[理学]第四章微分中值定理和导数的应用

1、x2 1 ( 1) 2221 ，当 4 y ( ) y(1) y(0)43第四章 微分中值定理和导数的应用1验证罗尔定理对函数 y e sin xx 在区间 0,3 上的正确性。解 答： 因 为 函 数 y ex sinx 在 区 间 0 , 3 上 连 续， 在 ( 0 , 3 )内 可 导， 且y( 0 ) y ( 3 ) ，0 满 足 罗 尔 定 理 条 件， 又 由 于 y ex(sin x cosx) ， 当( 0 , 3 时)， y ( ) 0 ，即罗尔定理的结论成立。验证完毕。2验证拉格朗日定理对函数 y arctan x 在区间 0,1 上的正确性。解答：因为函数 y arct

2、an x在区间 0,1 上连续，在 (0,1) 内可导，满足拉格朗日定理条件，又由于 y 1 x2 (0,1) 时， 1 0 4 ，即拉格朗日定理的结论成立。验证完毕。3就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中 的值：（ 1） f (x) ln sin x, , 5 ； 6 6（2） f (x) arcsin x, 1,1 ； （3） f (x) ax2 bx c, x0 , x0 h (h 0) . （原题少右上标 HYPERLINK l _bookmark1 2）26解答： （1）由于 f ( ) ln 2（ 2）由于 f (1) ,f ( 1)2 4；（3）由于 f ( x0 h)

3、 a( x0 h)26，令 f ( )f (5 ) ，令 f ( )12 1b( x0 h) c, f ( x0 )f ( ) (2ax b) xf ( x0 h) f ( x0 ) h2ax0 ahcotx x 0 ，有 ；x f (1) f ( 1) ，得ax02 bx0 c ，令b ，得 x0 1 h 。x211, b a a，b21)x12 x1xn4函数 f( x) 在区间 a, b 上是否满足拉格朗日定理的条件？参考答案： 当0 a, b 时， f (x)满足拉格朗日定理的条件， 当 0 a, b 时， f ( x)不满足拉格朗日定理的条件。解 答 ： 由f (x )于 f ( b

4、)，所以当1b0, f ( a ) aa , b 时，f ) f (a ) 1 当 x 0 时 ， 有 导 数f ( x)满足拉格朗日定理的条件，且 ab 或ab ；当 0 a, b 时， f ( x) 由于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件。所属章节：第四章第一节难度：二级5验证函数 f (x) x2 , g ( x) x 在区间 1,4 上满足柯西定理的条件。解答：函数 f (x) x2 , g ( x) x 在闭区间 1,4 上连续，在开区间 (1,4) 内可导，在区间 (1,4) 内g ( x) 0 ，所以满足柯西定理的条件。所属章节：第四章第一节难度：一级6 若 方 程 a0 xn

5、 a x1n 1 an x 1 0 有 一 正 根 x x0 ，a0 nxn 1 a1(n 1)x an 1 0 必有一个小于 x0 的正根。解答： 令 f ( x) a0 xn a1xn 1 an 1x ， 则由条件知函数 f (x) 在区间则 方 程0,x0 上满足 罗 尔 定理 条 件， 所 以 至 少 存 在正 数 (0,x0 )使 f ( ) 0， 即 为 方程a0 nxn 1a1(n n 2an 1 0 小于 x0 的正根，得证。所属章节：第四章第一节难度：二级7若 f (x) 在 a, b 上二阶可导，且 f ( a) f (b) f (c) ，其中 c 是 (a , b) 内的

6、某一 点，求证方程 f (x) 0 在(a , b) 内必有一实根。解答：由题设条件知函数 f ( x) 在 a, c , c, b 上均满足罗尔定理条件，于是存在1 (a ,c), 2 (c, b) ，使 f ( 1) f ( 2 ) 0， 再在区间 1 , 2 上应用罗尔定理，有( 1 , 2 ) ( a, b) ，使 f ( ) 0 ，也即方程 f ( x) 0 在 (a , b) 内必有一实根。9设 0f x ( a0 xn ) a xn 11解 答 ： 令x xx anxn 1 2f ( x)2a所属章节：第四章第一节难度：二级8证明方程 x3 3x c 0 在开区间 (0,1) 内

