第四部分函数的三要素习题

1、第四部分 函数的三要素习题一、基本知识点1函数的定义域函数的定义域是指 求定义域的步骤写出使函数式有意义的不等式 (组 )；解不等式组；写出函数定义域 (注意用区间或集合的形式写出 )常见基本初等函数的定义域分式函数中分母不等于零偶次根式函数、被开方式大于或等于 0. TOC o 1-5 h z 一次函数、二次函数的定义域为 yax (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定义域均为 y tan x 的定义域为 函数 f(x)x0的定义域为 2函数的值域在函数 yf(x)中，与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫 ， 叫函数的值域基本初等函数的值域 TOC o 1-5 h z y kx

2、 b (k 0)的值域是 yax2 bx c (a0)的值域：当 a0 时，值域为 ；当 a0 且 a 1)的值域是 ylogax (a0 且 a 1)的值域是 y sin x， y cos x 的值域是 y tan x 的值域是 3函数解析式的求法换元法：若已知 f(g(x)的表达式，求 f( x)的解析式，通常是令 g(x)t，从中解出 x (t)， 再将 g(x)、x 代入已知解析式求得 f (t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方法叫做换元 法，需注意新设变量“ t”的范围待定系数法： 若已知函数类型， 可设出所求函数的解析式， 然后利用已知条件列方程 (组 )， 再求系数1

3、消去法：若所给解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f(x)等形式，可构造另一个方程，通过 解方程组得到 f(x)(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求 出解析式1函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义 域优先的意识2(1)如果函数 f(x)的定义域为 A，则 f(g(x)的定义域是使函数 g(x)A的 x 的取值范围 (2)如果 f(g(x) 的定义域为 A，则函数 f(x)的定义域是函数 g(x)的值域(3)fg(x) 与 fh(x)联系的纽带是 g(x)与 h(x)的值域相同 二、小练习1(函数 y

4、 x 1的定义域为2 x1函数 y2的定义域是 _6 x x2(函数 f(x) log2(3x1)的值域为 _1 1 x2(已知 f 2，则 f(x) _x 1 x2函数 f(x)lg 1 x2的定义域为A 0,112345()C1,1B ( 1,1)D (， 1)(1， )三、题型总结 题型一 求函数的定义域 例 1 1)函数 f(x) 3x lg(3 x1)的定义域为 1x ln x 1(2)函数 y ln 2x1 的定义域为 x23x 4探究提高 (1) 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不 等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：分式中，分母不为

5、零； 偶次根式，被开方数非负；对于 y x0，要求 x 0； 对数式中，真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1； 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束 (2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系1 log1练习(1)若 f(x)2x1，则 f(x)的定义域为()A.C.12，012，B.12，0D(0， )(2) 若函数 f(x)x4mx24mx3的定义域为R，则实数 m 的取值范围是题型二 抽象函数的定义域例 2 若函数 f(2x) 的定义域是 1,1，求 f(log 2x)的定义域探究提高 已知 f(x)的定义域是 a，b，求 fg(x)的定义域，是指满足 ag(x)

6、 b 的 x 的取 值范围，而已知 fg(x) 的定义域是 a， b，指的是 xa，b练习 已知 f(x)的定义域是 0,4 ，求：f(x2)的定义域； (2)f(x1)f(x 1)的定义域题型三 求函数的值域例 3 求下列函数的值域：x3yx22x (x0,3)；(2)y ；x1y x 1 2x；(4) y log3x log x3 1.探究提高 (1)当所给函数是分式的形式， 且分子、 分母是同次的， 可考虑用分离常数法； (2) 若与二次函数有关，可用配方法；(3) 若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)

7、分段函数宜分段求解； (6)当函数的图像易画出时，还可借助于图像求解练习 求下列函数的值域：x2xyx2x 1； (2)y 2x 1 134x.题型四 求函数的解析式11例 4 (1)已知 f xx x2 12，求 f(x)的解析式；xx2已知 f x 1 lg x，求 f(x)的解析式；已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x 1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式；1已知 f(x)满足 2f(x)f x 3x，求 f(x)的解析式x探究提高 函数解析式的求法凑配法：由已知条件 f(g(x) F (x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)， 便

8、得 f(x)的解析式；待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数、二次函数 )，可用待定系数法；换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；1方程思想：已知关于 f(x)与 f x 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等x式组成方程组，通过解方程组求出f(x)练习 给出下列两个条件：f( x 1) x 2 x；f(x)为二次函数且 f(0) 3，f(x 2)f(x) 4x2.试分别求出 f(x)的解析式练习 已知 f(x)2log3x，x1,9 ，试求函数 yf(x)2f(x2)的值域 解 f(x)2 log 3x 的定义域为 1,9 ，

9、要使 f(x)2f(x2)有意义，必有 1 x9 且 1 x2 9，1x3，3 分 yf(x)2f(x2)的定义域为 1,3 4 分又 y (2 log3x)22log3x2(log3x 3)2 3.6 分 x 1,3 ， log3x 0,1 ，8 分y max (1 3)2313，ymin(03)236.10 分函数 yf(x)2f(x2)的值域为 6,13 12 分四、知识扩展1函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础因 此，我们一定要树立函数定义域优先意识 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式(组 )；对于含有字母参数的函数定义域，应注

