三角函数式的化简

1、精品资料欢迎下载三角函数式的化简、求值和证明一、要点精讲化简问题要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；.尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.方法：活用公式（包括正用、逆用、变形用）；切割化弦、异名化同名、异角化同角等；常用技巧注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用代数上的一些恒等变形法则（如因式分解）和分数的基本性质；注意利用角与角之间的隐含关系.注意利用“1”的恒等变形.求值问题给角求值：要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；给值求值：分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的地将已知式

2、、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值。给值求角：关键是先求出该角的某一三角函数值，其次是判断该角对应函数的单调区间，最后求出角。证明问题无条件恒等式的证明：证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；三角条件等式的证明：证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消元法或分析法进行证明。二、双基达标1、在ABC中，如果sinAsinBcosAcosB，则ABC是2、A、B、C为ABC的内角，且cosA，sinBA.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形35513D.任意三角形，则s

3、inAB的值为3363656515151663A.或B.C.或D.651665653、已知、为锐角，sinx,cosy,cos35，则y与x的函数关系式是A.y31x2xx1435554B.y31x2x0 x155C.y35D.y1x2x0 x34551x243x0 x1554、化简：cos20 xcos25xcos70 xsin25x.精品资料欢迎下载5、求值：coscoscos.242cos219992tan()sin2()44.6、已知5sinsin2求证：2tan3tan.四典例解析考点一：化简问题：1、若sincos0,sintan0，化简：.1sin1sin221sin1sin22

4、1sin1cos1cos1sin1cos1cos.，；2、化简下列各式：11113cos2222222解析：因为32，所以cos2coscos，11222，所以cossinsin，所以，原式=sin。又因3114222222(1sincos)(sin3、化简：3tan123sin12(4cos2122)；22coscos)22(0)4.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设函数f(x)(sinxcosx)22cos2x(0)的最小正周期为（）求的最小正周期23（）若函数yg(x)的图像是由yf(x)的图像向右平移2个单位长度得到，求yg(x)的单调增区间解：（）

5、f(x)(sinxcosx)22cos2xsin2xcos2xsin2x12cos2xsin2xcos2x22sin(2x)24依题意得2精品资料欢迎下载23，故的最小正周期为.232w.w.w.s.5.u.c.o.m（）依题意得:g(x)2sin3(x)522sin(3x)22442k(kZ)由2k23x542解得kxk22734312(kZ)w.w.w.s.5.u.c.o.m227故yg(x)的单调增区间为:k,k34312(kZ)sinA5考点二：给值求角5.（2009四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且10n,siB（I）求AB的值；510解：A

6、、B为锐角，sinA510,sinB510cosA1sin2A25310,cosB1sin2B510cos(AB)cosAcosBsinAsinB253105102.51051020ABAB4,tan,且、0,，求2的值。6、已知tan11277、在ABC中，如果lgtanAlgtanC2lgtanB，则B的范围是8、已知、(0,2)，sin+sin=sin，cos+cos=cos，求的值.评述：本题易求=，如不注意隐含条件sin0，则产生增根.解：由已知，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得：(sinsin)2+(coscos)2=1.2cos()=1.cos()=1.2

7、=.sin=sinsin0，.=.3339、已知、（0，考点三：证明问题精品资料欢迎下载），3sin=sin（2+），4tan=1tan2.求+的值.42210、求证：tan2xcot2x2(3cos4x)sin(2AB)sinB2cos(AB)；1cos4xsinAsinA剖析：先转换命题，只需证sin(2+)2cos(+)sin=sin，再利用角的关系：2+=(+)+，(+)=可证得结论.证明：sin(2+)2cos(+)sin=sin(+)+2cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin2cos(+)sin=sin(+)coscos(+)sin=sin(+)=sin.两边同

8、除以sin得:sin（2）2cos(+)=sin.sinsintan（1sin）sintansin34cos2cos434cos2cos4tan4；tan（1sin）sintansin=.（1sin）sin2sincos2cos2cos（1sin）sinsincos2sincos2sin2sin=cot，原等式成立.右边=cos=sin1sincos=证明：左边=cos=222=2=cot，sin2cos2222sinsin2cos21cos2sinsin2sin2sincoscos2211、证明：sinxcosx1sinxcosx1tanxsin2x2.sinx12sin2xxsin2xxx

9、xxxxx1sinx12sin212sincos2sin22sincos2sin22222222=4sincoscosx22x2xxxcossincossinsincos2sin222222222=tanx.xx2coscosxcoscosx12、(04全国)已知为锐角，且tan1sin2xcosxsin=xcoscosx222考点四：热点预测：给值求值sin2cossin，求的值。2sin2cos2cos124sin213、已知为第二象限角，且sin，求1352的值。，tan+cot=，求sin（）的值.14、（04江苏）已知0精品资料欢迎下载522223+cot=，得sin=.0，cos=

