的可导函数f

9、 (x)满足：f(x) +f (x) f J) in -nrrief (ui-io2)B.f (Dm 一叶1eD.不确定f(Tn-m2) ,、C.J二 1)III e2小题，每小题5分，共10分).(-2) (x+1) 5展开式中x2项的系数为.观察下列等式:1 2 .一十=1:；+ + ：+=1239L + 二+- +3 33 3 3 3则当m0)(I)当a=1时，试求函数图象过点(1, f (1)的切线方程；(H)当a=2时，若关于x的方程f (x) =3x+b有唯一实数解，试求实数 b的取值范围；(m)若函数f (x)有两个极值点x1、x2 (x1mx2恒成 立，试求实数m的取值范围.2

10、016-2017学年福建省福州八中高二（下） 期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每题有且只有一个选项 是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）（i为虚数单位）的共腕复数是（【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，求解即可.【解答】解：复数宝_=3=；算需=Ui TOC o 1-5 h z 2i-l l-2i （l-2i）5 5复数生不（i为虚数单位）的共腕复数是：-44i. 21-1S3故选：D.2.下列推理过程属于演绎推理的为（）A.老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功

11、后再用于人体试验B,由 1=12, 1+3=22, 1+3+5=32, 得出 1+3+5+- + （2n-1） =n2C.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D,通项公式形如an=cqn （cqw0）的数列an为等比数列，则数列-2n为等比 数列【考点】F7：进行简单的演绎推理.【分析】根据类比推理的定义及特征，可以判断出 A, C为类比推理，根据归纳 推理的定义及特征，可以判断出B为归纳推理，根据演绎推理的定义及特征，可 以判断出D为演绎推理.【解答】解：老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；.由 1=12, 1+3

12、=22, 1+3+5=32, 得出 1+3+5+- + (2n1) =n2,是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；V由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；由通项公式形如 4=cqn (cqw0)的数列an为等比数列(大前提)，数列- 2n满足这种形式(小前提)，则数列 - 2n为等比数列(结论)可得D中推理为演绎推理.在 近似替代”中，函数f (x)在区间x,冷1上的近似值()A.只能是左端点的函数值f (x)B,只能是右端点的函数值f (x+1)C.可以是该区间内的任一函数值 f ( 2) ( x, x+1)D.以上答案均正确【考点】56：二分法求方程的近似解.【分析】

13、本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题.在解答时，要结合二分法的分析规律对选项进行分析即可获得问题的解答.【解答】解：由题意可知：对于函数y=f (x)在 近似替代”中，函数f (x)在区间x, x+1上的近似值，可以是该区间内的任一函数值f ( 0 ( ae x, x+1)故选C.f f T = / 廿)一Fiy +7 / y).设f(x)是可导函数，且lim入5二3,贝U f ”0)=(:A.2 B. - 1 C. 0 D. - 2【考点】6F：极限及其运算.【分析】由导数的概念知f(xo) = Um f(x0+2Ax 3Ax) rf (i 0+2Ax)此结合题设条件能够导出f 7x0)

14、的值.【解答】解：: limAxQf (x q-Ax) -f (x0+2Ax)Ax f (xo) = 1 imTAX-*口f(x0+2ki-3A x) -f (k a+2A x)-3Axlin1f 口f( k-f (x q-f2A x)Ax/ 1%=3X (3)二口故选B.5.某个自然数有关的命题，如果当 n=k+1 (nCN )时，该命题不成立，那么可推得n=k时，该命题不成立.现已知当 n=2016时，该命题成立，那么，可推得( )A. n=2015时，该命题成立 B. n=2017时，该命题成立C. n=2015时，该命题不成立 D. n=2017时，该命题不成立【考点】RG数学归纳法.

15、【分析】写出条件的逆否命题，即可推出n=2017时命题成立.【解答】解：二.如果当n=k+1 (nCN*)时，该命题不成立，那么可推得 n=k时, 该命题不成立，二当n=k时，命题成立，可推得n=k+1时，命题成立.当n=2016时，该命题成立，n=2017时，命题成立.故选B.6. Jr p=Vail+Va+E, q=”正示+JS (a0),贝U p、q 的大小关系是()A. pqD,由a的取值确定【考点】72:不等式比较大小.【分析】平方作差即可比较出大小关系.解答解：p2 q2=2a+9+2jG+5)- 2a+ 9+2”+9a+lg) j =2 a2a+20 - a，9a+g), a2+

16、9a+20a2+9a+18，p2q2,又 p, q0,:pq.故选：C.7,函数f (x) =-x3+3x在区间(a2-12, a)上有最小值，则实数a的取值范围 是()A. (T, VH)B. (T, 2)C. (T, 2 D. (1, 4)【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求函数f (x) =-x3+3x的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在 区间(a2-12, a)上有最小值，故最小值点的横坐标是集合(a2-12, a)的元 素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围【解答】解：解：由题f (x) =3- 3x2,令 f (x) 0 解得-1x1;令