7、不含有两个相异的实根。解答： 反证法。 假设方程 x3 3x c 0 在开区间 (0,1) 内含有两个相异的实根， 记为 x1 , x2 ，其中 x1 x2 ，且 x13 3x1 c 0, x23 3x2 c 0 ，则在区间 x1 , x2 上对函数 f (x) x3 3x c 应用罗尔定理， 存在 ( x1 , x2 ) (0,1)， 使 f ) 3 23 0 ，即有 1 ，与 ( x1 , x2 ) (0,1) 矛盾。所以方程不含有两个相异的实根。所属章节：第四章第一节难度：二级x3 3x c 0 在开区间 (0,1) 内a a1n 1 nan 12an 0 ，证明方程 a0 xna1xn

8、 1an 1x an 0 在 0与 1 之间至少有一实根。a0 n 1 a1 nn 1 nan x an，1 由题设条件知函数 f (x) 在区间尔 定 理 条 件， 所 以 至 少 存 在 实 数 (0,1) 使 f ( ) 0 ，a0 xn a 1xn 1 an x1 an 0在 0 与 1 之间的实根，得证。所属章节：第四章第一节难度：二级10不求出函数 f ( x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程， 则0,1 上满足罗即 为 方 程f ( x) 0有几个实根，并指出它们所在的区间。解答： 因为 f (1) f (2) f (3) f (4) 0， 所以由罗尔定

9、理知方程 f ( x) 0 至少有三个实根，分别在区间 1,2 、(2,3)、(3,4) 内，同时由于函数 f (x) 为四次多项式，则函数 f ( x) 为三次多项式，故方程 f ( x) 0 最多有这三个实根。所属章节：第四章第一节难度：二级2e0f ( x) f (x)f ( x)x2a ba b a b2 2a b a b2 21 xf (a) f (b) 0, f (a) f ( )f (x)e11设 f ( x) 在 a, b 上连续，在 (a , b) 内可导，且 f (a) f (b) 0, f ( a) f ( ) 0，试证：至少存在一点 (a , b) ，使 f ( ) f

10、 ( ) 。【 题 设 条 件 f ( a f) b ( f) a f0 a , b ( ) 有 ( 误 ， ) 是 0 否 应 为a b 0 ？以下解答按此条件进行】2解答：对函数 f ( x)在区间 a, 及 , b 上分别利用闭区间上连续函数的零点存 在定理 ，有 1 (a , ), 2 ( , b) 使 f ( 1) f ( 2 ) 0 ，再对 函数F( x) f ( x)e x应用罗尔定理，则至少存在一点 ( 1 , 2 ) ( a, b) ，使 F ( ) 0，即 f ( ) f ( ) 。所属章节：第四章第一节难度：三级12设 f ( x) 在 , 内满足 f ( x) f (

11、x)， 且 f (0) 1 ，证明 f ( x) ex 。（提示：令 ( x) ex ）解答：令 ( x) f (x) ，则函数 (x)在区间 , 内可导，由于 f (x) f (x)，e有 (x) x 0，(0) f (0) f (0) 1 ，故 C所属章节：第四章第一节难度：二级故 (x) C1 ，即 (x)（ 其中 C 为 常数 ）。 又由 f (0) 1 得ex 1，因此 f ( x) ex 。13利用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（ 1）若 0 a b ，当 n 1 时， nan 1 (b a) bn an nbn 1(b a)；（2）若 x 0, x ln(1 x) x；（3）

12、sin x sin y x y ；（4） arctana arctanb a b .解答： （1）对函数 f (x) xn， 当 n 1 时， 由于它在 a , b 上连续， 在 (a , b) 内可导， f ( )1g( a) g(b) g (a) g ( )f (a) f (b) f (a) f ( )应用拉格朗日中值定理，存在由 于 a b ， 故nan 1 (b a) bn an nbn 1(b(a , b) ，使 bnn n 1a( b )a)；an f ( )(b a) n n 1 (b a)，a ( n ) bn 1 a， ( 即n b an1（2）对函数 f ( x) ln(1