10、意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义2函数值域的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的变化范围利用函数几何意义，数 形结合可求某些函数的值域3函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、 判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“ ” 成立的条件4求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作 用特别要重视实际问题的最值的求法5对于定义域、值域的应用问题，首先要用“ 定义域优先 ” 的原则，同时结合不等式的性

11、质限时训练 A 组(时间： 60 分钟 )、选择题13x22A. ，3，2C. 3，1函数 ylg(2 x1)的定义域是B. 12，D. 12，2已知函数 f(x) lg(x 3)的定义域为 M，A x|x 31g(x) 1 的定义域为 N，则 M N 等于 ( 2xBx|3x2C x|x23已知 f1x1xD x|3x 21 x21 x2，则 f(x)的解析式为 1x2()xA. 21x22xC.1x2BD2x1x2x1x24已知 a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是 R 的是 ( ) Af(x)x2aBf(x)ax2 1Cf(x)ax2x1D f(x)x2ax1二、填空题 TOC

12、 o 1-5 h z 5函数 y log2 4 x 的定义域是 116若函数 y f(x)的值域是 2， 3 ，则函数 F(x) f(x) 的值域是 2 f x7(2011 上海)设 g(x)是定义在 R 上，以 1 为周期的函数，若函数 f(x)xg(x)在0,1上的 值域为 2,5，则 f(x)在0,3 上的值域为 三、解答题 8已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1) f(x) x1.(1) 求函数 f(x)的解析式；求函数 y f( x2 2)的值域限时训练 B 组一、选择题1设 f(x)lg 2x，则 f x f 2 的定义域为 ( )2 x2 xA(4,0)(0,4

13、)B(4， 1)(1,4)C(2， 1)(1,2)D(4， 2)(2,4) x2，|x|1，2设 f(x)g(x)是二次函数，若 f(g(x)的值域是 0， )，则 g(x)的值域是 ( )x，|x|b，则函数 f(x) log1 (3x2)*log 2x2的值域为2()A (， 0B. log 23， 02DRC. log23，二、填空题f x24已知函数 y f(x)的定义域是 0,2 ，那么 g(x)1lg x1 的定义域是 5已知函数 y 1x x 3的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm的值为 6设 x 2，则函数 y x 5 x2 的最小值是 x1三、解答题17若函数 f(x)2x

14、2xa 的定义域和值域均为 1，b(b1)，求 a、b 的值8已知函数 f(x)x24ax2a6 (aR)(1) 若函数的值域为 0， )，求 a 的值；若函数的值域为非负数，求函数g(a)2a|a 3|的值域要点梳理答案1(1)使函数有意义的自变量的取值范围R R x|xR且x k 2， kZx|xR 且 x 02 (1)函数值 函数值的集合(2)R4acb24a，4acb24a 1,1 Ry|yR 且 y0 (0， ) R 基础自测 11,2)(2， ) 2. x|3x0，且 x1 当 x1 时， log 3x0 ，于是y log3x1log3x12 log3xlog13x11；当 0 x

15、1 时， log3x0，于是ylog3xlog13x11 log3x log3x 1 21 3.故函数的值域是 (，31， )变式训练 3 解(1)y11x2x1又 xxx1 x21 2f(t)t22，4 43，01x2x143，1y0， t1 且 x t2 1， f(t ) lg2即 f(x)lg x 1 (x1)设 f(x) kxb，3f(x1)2f(x1) 3k(x1)b2k(x1)bkx5kb2x17. k 2k2 ，即. f(x) 2x7.5k b17b 712f(x)f x 3x，132f f(x) .xx1f(x)2xx (x 0)x变式训练 4 解 (1)令 t x 1，t1，

16、x(t1)2.则 f(t)(t1)2 2(t1)t21，f(x)x21 (x1)(2)设 f(x)ax2bxc，又 f(0) c3.f(x) ax2bx 3，f(x 2) f( x) a(x2)2b(x2) 3(ax2bx3) 4ax 4a2b4x2. 4a 4a14a2b2b 1f(x) x2 x 3.课时规范训练A组1 C 2.B 3.C 4.C105 (， 3 6. 2， 372,78解 (1)设 f(x)ax2bxc (a0)，又 f(0) 0，c0，即 f(x)ax2 bx.又 f(x1)f(x)x 1. a(x1)2b(x1)ax2bxx1.1a2(2a b)x a b (b 1)x 1，2abb11b2 ，解得ab111f(x)21x212x.(2)由(1)知 yf(x2 2)12(x22)221(x22)12(x4 3x22)21 x2 32 2 81， 31 当 x2 3时， y 取最小值 1.28函数 y f(x2 2)的值域为1 ， 8， .B组9 9 2 281B 2.C 3.A 4.(1， 10) ( 10， 2 5. 2 6. 37解 f(x)21(x1)2a21.其对称轴为 x1，即 1，b为 f(x)的单调递增区间1 f(x)minf(1)a2 11f(x)maxf(b)2b2