福建厦门高二数学上学期期末试卷理含解析

1、福建省厦门市2014-2015学年高上学期期末数学试卷（理科）、选择题（共（5分）已知10小题，每小题5分，满分48分）ab, aw0, bw0, cCR, cwo则下列不等式成立的是（）A.a+c b+cB. ac bcD. a2 b22.A.（5分）已知数列an满足ai=1, an=an i+3 （n2）,则ao等于（）297B. 298C.299D. 3003.（5 分）在 ABC 中，若 / A=30 , / B=45 ,BCq2 则AC等于（）A.23B. 2C.4.A.B.C.D.（5分）下列命题中，真命题是（）? xC R x20? xo R R, xo xo+1=024是3的倍

2、数且是9的倍数“若b=0,则函数f （x） =ax2+bx+c为偶函数的逆否命题5.2（5分）已知双曲线工4、=1的右焦点到其渐近线的距离等号 mV5,则该双曲线的离心率等于（）B.C.A -26. （5分）如图，平行六面体 OABG O A B C中，设OA=a,OC=b,而尸=c, G为 BC的中点，用a, b, W表示向量无，则前等于（）27a2-a5=0,则等于（）S2（5分）设S为等比数列an的前n项和，若A. 一 27B. 10C. 27D. 80（3分）已知a0, b0,若不等式2+工3一恒成立，则m的最大值等于（） m b 2a+bA. 7B. 8C. 9D. 109. (5

3、分)已知函数 f (x) =xsinx ,当 xi, X2CX2的关系是()xi x2xi+X2=0,)时，f (xi) f (x2),则 xi,22xi x22 .2xi x2（5分）已知抛物线 C: y2=8x的焦点为F,点M（- 1, 0）,不垂直于x轴的直线于抛物线 相交于A, B两点，若x轴平分/ AMB则4FAB的面积的取值范围是（）A. （2 &，+8）B.（5分）已知空间三点 A （0, 2, 3）, B （ - 2, 1 , 6）, C （1, - 1, 5）,则正与正的夹角为.（5分）已知a, bCR,则a=b是亘坨=V?的条件.（充分不必要，必要不充分，2充要，既不充分也

4、不必要）（5分）如图，某观测站 C在A城的南偏西20 , 一条笔直公路 AB,其中B在A城南偏东 40 , B与C相距31千米.有一人从 B出发沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达D处，此 时C, D之间的距离为21千米，则A, C之间的距离是千米.（5分）对各项均为正整数的数列an,若存在正整数 m和各项均为整数的数列bn,满足0Wb nb, aw0, bw0, cCR, cwo则下列不等式成立的是（）22A. a+cb+cB. acbcC. D. a ba b考点： 不等式的基本性质.专题：不等式.分析：利用不等式的基本性质，判定每一个选项中的不等式是否成立即可.解答： 解：A. .

5、ab, . .a+ob+c,故 A正确；B.当cb,但工是不成立. a bD,取 a=1, b= - 11,满足 ab,但 a2b2不成立.故选：A.点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题.（5 分）已知数列an满足 a1=1, an=an i+3 （n2）,则 a。等于（）A. 297B. 298C. 299D. 300考点：等差数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：由已知可知数列an是以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可求得ai00的值.解答： 角系：由 an=an i+3 (n2),得 an an i3 (nR2),即数列an是以3为公差的等差数列，又 ai=1

6、,ai00=1+ ( 100- 1 ) X 3=298.故选：B.点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题.(5 分)在 ABC 中，若/ A=30 , / B=45 , BC=/,则 AC等于()A. - B. 2C. iD. 32考点：正弦定理.专题：计算题；解三角形.分析：由正弦定理可得 AC旦变反，代入已知即可求值.sinA解答： 解：由正弦定理可得：手;手，sinB sinA从而有：人0跃.出-企 父0叫5=2,sinA sin30故选：B.点评：本题主要考察了正弦定理的应用，属于基本知识的考查.(5分)下列命题中，真命题是()? xC R x20? X0 R, x。2-X

7、0+i=024是3的倍数且是9的倍数D.若b=0,则函数f (x) =ax2+bx+c为偶函数的逆否命题考点：命题的真假判断与应用.专题：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑.分析： 由？ xCR, x20,即可判断 A;运用二次方程的判别式，即可判断B;由倍数的概念即可判断 C;运用函数的奇偶性的定义和图象以及互为逆否命题的等价性即可判 断D.解答： 解：对于 A. ? xC R, x20,则A错；对于B.由于x2-x+i=0,判别式为i-4V0,方程无实数解，则 B错；对于C.24是3的倍数但不是9的倍数，则C错；对于D.若b=0,则函数f (x) =ax2+bx+c即为f (x) =ax2