10、1sin2=.解：由已知tan5254322sin225）=sincoscossin=（433）.从而sin（4133133352521015、（04湖北）已知6sin2+sincos2cos2=0，），求sin（2+）的值.23解一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=03sin+2cos=0或2sincos=0.，即（，）.于是tan0，tan=.由已知条件可知cos0，所以2223）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）sin（2+33332+=+.=sincoscos2sin222cos2sin2tan2tan23cos2sin2tan31t

11、an2（）1（将tan=代入上式得：sin（2+）=+=6+53.223322331（2）1（322）322）13263解二：由已知条件可知cos0，则，原式可化为6tan2+tan2=0，2，）.tan0，tan=.下同解法一.即（3tan+2）（2tan1）=0.又（22316、（06安徽）已知0sin2sin245,sin求的值；求tan()的值。cos2cos225417.（2009湖南卷文）（每小题满分12分）已知向量a(sin,cos2sin),b(1,2).（）若a/b，求tan的值；（）若|a|b|,0,求的值。解：（）因为a/b，所以2sincos2sin,于是4sincos

12、，故tan14.（）由|a|b|知，sin2(cos2sin)25,所以12sin24sin25.从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin(24)29.又由0知，2，2444所以2457，或2.因此，或444234.(0,)（1）求sin和cos的值；（2）若sin()精品资料欢迎下载18.（2009广东卷理）(本小题满分12分）已知向量a(sin,2)与b(1,cos)互相垂直，其中10,0，求cos的值2102（解：1）a与b互相垂直，则absin2cos0，即sin2cos，代入sin2cos21得sin,cos255255,cos，又(0,)，sin.5525

13、5（2）02，02，22，则cos()1sin2()31010，coscos()coscos()sinsin()19.（08天津卷17）（本小题满分12分）22.已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx1（xR,0）的最小值正周期是2fx21cos2xsin2x1sin2xcos2x22sin2xcoscos2xsin22sin2x2由题设，函数fx的最小正周期是，可得2，所以2（）求的值；（）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合2444222fx2sin4x2当4x（）由（）知，42k，即xkkZ时，42162sin4x取得最大值1，所以函数fx的最大值是22，

14、xx|x,kZk1624五、考点演练1、已知tan和tan(A.b=a+c4)是方程ax2+bx+c=0的两个根，则a、b、c的关系是B.2b=a+cC.c=b+aD.c=abtantan（），解析：tan=a=1.=1.b=ac.c=a+b.tantan（）c，1cbb4abc4aa4aa,0)，cosx=，则tan2x等于2、已知x(425D.A.724B.724C.242477cosx=，x(,0），sinx=.tanx=.tan2x=.2tanx4333162452541tan2x2774、设2cosxsinxsinxcosx30，则的值是5B.585D.5A.8精品资料欢迎下载132

15、tan131cos503、设acos6sin6，b，c，则221tan2132A.acbB.abcC.cbaD.bca2cos2xsin2x1tanx2C.25、已知sin（+）0，cos（）0，则下列不等关系中必定成立的是A.tancotcotC.sincoscos22B.tan2222D.sin22cos22sin22sincoscot=解：由已知得sin0，cos0，则tan22=2cos0.tancot.sin222sin2cos26、=1cos2cos2（）Atan7、当0 x2Btan2C1D121cos2x8sin2x时，函数f(x)的最小值为sin2xA.2B.23C.4D.4

16、38、已知f(x)1x，当(53,)时，式子f(sin2)f(sin2)可化简为（42）(A)2sin(B)2cos(C)2sin(D)2cos解析：f（sin2）f（sin2）=1sin21sin2=sincossin+cos.，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.（532422原式=cossin+cos+sin=2cos.9、2cos10sin20sin70的值是A.12B.32C.3D.22cos（3020）sin20（cos30cos20sin30sin20）sin203cos20解：原式=3.sin70sin70cos2010、若8cos(+）cos(-）=1，则

17、sin4+cos4=_.解析：由已知得8sin(-)cos(-)=1，4sin(-2)=1.cos2=.4414424sin22=1(1cos22)=1（1）=1=.sin4+cos4=(sin2+cos2)22sin2cos2=11111115172221621632，且(0,)，则tan=_.11、若cos=3522精品资料欢迎下载sin2sin2342=2=1cos=1.coscos2sin解一：由cos=，(0,)，得sin=1cos2=，tan=5252sin2222=.解二：tan1cos12cos2,cos，且0.求tan2的值。求.12、（07四川）已知cos113714213、已知：02,023sin22sin21,3sin22sin20，求证：22.3x3xxx,sin,bcos,sin