1-材料科学研究中的数学模型-数学模型

1、计算机在材料科学中的应用第一章材料科学研究中的数学模型对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模实体：客观存在的事物及其运动形态模型：对实体的特征及其变化规律的表示或抽象。一、数学模型的概念广义：以相应的客观原型作为背景加以一级或多 级抽象的数学概念、数学式子、数学理论等。 如，牛顿三定律 狭义：反映特问题或特定事物系统的数学符号系统。 如，人口增长模型等。数学模型：利用数学语言对某种事物系统的特征和数量关系建立起来的符号系统2、数学模型的特点和分类模型的逼

2、真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性 数学模型的特点模型的分类1）变量的性质离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模型2）时间变化对模型的影响静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型3）模型的应用领域（或所属学科）人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。4）建立模型的数学方法（或所属数学分支）初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。5）建

3、立数学模型的目的描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。6）按对模型结构的了解程度白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。3、数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到高度的重视。 在一般工程技术领域数学建模大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具。作用有助于深刻了解过程的性质和过程变

4、量间的相互关系；探索改变工艺操作参数的效果，为工艺优化提供手段；探讨设备参数对生产的影响，为改进设备提供依据；实现生产过程判断和过程的自动控制。高效指导新工艺开发过程估计过程的可行性规划实验室规模实验为半工业实验及其放大提供参考和进行评估4、数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模计算机技术问题求解相互促进模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用Mathematical modeling 构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法，是一种从无到有的创新活动过程。二、建立数学模型的一般步骤数学建模的全过程现实对象的

5、信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）利用获取的数

6、据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）对所得的结果进行数学上的分析将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复计算应用方式因问题的性质和建模的目的而异数学建模思路例： 商人们怎样安全过河问题(智力游戏) 3名商人 3名随从随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就抢货逃跑。但是乘船渡河的方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程河小船(至多2人) 每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从

7、）及其人数作出决策。在保证安全的前提条件下（两岸的随从数不比商人多，包括船靠岸时），在有限步内使所有人员全部过河。 用状态表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。 问题转化为：在状态的允许变化范围内（安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目标。问题分析模型构成xk：第k次渡河前此岸的商人数yk：第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,，nsk=(xk , yk)：状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S ：安全渡河条件下的状态集合uk：第k次渡船上的商人

8、数vk ：第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)：决策允许决策集合：uk, vk=0,1,2; k=1,2,nD=(u , v) u+v=1, 2状态的数学表述：决策的数学表述： 安全状态：商人们安全是指在两岸都安全，故当x=0,3时，y=0,1,2,3，而当x=1,2时,此岸要求xy,对岸要求3-x3-y,综合即x=y (3,3)(3,2)(3,1)(2,2)(3,0)(0,3)(0,2)(1,1)(0,1)(3,2)(3,1)(2,2)(3,0)(0,3)(0,2)(1,1)(0,1)(0,0)模型构成sk+1=sk dk +(-1)k因k为奇数时船从此岸驶向彼岸， k为偶数时船从彼

9、岸驶回此岸，状态s随决策d变化规律(状态转移律)是：求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策问题状态转移律模型求解xy3322110 图解法状态s=(x,y) ：16个格点 10个 点允许决策：移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法。d1d11允许状态：S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2？讨论与练习：还有没有其他安全渡河方案？如果有，请用图解法给出方案。请写出安全渡河方案：每一次决策的策略和此

10、岸的状态。例：d1(u,v):d1(0,2), S2(3,1)。考虑4名商人各带一随从的情况？安全过河问题 4名商人 4名随从4名商人带着4名随从来到河边准备渡河。河边有一小船，每次渡河时，小船最多能坐3人。随从密约, 在河的任何一岸, 只要随从的人数比商人多, 就抢货逃跑。但是，乘船渡河的方案由商人决定。河小船(至多3人)请建立商人安全渡河的数学模型，给出至少两种安全渡河方案? 并制定最佳的渡河方案，也就是渡河次数最少的方案。例3：金属中空位形成能建模研究1）建模准备 金属中空位研究的重要性，研究空位缺陷的形成能。 高能粒子对材料性能的影响，尤其是反应堆的金属材料在高能粒子的辐射作用下，性质