17、 f (x) 0 解得 x 1由此得函数在(-8, 1)上是减函数，在(-1, 1)上是增函数，在(1, 十 )上是减函数，. f (0) =0, 函数f (x) =- x3+3x在R上的图象大体如下:故函数在x=-1处取到极小值-2,判断知此极小值必是区间(a2- 12, a)上的最小值 a2 - 12 - 1a,解彳导-1a VH,又当x=2时，f (2) =-2,故有a0 2综上知a (-1,2故选：C.设 a, bC (0, +oo),贝J ag, b叶()A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于2【考点】72:不等式比较大小.【分析】利用反证法证明

18、，假设a+1, b叶都小于或等于2,然后找出矛盾，从 而得到结论.【解答】解：假设a+1, b+f都小于或等于2,即 a+-j_& 2, b+1 0 2,将两式相加，得a+b+2, b+12,两式相加，得a+b+ 4,与a+(+b+L&4,矛盾 b ab a所以a+j, b+工至少有一个不小于2. b a故选D.下面给出了四个类比推理.a, b为实数，若a2+b2=0则a=b=0；类比才|出：z1、Z2为复数，若Zi2+Z22=0, 贝(J Zi=Z2=0.若数列an是等差数列，bn=(ai+a2+a3+an),则数列bn也是等差数列； 类比推出：若数列Cn是各项都为正数的等比数列，dn=Wc

19、Cz*q-r%，则 数列dn也是等比数列.若a、b、cC R.则(ab) c=a (bc)；类比推出：若？、:为三个向量.则(： ?!)?:与?(?7)若圆的半径为a,则圆的面积为冗2;类比推出：若椭圆的长半轴长为a,短半 轴长为b,则椭圆的面积为 九ab上述四个推理中，结论正确的是()A. B.C.D.【考点】F3:类比推理.【分析】逐个验证：数集有些性质以传递的，但有些性质不能传递，因此，要 判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个 结论是错误的，也可直接举一个反例；在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推

20、理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等； 向量要考虑方向；根据圆是椭圆的特殊情形验证可知正确.【解答】解：在复数集C中，若Zi, Z26 C, Zi2+Z22=0,则可能zi = 1且Z2=i .故 错误；在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等， 故我们可以类比推出：若数列Cn是各项都为正数的等比数列， &二肌丁玄白3%,则数列dn也是等比数列.正确；由若a, b, c R则(ab) c=a (bc)；类比推出：若；，:为三个向量则(： t) c= t ( k七)，不正确,因为(? h)

21、?七与七共线，g ? ( fe? 2, nCN*).若 f (x) =cosx,且集合 M=m| f(m) (x) =sinx, mCN*, m2017,则集合M中元素的个数为()A. 1006 B, 1007C, 503 D. 504【考点】63:导数的运算.【分析】根据题意，依次求出f、f(x)、f(x)、f(x)的值，分析可 得 f(n)(x) =f (n+4) (x),分析 M=m|f(m) (x) =sinx, mCN*, m02017中 m 可 取的值，即可得答案.【解答】解：根据题意，f (x) =cosx,f(2) (x) = (cosx)，= sinx,f (x) = ( -

22、 sinx)三 cosx,f(x) = (-cosx)，=sinxf (x) = (sinx)，=cosx分析可得：f (x)=f(x),f (x)=f (x),f (x)=f (x)，即有 f(x) =f (n+4) (x),集合 M=m|f(m)(x) =sinx, mCN*, m2017,则m的值为5、9、13、？。 共504个；故选：D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).若纯虚数Z满足(1-i) z=1+ai,则实数a等于 1 .【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【解答】 解：:( 1 i) z=1+ai,( 1+

23、i) (1 i) z= (1+i) (1+ai),化为 2z=1 - a+ (1+a) i,即 zJ1i,z是纯虚数，? 二0, 守W0,解得a=1.故答案为：1.计算定积分 J、(x2+sinx) dx=_-1.【考点】67：定积分.【分析】求出被积函数的原函数，再计算定积分的值.【解答】解：由题意，定积分J L （J+sdmOdx =故答案为：卷U1.用数学归纳法证明 1+-+-1） ”时，由 n=k （k1） 2 32 -1时，第一步应验证的不等式是 _16号2_.【考点】RG数学归纳法.【分析】直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到一j,不要漏掉项.2

24、-1【解答】解：用数学归纳法证明1启乌+1）时，2 3 2n-l第一步应验证不等式为：故答案为：,:,14.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2 二维测度（面积）S=兀 三维空 问中球的二维测度（表面积）S=4九2,三维测度（体积）V=j兀3；四维空间中超 球”的三维测度V=8冗3,则猜想其四维测度 W= 2冗4 .【考点】F3：类比推理.【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W =V从而求出所求.【解答】解：二二维空间中圆的一维测度（周长）1=2九j二维测度（面积）S=tt 2, 观察发现S =1三维空间中球的二维测度（表面积）S=4九2,三维测度

25、（体积）V=1益，观察发现 V =S四维空间中 超球”的三维测度V=8冗3,猜想其四维测度 W,则 W =V=83； W=2t r4;故答案为：2九4三、解答题(本大题共有3个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.)15.复数 z= (1+i) m2+ (3-10i) m- (4-9i),(其中 i 为虚数单位，m C R), (1)当m=0时，求复数z的模；(2)当实数m为何值时复数z为纯虚数；(3)当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限?【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.【分析】由已知整理得：z= (1+i) m2+ (310i) m- (4 9i) =