8、+c为偶函数，由原命题和逆否命题互为等价命题，则其逆否命题为真命题.则 D对.故选：D.点评：本题考查全称性和存在性命题的真假的判断，以及命题的四种形式和关系，考查函数的奇偶性的判断，属于基础题和易错题.（5分）已知双曲线 立-丈二1的右焦点到其渐近线的距离等于 小,则该双曲线的离心率 TOC o 1-5 h z 42等于（）A 1B 上C. 2D.222考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出双曲线的焦点，渐近线方程，再由点到直线的距离公式解方程可得m,再由离心率公式计算即可得到.22解答： 解：设双曲线 工-工二1的右焦点为（c, 0）,4 m2且 c=

9、d+mE，其渐近线方程为y= +-x,则右焦点到其渐近线的距离：=|m|=二，Vw则有m2=3,即有c二板,又a=2,则e二旦迎3 2故选：D.点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式及离心率的求法，属于基础题.6. （5分）如图，平行六面体OABG O A B C中，设 示。n , ii =，G为 BC的中点，用a, b, 3表示向量而，则而等于（）-1-1-_Llf_1 -* T 1 -A.i+,+B. i+,+ .C. i+r+ -D.考点:平面向量的基本定理及其意义.专题：平面向量及应用.分析：根据向量的加法运算，向量加法的平行四边形法则，以及平行

10、六面体的边的关系即 可用;，不出0G.解答:故选C.点评：解：0G=00? +0,解 +C，G=00，+OC4-（ 0A - 00，） a+b+c，考查向量的加法运算，向量加法的平行四边形法则，以及平行六面体边的关系，相等向量，相反向量的概念.（5分）设S为等比数列an的前n项和，若27a2-a5=0,则等于（）52一 2710C. 27D. 80考点：等比数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析：由题意易得等比数列的公比 q,再由求和公式代值计算可得.解答： 解：设等比数列an的公比为q,则 27a2a2q3=0,解得 q=3, .J ? 一；=30s2 i - q （i-q2）故选：Bq

11、是解决问题的关键，属基础题.点评：本题考查等比数列的求和公式和性质，求出公比（3分）已知a0, b0,若不等式？+一恒成立，则m的最大值等于（）a b 2a+bA. 7B. 8C. 9D. 10考点：基本不等式.专题：不等式的解法及应用.分析： a0, b0,不等式2+工3一恒成立，可得 璐（2a+b） （-A）.，利 a b 2a+ba b 111111用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.解答： 解：.a0, b0,不等式2碧-恒成立，a b 2a+bYgb）（我）华,（2a+b）*=5+告隹5+2X2 p=9,当且仅当a=b=时取等号1-m的最大值等于9.故选：C.点评:础题.故选：A

12、.本题考查了 “乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基(5 分)已知函数 f (x) =xsinx ,当 xi, xzC (一三，三)时，f (xi) x2B. xi+x2=0C. xi x2D. xi x2考点：函数单调性的判断与证明.专题：函数的性质及应用.分析： 先判断函数f (x)的奇偶性与单调性，再由 f (xi) 0, f( x)是增函数， ，xC 时，f ( x) W0, f (x)是减函数；221. f ( xi ) f ( x2) ? f ( |x i| ) 2近.(廿 0).FAB的面积的取值范围是(匆百，+8).点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性

13、质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、角平分线的性质、斜率计算公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、点 到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11.（5分）已知点人（-2,0）内（2,0）1是双曲线工-丫2=1上任意一点，则|PA| - |PB|= 273,3考点：双曲线的简单性质.专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 求出双曲线的a, b, c,则A, B为双曲线的焦点，再由双曲线的定义，即可得到所求值.2解答： 解：双曲线 -y2=1 的 a=vG b=1,贝U c3+1=2,3则A （-2

14、, 0）, B （2, 0）为双曲线的焦点，由双曲线的定义可得，11PAi - |PB|二2a=2把.则 |PA| - |PB|= 2故答案为：2,点评：本题考查双曲线的定义和方程，考查运算能力，属于基础题.（5分）不等式2 / 一8+5工的解集是 仅印3.2考点： 其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点.专题： 计算题；转化思想；不等式的解法及应用.分析：直接利用指数函数的单调性，化简不等式，然后求解二次不等式即可.解答： 解：因为指数函数 y=2x是增函数，所以2 J-5x+5工化为：5x+5- 1,即x22-5x+60,解得 x3,所以不等式的解集为：x|x 3,故答案为：x|x 3