11、如何变化，如何保证其安全运行？ 固体受辐射后产生三种效应： 电离、蜕变和离位(产生空位和填隙粒子)，其中离位是金属中最主要的辐照效应。例3：金属中空位形成能建模研究A2L13I空位形成的模型1形成空位2蒸发3形成填隙原子例3：金属中空位形成能建模研究2）建模假设与模型构造a. 金属材料为晶体，晶体为面心立方结构，原子间的交互作用限于最近邻；b. 空位的形成能定义为：从晶体内部取出一个原子放到晶体表面所需的能量；c. 为不显著影响晶体表面的形状，取出的晶体放在晶体表面的台阶处。例3：金属中空位形成能建模研究3）模型求解和模型分析 面心立方体（配位数为12）取出离子要割断12个键，而在表面台阶处放

12、置一个原子，要形成6个鍵，因此净效应为割断6个鍵，其能量净效应等于晶体的结合能。 结论：空位形成能与结合能间有密切的关系。例3：金属中空位形成能建模研究4）模型检验结合能愈大，熔点愈高，则空位形成能愈大。结论基本符合实验事实。 实际空位形成能只有结合能的1/21/4（？）未考虑金属鍵的特征和空位周围原子的位移。 重新建模。(1) 从内部取出正离子的情况从晶体点阵中取出一个正离子，设所带正电荷均匀散布于晶体中以抵消它的价电子，使整个晶体仍保持电中性，形成穴位静电效应。对于单价金属，空位的静电效应，即空位的附加电荷为-Ze(Z=-1)，引起导带电子的屏蔽效应。达到平衡后，空位周围只保留局部的干扰电

13、势(Vp)。设导带的电子浓度为n，静电能的增加等于nVp的体积积分：式中：r表示积分元到空位中心的距离 R表示积分区域的半径。(1-1)RP根据电子屏蔽模型：Vp与Z应满足关系式中：N0(Em)表示晶体导带在费米能级Em处的能态密度。从式(1-1)和(1-2)中消去积分，可得：(1-2)(1-3)对于自由电子：这里C是一个常数，将式(1-4)、(1-5)代入(1-3)，则：(1-4)(1-5)(1-6)2) 正离子放在表面台阶由于自由电子气的膨胀，造成费米能的下降。式中：N为晶体中的原子数，V为晶体的总体积。由式(1-5)，即：(1-7)若体积膨胀了V，费米能级的变化Em 。对式(1-7)两边

14、取微分，由模型可知，V等于一个原子体积，V/V就等于1/N;而自由电子的平均动能为(3/5)EM,，因此总的费米能变化为：对式(1-7)两边取微分，得：(1-8)(1-9)因此，在此模型下，即考虑取出原子后的内部能量变化E1和放置在台阶上的能量变化E2后，E1和E2相加就等于空位的形成能：(1-10)重新建模结果： E= Em金属Uf/eV(淬火)Uf/eV（正电子湮灭）Uf/eV（中位值）Uf/eV（计算值）Cu1.271.291.280.8-1.0Ag1.101.161.130.6-0.92Au0.940.970.950.6-0.77 空位形成能（实验值与理论值的对照）例3：金属中空位形成

15、能建模研究415若考虑到空位周围的原子略有松驰，可能降低能量，因而有第三项E3，比如对铜的估计值为。这样，E1、E2、E3三项的迭加就近似等于实验值。金属Uf/eV(淬火)Uf/eV（正电子湮灭）Uf/eV（最佳值）Uf/eV（计算值）Cu1.271.291.280.8-1.0+0.3Ag1.101.161.130.6-0.92Au0.940.970.950.6-0.77例3：金属中空位形成能建模研究5）模型应用根据模型可求解空位浓度：式中：c为平衡状态下的空位深度； Uf为空位形成能； Sf为形成一个空位改变了周围原子振动所引起的扰动熵； k为玻尔兹曼常数； T为热力学温度。(1-11) 数