26、(m2+3m 4) +(m2- 10m+9) i.(1)当m=0时，z=- 4+9i,利用模的计算公式即可得出| z| .(2)当忙+3m-,解出即可得出复数z为纯虚数.in2T 0/9 卢 0(3)当，9，解出即可得出.m-10/90【解答】解：由已知整理得：z= (1+i) m2+ (3-10i) m - (4-9i) = (m2+3m- 4) + (m2- 10m+9) i.(1)当 m=0 时，z=-4+9i, ； | z| 二八一炉+必=河.或i而1f=9,且产1即m=- 4,复数z为纯虚数产Ml|ln9，即-4m 1时，复数z在复平面内对应的点在第二象限.设点P在曲线y=x2上，从

27、原点向A (2, 2)移动，如果直线OP,曲线y二x2及直线x=2所围成的阴影部分面积分别记为 S、S2.(I )当6=4时，求点P的坐标；(H)当S+S2有最小值时，求点P的坐标和最小值.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(I)可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx,则S为直线OP与曲线y=1x2当xC (0, t)时所围面积，所以，S = 6 (|tx-x2) dx, &为直线OP与曲线y=1x2当x (t, 2)时所围面积，所以 S2 (1x2 -|tx) dx,再用艮据&=&就可求出t化(H)由(I)可求当S+S2,化简后，为t的三次函数

28、，再利用导数求最小值， 以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S+&有最小值.【解答】解：(I)设点p的横坐标为t (0t2),则P点的坐标为(t,2t2),A直线op的方程为ygtx,S1=劣x2） dx=t3, %= J ;（狭为）dx=jt3 t+1,因为S=S2,所以t=4，点P的坐标为(悔，-|). 0O J5)s=s+&$3由3-吗卡一吟S，1t2- 1,令 S = 0得，t2-1=0, iiii-a因为 9t 加时，S0;遂t0,所以，当t=我时,ai产组近，3p点的坐标为(1).已知函数 f (x) =2ax- ln (2x) , x (0, e , g (x) = , x

29、 (0, e,X其中e是自然对数的底数，a R.(I)当a=1时，求函数f (x)的单调区间和极值；(H)求证：在(I )的条件下f (x) g (x) +y；(m)是否存在实数a,使f (x)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存 在，请说明理由.【考点】6D:利用导数研究函数的极值；6B:利用导数研究函数的单调性；6E: 利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(I)求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数 f (x)的极小值；(H) f (x)在(0, e上的最小值为1,令h (x) =g (x) +,求导函数，确 定函数的单调性与最大值，即可证得结论；(田)假设存在实数a,使f (x)

30、的最小值是3,求导函数，分类讨论，确定函 数的单调性，利用f (x)的最小值是3,即可求解.【解答】解：(I)当a=1时，f(x) =2-亡=言工，x (0, e,当0Vx时，f(x) 0,此时f (x)单调递减；当*x0,此时f (x)单调递增.所以f (x)的极小值为f (|) =1,故f (x)的单调递减区间为(0, 1),单调递增区间为(之，e,f (x)的极小值为f(4)=1,无极大化乙人1 In 父 1(H)令 h(x)=g(x)七=+-,h (x)=-1，xC(0, e,Z X ZX当0 x0,此时h (x)单调递增，所以 h (x) max=h (e) =-+7j-g (x)

31、+1；(m)假设存在实数a,使f (x) =2ax- In (2x), x (0, e有最小值3,f (x) =2a- -=, x (0, e, X X当a00时，因为x (0,司，所以f(x) 0, f (x)在(0, e上单调递减,所以 f (x) min=f (e) =2ae- In (2e) =3,当044时，f (x)在X 包die单调递增，解得a弃野(舍去),Ze(0,；)上单调递减，在(, e上所以,(x)() =1-|n _=3,解得a=e2,满足条件,当小,即0V蟹日时,f(x) 0,a=- 1.贝U f (1) =y 1+1=，f (nr in2)故选：A.21.已知定义在

32、R上的可导函数f (x)满足：f(x) +f (x) f (1) B. -T-Tf(1) d.不确定Jik -ntri e【考点】63:导数的运算.【分析】构造函数g (x) =exf (x),利用导数研究其单调性，注意到已知 f(x)+f (x) 0,可得g (x)为单调减函数，最后由m-m=I,代入函数解析式即可得答案.【解答】解：设g (x) =exf (x),. f (x) +f (x) 0,g (x) =ex (f (x) +f (x) 0函数g (x)为R上的减函数；) 2+3g (1)R.A即对一江(对一)(1),f (1)故选：A.五、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分). (-2) (x+1) 5展开式中x2项的系数为 -10 .【考点】DB:二项式系数的性质.【分析】求出(x+1) 5展开式的x3与x2项的系数，由此求出(-2) (x+1) 展开式中x2项的系数.【解答】解：(x+1) 5展开式的通项公式为T1+1=cg?x5，令5-r=3,得r=2, ； x