13、 x)， 当 x 0 时， 由于它在 0, x 上连续， 在(0, x) 内可导，应 用 拉 格f ( x) f ( 0有 x ln(1 1 x（3）对函数应 用 拉x)f (x)格朗 日 中) lx nx；sin x ，当 y朗 日 中值 定 理 ， 存 在 (0,x) ， 使1 1 x 1( 1 f ，) 由x于l 0nx 1 x， x ( x ，故x 时，由于它在 y , x 上连续，在 ( y , x) 内可导，值 定 理 ， 存 在 ( y , x) ， 使s xi n y s i f n x ) ( x；) 当yx c y o时x类s似可y证(， 当 x) y时，结论显然。证毕。（

14、4 ）对函数 f ( x) arctanx 在区间 a , b 或 b ,a 上应用拉格朗日中值定理，arctana arctanb f ( )(a b) a b2 a b ，当 a b 时，结论显然。证毕。所属章节：第四章第一节难度：二级14设 f ( x), g ( x) 在 a, b 上连续， f ( x), g ( x) 在 ( a , b) 内存在，证明：(b a) ，其中 在 a和 b之间。解答： 对函数 F( x) f (a) g( x) f (x) g(a)， 由于它在区间 a , b 上连续， 在 ( a , b) 内可导，应用拉格朗日中值定理，存在 (a, b) ，使 F

15、(b) F (a) F ( )(b a) ，即f (a) f ( b) g( a) g( f( a) (b a)，证毕。g( )所属章节：第四章第一节难度：二级0, f ( 2 ) 0 。15设 f ( x) 在 (a , b)内连续可导，且 f ( x) 与 f ( x) 存在，证明：在 ( a , b) 内x b x a至少存在一点 ，使 lim f ( x) lim f ( x) f ( )(b a) 。解答： 令 F( x) f ( x) xf (x) a xx blim f ( x) xab ，则它在区间 a , b 上连续， 在( a, b) 内可导，b应用拉格朗日中值定理，存在

16、(a , b) ，使 F (b) F (a) F ( )(b a) ，即x b x alim f ( x) lim f ( x) f ( )(b a) 。所属章节：第四章第一节难度：二级16设函数 f (x) 在( a, b) 内二阶可导， 且 f (x) 0 ，证明：对 (a , b) 内固定的 x0及 该区间内异于 x0 的任一点 x，必存在唯一的点 ，使得 f ( x) f (x0 ) f ( )(x x0 )， 其中 在 x和 x0 之间。解答： 对函数 f (x) 在 x0 , x 或 x, x0上应用拉格朗日中值定理， 必存在 在 x和 x0之间，使得 f (x) f ( x0 )

17、 f ( )( x x0 ) ，其中 在 x和 x0 之间；如果这样的点 不唯一， 即至少有两点， 再用罗尔定理可知存在 f ( x) 0 的根，与条件矛盾。证毕。所属章节：第四章第一节难度：二级17若 f (x) 在 a, b 上连续，在 (a , b) 内可导，且 f (a) f (b) 0及存在 c，使 f ( c) 0(a c b)，证明：在 (a , b) 内必存在 ，使 f ( ) 0 。解答：由题设条件知函数 f (x)在 a, c , c, b上均满足拉格朗日中值定理条件，于是存在 1 (a ,c), 2 (c, b) ，使 f ( 1)再在 区 间 1 , 2 上 应 用拉

18、格 朗f ( )f ( 2 ) f ( 1)2 10 ，证毕。所属章节：第四章第一节f (c) f (a) f (b) f (c)c a b c日 中 值定 理， 有 ( 1 , 2 ) (a, b) ， 使2 x1难度：三级 18证明：若函数 f ( x)在 (a , b) 内可导，但无界，则其导函数 无界，反之不然。并举出例子。解答：反证。设函数 f ( x)在 (a , b) 内可导，但无界，而导函数 界，则存在 M 0 ，当 x (a, b) 时，有 f (x) M 。取 x0 ( a, b)， 则对任意 x (a , b)，f ( x) 在该区间内也f ( x) 在该区间内有f (

19、x) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) f ( x0 ) M b a f ( x0 )上式说明函数 f ( x) 在 (a , b) 内有界，矛盾，即导函数 f ( x)在 (a , b) 内也无界。反之不然。举例如下：对函数 f ( x) x ，导函数f ( x) x 在 (a , b) 内可导，有界。所属章节：第四章第一节难度：三级19设 f ( x) 在 0,a 上连续，在 (0,a ) 内可导，且f ( x) 在 (0,1) 内无界，但f (a) 0 ，证明至少存在一点(0, a) ，使 f ( ) f ( ) 0 。【 f ( ) f (