15、.点评：本题考查指数函数的单调性的应用，二次不等式的解法，考查就算了转化思想的应用.(5分)已知空间三点 A (0, 2, 3), B ( - 2, 1 , 6), C (1, - 1, 5),则瓦与正的夹角考点：空间向量的夹角与距离求解公式.专题： 计算题；空间位置关系与距离.分析:由 A (0, 2, 3), B ( 2, 1 , 6), C (1, - 1, 5),先分别求出靛，应，再由 cos屈,正，求出 瓦与菽的夹角的余弦值，由此能求出 薪与京的夹角.解答： 解：.A( 0, 2, 3), B(2, 1, 6), C (1, 1, 5),AB= (-2, T, 3), | ABI=4

16、4+129=/R，应=(1, -3, 2), | ACI=Vl+9+4=V14,c0s屈，AC=,垂嗔二二型 j. | AB | HI AC | V14*V14 2.窟与的夹角为 .3故答案为：.点评：本题考查空间向量的夹角公式的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.（5分）已知a, bC R,则a=b是3*=/”的必要不充分条件.（充分不必要，必2要不充分，充要，既不充分也不必要） 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题： 简易逻辑.分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答： 解：若a=b0,则亘也0，则处 =。不成立，22若空口、。,则 ab0, Mb0,即 a0

17、, b0,22贝U a+b=2、/,即（Va - Vb） 2=0,则/7%,即 a=b0,故a=b 是=V ：i/ 的必要不充分条件， 2故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义结合方程之间的关系是解决本题的关键.（5分）如图，某观测站 C在A城的南偏西20 , 一条笔直公路 AB,其中B在A城南偏东 40 , B与C相距31千米.有一人从 B出发沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达D处，此 时C, D之间的距离为21千米，则A, C之间的距离是24_千米.A北考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；解三角形.分析： 先求出cos/BDC进而设/ ADC=

18、a ,则sin a , cos a可求，在 ACD中，由正弦定 理即可求得AC.解答： 解：由已知得 CD=21 BC=31, BD=20在 BCD中，由余弦定理得 cos/BDCEL_Li2-=-2. TOC o 1-5 h z 2X21X207设/ADC=a ,则 cos a =, sin a =,77.-1 21sina在 ACD中，由正弦定理得 AC= . =24,故答案为：24 .点评：本题主要考查了解三角新的实际应用，考查余弦定理、正弦定理的运用.解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案.(5分)对各项均为正整数的数列 an,若存在正整数 m和各项均为整数的数列bn,满足

19、 (1) 0Wb nV m;m是anbn的约数；(3)存在正整数 T,使得bn+T=bn对所有nCN*恒成立.则称数列an为模周期数列，其中数列bn称为数列an的模数列，T叫做数列bn的周期.已 知数列a n是模周期数列，且满足： a1=1, an+1=2an+1,若m=10,则一个可能的 T=4 (或8, 12, 16 ).考点：数列的应用.专题： 点列、递归数列与数学归纳法.分析：直接计算出前几项的值，即可得出结果.解答： 解：,a 1=1, a n+1=2an+1, .22=3, a3=7, a4=15, a5=31, a6=63, ay=127, a8=255, 由题可知 b1=1 ,

20、 b2=3, b3=7, b4=5,b5=1, b6=3, b7=7, b8=5,*显然 T=4k (k N).点评：本题考查数列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题(共6小题)(12分)已知 ABC的内角A, B, C,所对的边分别为 a, b, c,且a=4, cosB= .5(I )若 b=3,求sinA的值；(n )若 ABC的面积为12,求b的值.考点：正弦定理；余弦定理.专题：计算题；解三角形.分析： （I）由已知可求得 sinB的值，由正弦定理代入已知即可求sinA=色更述的值.(D)由面积公式可得 JlrcxW二12,即解得c的值，从而由余弦定理可求 b的值

21、. 25解答:解：（I ） cosB=，0vBv 兀，5sinB=/l -cos2B=15由正弦定理可得： 事,又a=4, b=3,sinA sinB sinA= 2式位=4.b 3 5（n）由面积公式，得 SJaabc= acsinB ,2acX=12，可解得：c=10.25由余弦定理，b2=a2+c2 2accosB=52,解得：b=2jT.点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查.（12分）某厂生产甲，乙两种产品，生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表:产品品种劳动力（单位：个）钢材（单位：千克） 电（单位：千瓦）甲产品394乙产品10