16、学建模的基本方法机理分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型通常具有明确的物理或现实意义。三、数学建模的方法测试分析将对象看作“黑箱”, 内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输入和输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，找出与数据拟合最好的模型，并确定模型参数。系统辨识。机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。 如：量纲分析方法、变分法、层次分析法、概率分布等二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。数学建模的方法数学建模的方法4、数据分析方法2、理论分析法3、类比方法1、模拟方法机理分析测试分析1、模拟方法 模型

17、的结构和性质已经了解，但其数量关系及求解却相当麻烦。 如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型相似，就可以把后一种模型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或实验并求得其结果。 模拟方法：通过在实验室中设计和制作出与某自然现象或过程(即原型)相似的模型来间接地研究原型的形态、特点和规律性的方法。 模拟的基本思想：建立一个试验模型，这个模型包含所研究系统的主要特点通过对这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息 模拟特点：可对已事过境迁的自然现象进行实验研究，可将研究对象放大或缩小并在短时间内重复出现，可使人在某些特殊实验中趋利避害。模拟的方法：物理模拟和数学模拟物理模拟：

18、 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。 在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。数学模拟在我方某前沿防守地域，敌人

19、以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部消灭敌人 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算得到相应的概率和期望值.但这样只能给出作战行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动态过程. 为了能显示我方20次射击的过程，现采用模拟的方式。例1：炮弹有效打击的模拟 需要模拟出以

20、下两件事： (1). 问题分析2 当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况1 观察所对目标的指示正确与否模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2 因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确。 模拟试验有三种结果： 毁伤一门火炮的可能性为1/3(即2/6)； 毁伤两门的可能性为1/6； 没能毁伤敌火炮的可能性为1/2(即3/6)。 可用投掷骰子的方法来确定：如果出现的是、三个点：则认为没能击中敌人；如果出现的是、点：则认为毁伤敌人一门火炮；若出现的是点：则认为毁伤敌人两门火炮。(2). 符号假设i：模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数；

21、k2：击中敌人一门火炮的射击总数；k3：击中敌人两门火炮的射击总数E：有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数(3). 模拟框图初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子点数?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i20?E=(k2+k3)/20 E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20停止硬币正面?YNNY1，2，34，56投掷硬币的计算机模拟1、产生服从均匀分布U（0，1）的随机数R12、将区间0，1两等分： 若 ，则对应硬币正面 若 ，则对应硬币反面掷骰子的计算机模拟1、产生服从均匀分布U（0，1）的随机数R22、将区间0，1

22、六等份： 若 ，则对应骰子点数为1 若 ，则对应骰子点数为2 若 ，则对应骰子点数为3 若 ，则对应骰子点数为4 若 ，则对应骰子点数为5 若 ，则对应骰子点数为6(4). 模拟结果从以上模拟结果可计算出： E= (5). 理论计算(6). 结果比较虽然模拟结果与理论计算不完全一致，但它却能更加真实地表达实际战斗动态过程 蒙特卡洛方法基本原理：首先建立一定的随机过程或模型，使其参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察来计算所求参数的统计特征；最后给出所求问题的近似值，并可通过标准方差来判断解的精度。 蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是一种应用随机数来进行计算机模拟的方法此方法对研究的

23、系统进行随机观察抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数 的计算向靶投飞镖模拟落在阴影区的点数为Nc, 落在靶上的总点数为Ns, 则命中率为：则：生成随机数（x,y）0,r. 若x2+y2=r2,则认为落在阴影内。r构造模拟（概率）模型 模型的相关变量是所求问题的解.随机抽样 通过具有概率分布的模拟随机数来模拟随机现象估计统计量统计量比值：统计量（N0）/统计量（N1）统计量精度：均值或方差散点图：均值或方差变化幅度蒙特卡洛方法模拟基本步骤等离子喷涂工艺表面形貌研究: MC基于一定的初始颗粒分布，利用MC模拟涂层的三维形貌。方法：在基体表面划分有限个网络单元，各单元中记录下不同类