20、) 0 是否应为 f ( ) f ( ) 0 ？以下按此证明】解答：作辅助函数 F ( x) xf ( x)，则它在 0,a 上连续，在 (0,a )内可导，且F (0) 0 F ( a) ，应用罗尔定理，至少存在一点 (0, a) ，使 F ( ) 0，即f ( ) f ( ) 0。所属章节：第四章第一节难度：二级20 设 当 x x0 时， ( x ) 0， 且 f ( x) (x 证 明： 当 x x0 时 ，f (x) f ( x0 ) (x) ( x0 ) 。解答：当 x x0 时结论显然成立。当x x0 时，对函数 f ( x)， ( x) 在区间 x0 , x 上应用柯西中值定理

21、，必存在f( 1 ) (0) ( 2 ) xn n 1n!n 1) 2 ，(x) ( x0 ) ( )( x) (x0 ) ( )xm am在 x 和 x0 之间，使 f ( x) f ( x0 ) f ( )，又由条件 f (x) ( x)， 可得 f (x) f ( x0 ) f ( ) 1， 再由条件 ( x) 0，有 ( x) ( x0 ) 0 ，即得 f (x) f ( x0 ) (x) ( x0 ) 。所属章节：第四章第一节难度：三级21 设 函 数 f (x) 在 x 0 的 邻 域 内 具 有 n 阶 导 数 ， 且f (0) f (0) (n解答：对函数 f ( x)，1 在

22、0 和 x 之间，使(x) 0,1) (0)( x)f ( x) ( x)1 或0 。试用柯西定理证明：f ( x)xn(0 1) 。f (n) ( x)n!xn在区间 0,x 或 x,0 上应用柯西中值定理，必存在f (0) f ( 1) ，即(0) ( 1)f (x) f ( 1 )xn n 1n 1 ，再对函数 f ( x)，1,0 上应用柯西中值定理，必存在 2在 0 和 1 之间，使 f ( 1 ) f (0) f ( 2 )， 即 f (x) f ( )1 f(行 n次，由于( xn )( n) n! ，就有(n 1)f (x) f ( nxn n!和 x 之 间之1n0 和间 ，

23、 自 然 在 0f (f ( x) (n)xn n!x)(0 1) 。所属章节：第四章第一节难度：三级求下列极限（ 22 49 题）n) 1 n 1 )1f10)0( n 1) (0)0， 于 是 可(f ) 2 如此进f (n) ( n) ，其中 n在以 写 成 如 下 形 式x a xn an ；22 limxm ammxm 1alm0 sin xex e x1 1tan x x sec2 x 1tan x xtan2 xln sin x22ex e x解答： lma xn an nxn 1m m nn所属章节：第四章第二节难度：一级23 m0 sin x ；解答： ex e xm0 co

24、s x 2所属章节：第四章第二节难度：一级x 24 m0解答： lm0arctanxx3 ；x arctan x x31m011 x2 3x2m0 3(1 x2 ) 3所属章节：第四章第二节难度：一级25 m0 x sin x；解答： lm0 x sin x m0 1 cos x所属章节：第四章第二节难度：一级lm0 1 cos x 2x ( 2x)26 lim lnsin x2 ；x 2 ( 2x)解答： lim 2limxcot x4( 2x)limxcsc2 x818所属章节：第四章第二节难度：一级ex 1 x3 sinlm0 secx cos xln(1 x x2 ) ln(1 x2x

25、x 0 x22 lim(1 1 x e)(1 x)x e 1 1x)x 1 11x12 x2xex 1 x3 sin 27 m0 x 3x 0 x解答： lim 3所属章节：第四章第二节难度：一级x 0 3lim( ex 3x2 sin ) 128 m0 secx cos x解答： ln(1 x x2 ) ln(1ln(1 x x2 ) ln(11 2x 1 2x2 m0 1 x x2 1 x x2所属章节：第四章第二节难度：二级x2 )；x x2)x x2 )cos xln(1 xm0 1x2 ) ln(1 x x2 ) cos2 x1x29 m0 x ； 【此题有误，应为1解答： lm0