22、45已知生产甲产品的利润是每吨 3万元，生产乙产品的利润是每吨 5万元，现因条件限制，该 厂仅有劳动力300个，钢材360千克，并且供电局只能供电 200千瓦，试问该厂如何安排生产，才能获得最大利润.考点： 简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：根据条件建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解即可.解答：解：设安排生产甲乙两种产品分别为x顿，y顿，利润为z万元,r3x+10y300则由题意得约束条件为9x+4y360+5y0由 z=3x+5y 得 y=-1 ,代,平移直线y=则由图象可知当直线 y= -(工十|经过点M时直线y=-(n弋的截距最大，此时 z=3X20+5X 24=180

23、 万元，答：安排生产甲乙两种产品分别为20顿，24顿，才能获得最大利7闰.最大利润为 180万元.点评：本题主要考查生活中的优化问题，利用线性规划是解决本题的关键.(12分)如图，四棱锥 P- ABCM底面 ABC的矩形，PL底面 ABCQ BC=4, AB=PA=2 M 为线段PC的中点，N在线段BC上，且BN=1.(I )证明：BMLAN(n)求直线 MN平面PC所成角的正弦值.考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角.专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用.分析:(I)以A为原点，分别以瓦瓦屈的方向为x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系A - xyz ,由AN?BM=0即可证

24、明ANL BMz=2y(n)设平面PCDW法向量为；=(x, y, z),由* nPC二,解得：工二。，取y=i得平面n*PD=OMBDW一个法向量为n= (0, 1,2),设直线MN与平面PCD所成的角为0 ,则由向量的夹角公式即可求得直线 MN与平面PCD所成角的正弦值.解答：(本题满分12分)解：如图，以A为原点，分别以 靛，AD,下的方向为x, v, z轴正方向建立空间直角坐标系A- xyz ,则 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 4, 0), D (0, 4, 0), P (0, 0, 2), M (1, 2, 1), N (2, 1, 0),(3 分)

25、(I ) 应=(2, 1, 0), 1=(1, 2, 1),(4 分)AH?BM=0( 5 分)，而，氤，即ANL BM- (6分)(n)设平面 PCD勺法向量为：=(x, y, z),(7分)PC= (2, 4, 2) , PD= (0, 4, 2),fn*PC=0伽+-2?二。由一一，可得,，(9分)kn-PD=0知-2工二0 x-0解得：，取y=1得平面 MB而一个法向量为 n= (0, 1, 2),(10分)设直线MN与平面PCD所成的角为0 ,则由诵=(-1, 1, 1),(11分)I V3W5 5可得：sin 0 =|cos 0,g ( x)在(1, +8)上单调递增；当 x C

26、(0, 1)时，g ( x) v 0,g ( x)在(0,1)上单调递减；当 x C ( - 8, 0)时，g ( x) v 0, .g ( x)在(-8, 0)上单调递减； g ( x)的大致图象如图所示，g (1) =4是函数的极小值，结合图象可知当k4时，直线y=k和函数g (x)恰有三个公共点，即函数y=f (x)的图象与直线y=kx - 1有三个公共点.点评：本题考查函数解析式的求解和导数法判函数的单调性，数形结合是解决问题的关键, 属中档题.(12分)设点A, B的坐标分别为(-a, 0), (a, 0),直线AC, BC相交于点C,且它们的斜率之积是- 红(常数a, b为正实数)

27、(I)求点C的轨迹E的方程；(n)设 O为坐标原点，P, Q为轨迹E上的动点，且 OPL OQ求 一+的值.|0P|2 |0Q|2考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程.专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： (I)利用直接法求点 C的轨迹E的方程；(n)设P(pi, 。)，Q(p2, 0 +-H),利用极坐标方程求： -+-的值.2|0P|2 |0Q|22解答： 解：(I )设C (x, y),则由题意可得=,x+a s - a /22化简可得三+工二1 ；2 2a b22i 2 o . 2o(n)J?化为极坐标方程 1- 6“2,2 L八2 2 v2a bPa b设 Pi e)

28、Q3 )112 p i fl C ) sin ( 8+等)11+=.+loT.点评： 本题考查轨迹方程，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.22. (12分)下图中的三角形称为谢宾斯基( 着色的三角形的个数具有一定的规律.按图(Sierpinski )三角形.这些三角形中的着色与未1)、(2)、(3)、(4)四个三角形的规律继续构(I )求出f (5)的值;(n)写出f (n+1)与f (n)之间的关系式，并由此求出f (n)的表达式;(ID)设_ 2f (n+1) +1%、(n+1)f (口+2)(n6 N*),数列an的前n项和为求证:考点：数列与不等式的综合；归纳推理.专题：综合题.分析： (I)由图知 f (1) =0, f (2) =1, f (3) =4, f (4) =13,从而可得 f (5)的值;(n)方法1:由 f (2) f (1) =1, f (3) f (2) =3, f=27,归纳得：方法2: f (2)f (n+1) -