24、型的颗粒数，然后利用随机模型在各单元内产生足够充分的颗粒数。50个ZrO2颗粒与50个Ni颗粒在基体表面的初始分布情况。假设在喷涂时，涂层沉积过程中，仍满足相同的分布规律，即其在空间的分布函数一定。等离子喷涂工艺表面形貌研究模拟更多颗粒沉积在基体表面的三维形貌，用MC模型生成随机的网格行号和列号Grandom-i random-j，然后将其中的颗粒数与原有网络叠加。等离子喷涂工艺表面形貌研究若将基体表面划分为NN个网格，则每进行一次随机操作，均将生成NN个随机网格号并依次与原有网格叠加。每次随机的网格行号random-i 与列号random-j在0,N范围内满足均匀分布规律，以保证各网格所载入

25、的信息与初始信息总体上相一致，即符合相同的质量、直径等分布规律。模拟结果例2：钢铁材料中裂纹在外载荷作用下尖端的应力、应变分布根据一定比例，采用模具将环氧树脂制备成同样结构的模型，并加工出同样结构的裂纹。放入恒温箱，对其在冻结温度下加载，并在载荷不变的条件下缓慢冷却到室温卸载；在平面偏整光场或圆偏振光下观察，环氧树脂中将出现一定分布的条纹，用照相法将条纹记录下来并确定条纹级数计算应力；根据相似原理、材料等确定比例系数，将计算出的应力换算为钢铁材料中的应力，获得裂纹尖端的应力、应变分布 通过弹塑性力学和断裂力学计算，但求解复杂；可以借助于实验光测力学的手段来完成分析。2、理论分析法例1：在炼钢渗

26、碳工艺过程中通过平衡理论找出： 控制参量与炉气碳势间的关系(？) 应用自然科学中的定理和定律，对研究对象的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立研究对象数学模型。序号CO2体积分数( co2) %碳势Cc%10.810.6320.620.7230.510.7840.380.8550.310.9560.211.11甲醇加煤油气氛的渗碳工艺中，炉气碳势与CO2含量的关系。理论分析钢在炉气中发生如下反应：CFe + CO2 = 2 CO式中：CFe为钢中的碳。根据化学反应平衡原理，可以求出该反应的平衡常数K：式中：c为碳在奥氏体中的活度； c=wc/wc(A), wc(A)为奥氏体中饱和碳含量，Wc

27、为奥氏体中的实际； Pco和Pco2为平衡时co和co2的分压。 通过理论推导，将相关参数代入即可求得碳势与炉气CO、CO2含量及温度的关系。理论推导与演算根据上述理论推导的结果和实际数据建立模型：式中：P为总压，设P=1atm; c为碳在奥氏体中的活度；c=wc/wc(A), wc(A)为奥氏体中饱和碳含量，Wc为奥氏体中的实际碳含量； Pco和Pco2为平衡时co和co2的分压； co和 co2平衡时co和co2的体积分数。根据上述理论推导的结果和实际数据建立模型：式中：Cc表示平衡碳浓度，即炉气碳势; Cc(A)表示加热温度T时奥氏体中的饱和碳浓度； 在温度一定时，K和Cc(A)为常数，

28、如不考虑CO及其它因素的影响，将co等视为常数，可得出：式中：A为常数对取对数，得：令lgCc=Y, lg co2=x,系数为b，可得： 利用实验数据进行回归分析，得到回归方程： 将参数进行还原，即得到碳势控制的单参数数学模型为：例2：双层玻璃的功效一般北方建筑的窗户玻璃为双层玻璃，若玻璃的厚度为d，空气层的厚度为l. 试建立数学模型描述热量通过窗户的传导过程，并将双层玻璃窗与同样多材料做成的单层玻璃窗(厚度为2d)的热量传导进行对比，给出热量损失的定量分析。墙lT1dTaTbT2 热传导方向墙墙T12dT2 热传导方向墙模型假设热量的传播只有传导，没有对流。即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气不流动。室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量保持不变。玻璃材料均匀，热传导系数是常数。qx为x方向的热