26、x lm0(1 x(1 x)1m0(1 x) x m0 x(1 x) x2 ln(1x 0 2x 3x 2e lim ln(1 x2) e所属章节：第四章第二节难度：二级1m0 (1 xx e ，以下按此计算】2 ln(1 x)xx)30 xxeeex ；e解答： xlimexexe xe x 1ee1ln tan 7xln tan 7x1x2 ln xex2ex 1所属章节：第四章第二节难度：一级31 m0 ln tan 2x ；x 0 ln tan 2x x 0解答： lim lim所属章节：第四章第二节难度：一级cot7x sec2 7x 7cot2x sec2 2x 232 x ln

27、x ；解答：因为 所以 x2 ln x x ln x所属章节：第四章第二节难度：一级2x x ln x 11xlim2x1x120 ，且函数非负，。也可直接用洛比达法则计算极限。133 m0 x2ex2 ；1解答： lm0 x2ex21lm0 1x2m0e1x2所属章节：第四章第二节难度：一级134 x(ex 1)；1解答： x(ex 1)1 1 1x所属章节：第四章第二节难度：一级lim(x 1 1 x ln x111lm1xln xxx sin xsin xcos xxxxxx035 lim xne x ln 2 x(n 0)；解答： m0 xne x ln 2 x m0 xn ln 2

28、x m0所属章节：第四章第二节难度：二级ln 2 x x nm02ln x nx nm02n2xn 0 x 136 lim ln x ln(1 x)；x 1 x 1 1解答： lim ln xln(1 x) lim ln(1 x)ln x所属章节：第四章第二节难度：二级1lim11 x 1xln 2 xx 1 1 xlim x ln 2 xx 1 1lim ln 2 x 2ln x 037 m0( x0解答： lim(ex 1)；x ex 1 x 0 x(ex 1)1 1 ) lim ex 1 x0lim ex1 x x2x 0 2x 2lim ex 1 1所属章节：第四章第二节难度：二级x3

29、8 lm1( 1 x ln x)； 【此题有误，应为解答： lm1( 1 x1) ln xx ln x 1 xlm1 (1 x)ln x12lm1ln x 1 ln x 2所属章节：第四章第二节难度：二级x1ln xln x (1) ，以下按此计算】x) 1 lm1 x ln x 1 x39 m0 ex e x 2x ；解答： lm0 ex m0 e 所属章节：第四章第二节难度：一级lm0 ex e xlm0 ex e x121(sin x xcos x)(sin x x cos x)24x cot 2xlimcot x 2sec xxxx 0 x40 lim( 2解答： m0(cot 2 x

30、)；x12cot 2 x)m0m0sin 2 xx sin xsin x x cos x x3m02x2 cos2 x2m0 x3 xsin x xcos x 1 23 3所属章节：第四章第二节难度：二级41 ( ) x；解答：因为 x ln 所以 ( )x e2所属章节：第四章第二节难度：一级ln( x 1) ln( x 1)1xxlim1 1x 1 x 11x2 2x2x2 1 2142 m0(cos x)ln(1 x2 ) ；解答：因为 m0 m0tan x2x1 x21210所以 lim(cos x)ln(1 x2 ) e12所属章节：第四章第二节难度：二级x43 (tan x)tan

31、2 x；x解答：因为 (tan 2x ln tan x)4x所以 lim(tan x)tan 2x e 14所属章节：第四章第二节 难度：二级ln tan x1ex 4 2csc 2x 2 12 ln lim0 221 11xxxxx44 lim0( sin ) 2 ；解答：因为 lim01 sin lnsin lncos 1lim0 sin2lim0cos2sin3lim0sin616所以 lim0( sin ) 2 e 6所属章节：第四章第二节难度：二级x 045 lim xsinx；0解答：因为 lim sinx ln x0所以 lim xsinx e0所属章节：第四章第二节难度：二级0

32、lim1ln x cscxlimx01xcsc2 x0limsin2 x 0 x1x 046 lim xln(ex 1) ；x 0 ln( ex 1)解答：因为 lim lnx0 xlim10所以 lim xln(ex 1) e1 e所属章节：第四章第二节难度：二级1xexex 1m0 147 m0(cot x)sin x；1 ( csc2 x)x1 2x 1x 2x2 1x sinx, x 0,x 0 x 0 cscx解答：因为 lim sin x lncot x lim lncot x所以 m0(cot x)sin x e0 1所属章节：第四章第二节难度：二级lim cot xx 0 cs

