第四章-微分中值定理和导数的应用-课件

1、1微分中值定理和导数的应用第四章2 微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1. 预备定理费马(Fermat)定理 费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节 微分中值定理3几何解释:1. 预备定理费马(Fermat)定理 曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的。4证明:极限的保号性52. 罗尔(Rolle)定理xO yCx aby=f (x)AB几何解释: 如果连续光滑的曲线 y=f (x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等。那么

2、，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线是水平的。如果函数yf (x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f (a)f (b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。6证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。7注意： f (x)不满足条件(1) f (x)不满足条件(3) f (x)不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。8例1验证9 例2 不求导数，判断函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零

3、点，以及其所在范围。 解 f (1)=f (2)=f (3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一个零点。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。思考：f (x)的零点呢？10例3证结论得证. 11证例412证例513 如果函数f (x)满足：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x(a, b)内，使得几何意义： 3.

4、 拉格朗日(Lagrange)中值定理C2h xO yABaby=f (x)C1x 14证明作辅助函数 15例616拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：17推论1证明18推论2证明即得结论。19例7证由推论1知,20利用拉格朗日定理证明不等式例8证21例9证由上式得22例10证类似可证： 推论234. 柯西(Cauchy)中值定理 设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间a, b上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得如果取g(x)x，那么柯西中值定

5、理就变成了拉格朗日中值定理.说明：证略.24P148 习题四练习：25第二节 洛必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. 及26定理(洛必达法则) (证略) 某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件： 和型未定式一、27说明：5.洛必达法则可多次使用。 只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法； 28例1用“洛必达法则”求极限例题练习:比较:因式分解，29例2比较:30练习:或解等价无穷小替换31例332例4及时分离非零因子 33例5例634例6或解：及时分离非零因子 35

6、例7解洛必达法则失效。练习不能使用洛必达法则。解极限不存在？36二、其它类型的未定式例8解法：转化为 或 型不定式。步骤:37例9步骤:38步骤:例10对数恒等式39例11或解(重要极限法)： 40例12解41例13解所以42练习解43解例14 这是数列极限, 不能直接使用洛必达法则, 要先化为函数极限.44或解例1445小结洛必达法则463. 若 不存在时,不能断定原极限是否存在,此时法则失效,改用其它方法.洛必达法则并不能解决一切未定式的极限问题.应用洛必达法则应注意的几个问题:1. 应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数,切忌不要把函数当做整个分式来求导.2. 洛必达法则可以累次使用,

7、但必须注意,每次使用前需确定它是否为未定式.4. 使用洛必达法则时,要灵活结合其它方法,如等价无穷小替换、凑重要极限、分离非零因子、恒等变形、换元等.47P148 习题四练习：48第三节函数的单调性49函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：函数单调增加函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？50函数单调增加时导数大于零；观察结果：函数的单调性与导数符号的关系函数单调增加函数单调减少函数单调减少时导数小于零。51定理52证应用拉格朗日定理,得53例1解例2解54例3解55例4解56也可用列表的方式，例4解57 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:注意: 区间内个别点

8、导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点58例5证可利用函数的单调性证明不等式59例6证综上所述，60由零点存在定理知，例7证利用函数的单调性讨论方程的根61小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以证明不等式和确定某些方程实根的个数.62P148 习题四练习：63问题:如何研究曲线的弯曲方向?第四节 曲线的上下凸性和拐点64曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向. 65定义下凸凹上凸凸6667观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点下凸上凸当曲线是下凸的时， f (x)单调增加。当曲线是上凸

9、的时， f (x)单调减少。曲线凸性的判定曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。68定理证略。69例1解x yO70例2解下凸上凸下凸拐点拐点71例3解拐点的求法：1.找出二阶导数为零的点或不可导点；2.若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点.注意：拐点要写出纵坐标。72例4解73P148 习题四练习：74一、函数的极值及其求法第五节 函数的极值与最值75定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大. 76定理1(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。 但反之不然，驻点不一定是极值点

10、. x yO77此外, 不可导点也可能是极值点, x yO函数的不可导点也不一定是极值点， x yO78 这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一. 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点. 79定理2(极值的第一充分条件)一阶导数变号法80定理3(极值的第二充分判别法)称为“二阶导数非零法”(1)记忆:几何直观； 说明：(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点； 81例1解法一列表讨论极大值极小值82例1解法二83例2解84例3解85例4解列表讨论极大值极小值86例5解注意定义域！导数左负右正，87例6解两

11、边关于x求导,得 对(1)式再求导，得 88 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 例7解xyo (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. 89(1) 确定函数的定义域； (4) 用极值的第一或第二充分条件判定.注意 第二充分条件只能判定驻

12、点的情形. 求极值的步骤:(3) 求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或 一阶导数不存在的点)； 90二、函数的最值极值是局部性的,而最值是全局性的. 91具体求法： 92例8解计算比较得93 在许多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法： 94 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 例9解axa-2x 95 将边长为a的正方形铁皮,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 例9解96 将边长为a的正方形铁皮

13、,四角各截去相同的小正方形,折成一个无盖方盒,问如何截,使方盒的容积最大？为多少？ 求导得设小正方形的边长为x，则方盒的容积为 解例997 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径为r, 高为h，总的表面积为例10解即表面积最小. 即高与底面直径相等. 即为最小值点 . 导数左负右正，是极小值点，98例11解利用最值证明不等式99例12解分析 数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导. 利用对数求导法,得 导数左正右负，100经济应用举例1.平均成本(AC)最低问题 例13设成本函数为 则平均成本为得驻点 此时平均成本和边际成本均为4. 一

14、般,当平均成本最低时,平均成本与边际成本相等. 1012.最大利润问题 例14利润函数为 解得驻点 102一般,利润函数为 其中Q为产量, 时,利润最大,其中MR和MC分别表示边际收益和边际成本(Marginal revenue, Marginal cost), “生产商为获得最大利润,应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平”.这是微观经济学的一个重要结论. 103 某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.如果年销售率是均匀的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费和库存费之和最小？ 3.最优批量库存问题例

15、15解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为 得唯一驻点 104P148 习题四练习：105第六节 渐近线和函数作图一、曲线的渐近线1.水平渐近线例如有两条水平渐近线:xy(平行于x轴的渐近线)106例如有两条竖直渐近线:2.竖直渐近线(垂直于x轴的渐近线)1073.斜渐近线斜渐近线求法:108例1解109110二、函数作图第一步第二步第三步第四步第五步111例2解非奇非偶函数.列表不存在拐点极小值点间断点112 C(-1, -2)，E(2, 1) ，D(1, 6)，作出函数的图形.xO yF(3, -2/9) .B(-2, -3)，D水平渐近线ABCDEF不存在拐点极小值点间断点描点:A(-3, -26/9)，y = -2竖直渐近线x = 0113例3解偶函数, 图形关