33、cx cot x0 x xsin x48 lim ；x x cosx x 1 cosx x解答： lim x sin x lim 1 x所属章节：第四章第二节 难度：一级1 01 02 149 2x ；解答： x sin x所属章节：第四章第二节难度：二级sin 11 1x1 112 21(1 x) x50讨论函数 f ( x) e1e2 , x 0(1【此题有误，应为 f (x)1e 2 ,1x 0 x 0解答：因为 lim f ( x) lim e 21x在点 x 0 处的连续性。1x) xe, x 0,1x，以下按此计算】x01e 2 ，21f ( a h) f (a h) 2 f (a

34、)f (a h) f (a h)lim x f ( x) 1 。0以， 2 fxxx 0 x 0lim f ( x) lim所以该函数在点 x 所属章节：第四章第二节 难度：三级1(1 x)x ex1x0exp(lim0 处连续。ln(1 x) x2x ) exp( 1) e 251设 f ( x)在点 a 的邻域内二阶可导，求 m 解答：对所求极限先用洛比达法则，再用点 a 处的二阶导数定义，即得lm0 h2m0 2hf ( a)注意：由于二阶导数未必连续，不能用接连两次使用洛比达法则。所属章节：第四章第二节难度：三级52若 f (0) 0, f( 在点 x 0 的邻域内连续，且 f (0)

35、 0 ，试证：解答：因为对函数所以f ( x)f (x)， f (0) 0, f ( x) 在点 x 0 的邻域内连续，且 f (0) 0，f ( 0 ) f ( 0 x) x( ) f (x0 ) x0而 lim x ln xx 0 x 00, lim (x)ln x 0， 故 lim f ( x)ln x 0 ，所以m0 x f (x ) exp(lm0 f (x)ln x) exp(0) 1所属章节：第四章第二节难度：三级53将多项式 f ( x) x3 2x2 3x 4 按( x 2) 的乘幂展开。 解答：对函数 f ( x) x3 2x2 3x 4 ，由于f (x) 3x2 4x 3

36、, f ( x) 6x 4, f ( x) 6, f (4) ( x) f (5) ( x) 0所f (于是所求展开式为f ( x) 26 23(x 2) 8(x 2)2 (x 2)3 。( x2答13 5 714 8 1 64 64 51215(x 44)x1( 1)k k!( 1 (x 1)n 2x1所属章节：第四章第三节难度：一级54求函数解f故f (，所以所求 3f (x)12x 在点 x0： 对) x14阶泰勒公式为4 处带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式。函 数 f ( x) x ， 有, x ( ( 34 2 )， f 1, 2x 5 x (有( 47 f1 x 2x 2 1 (

37、x 4) 1 ( x 4) 2 1 ( x 4)3所属章节：第四章第三节难度：二级7 ,(0 1) 。4! 16 4 ( x 4) 255求函数 f ( x) 在点 x0 1处带有拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式。解答：对函数 f ( x) ，有 f (k )( x)xk 1 ，从而有f ( 1) 1, f ( 1) 1, f (4) 2, f ( n) ( 1) n!, f (n 1) ( 1于1x2是1 ( x 1) ( x 1)所( xn n求1) ( 1)1 1)n( x展n 11 (x 1)所属章节：第四章第三节难度：二级1处带有拉格朗日余项的56求函数 f (x) x2 ln x在点

38、 x0解答：对函数 f ( x) x2 ln x ，有(x 1) ( 1)n 1 (n 1)!式 为2 ,(0 1)n 阶泰勒公式。2! 3! n!x(1 ( x 1)f (1x1 x (1 x )f (x) 2x ln x x , f ( x) 2ln x 3, f ( x) 2 , f (k) ( x)f (1) 0, f (1) 1, f (1) 3, f (1) 2, f ( n) (1) ( 1)n 1 2( n 1) ( x 1) ( 1)n 2( n 2)! n 1所以所求展式为x2 ln x ( x 1) 3 ( x 1)2 2 ( x 1)3 ( 1)n 1 2 )!x 1n

39、) 1 ( 0所属章节：第四章第三节难度：二级( 1)k 3 (k 3)!k2(n 3)!(n 3)! ( x 1)n1 )57求函数 f (x) arctan x 带有拉格朗日余项的 n 阶麦克劳林公式。【此题中“ n 阶麦克劳林公式”是否为“ 2 阶麦克劳林公式”？，以下按此计算】 解答：对函数 f ( x) arctan x ，有f (x) 1 2 , f ( x) 2x2 2 , f ( x)1f (0) 0, f (0)所以 arctanx x3所属章节：第四章第三节 难度：一级3( x)2 1 31, f (0) 0, f ( x)3 x (0 1 ( x)22(3x2 1)(1

40、x2 )3 ，2(3( x) 2 1)(1 ( x)2 )31) 。58求函数 f (x) xex 带有皮亚诺余项的 n 阶麦克劳林公式。 解答：对函数 f ( x) xex ，有f (x) xex ex , f ( x)f (0) 0, f (0) 1, f (0)所以所求带有皮亚诺余项的xex 2ex , f ( x) xex 3ex , f (n) (x)2, f (0) 3, f ( n) (0) nn 阶麦克劳林公式为xex nex624 2 242 2 2 6 224 212913.1cos x e 2xxex x x2x32!xn (n 1)!o( xn ) 。所属章节：第四章第

41、三节难度：一级59验证当 0 x 1 ，依近似公式 ex 1 x 2x22x3 计算 e 近似值时，所产生的x误差小于 0.01，应用这个结果求具有三位有效数字的解答：对近似公式 ex 1 xx2 x3 ，舍去的余项为2 6R3 ( x) e x4， 故当 0 x 1 时， 有 R3 (x) e x4误差小于 0.01。e 1 1 1 ( 1 ) 2 1 ( 1)3 1.645 。所属章节：第四章第三节难度：一级e 的近似值。1e2 ( 1)4 0.01， 所产生的60求下列各数的值（精确到 0,001）：（ 1） 3 30； （2） ln1.2 .参考答案： （1） 30 3.107【此题参

42、考答案有误】 ； （2） ln1.2 0.1831解答： （1） 3 30 (27 3) 3 3（2） ln1.2 ln1 0.2 1所属章节：第四章第三节 难度：一级(1121)30.2313(11 1 1 1 2 13 9 2 3 3 92 ) 3.107 ；0.2 0.183 。61应用泰勒公式求下列极限：（ 1） m0（3） ex sin x x(1 x)x3 ；x x2 ln(1x2（2） m0 x4 ；2 16 2 24t ， 23t t 2 t 2122cos x e 2 1xx23!x2 解答： （1）利用 ex 1 xx3 (x2 ),sin x x( x3 ) ，有ex s

43、in x x(1 x) x3 ( x3 )x 0 x 3；2所以 lim ex sin x 3x(1 x) 1（2）利用 e 2 1 1 x2 1 x4 ( x4 ),cosx 1 1 x2 1 x4 (x4 ) ，有cosx e 2 1 x4 ( x4 )x2x 0 x 12所以 lim 4 ；（3）令 x 1 利用 ln(1 t) t 1 t 2 (t2 )， 有1 12 ln(1 t ) 1 (t 2 )x x t 0 t t 2所以 lim x x2 ln(1 1 ) lim 1 12 ln(1 t ) 1 。所属章节：第四章第三节难度：二级62设 f ( x) 在 (a , b) 内

44、二阶可导，且 f ( x) 0 。证明对于 (a , b) 内任意两点 x1、x2及 0 t 1 ，有 f解答：不妨设 x1中值定理，有f ( ) f ( 1x)(1 t )x1 tx2 (1 t) f ( x1 ) tf ( x2 ) 。x2 ，记 x0 (1 t) x1 tx2 ， 分别在 x1 , x0 , x0 , x2 上应用拉格朗日f (1 ) ( 1x ) , 1 x1( x, )f ( ) f ( ) f (2 ) ( 0 x ) , 2 x0( x, )上面第二式乘以 t减去第一式乘以 1 t ，注意到由于 f ( x) 0， f ( 1) f ( 2 )，可得022xf (

45、 x)t f( 2x ) t f( 0) x ( 1 t) f0( x ) ( 1 t f (x ) 2f ( )1 f ( t ) 2 1 0 x ) (x ) 0即 f (1 t) x1 tx2 (1 t) f (x1) tf (x2 ) 。所属章节：第四章第三节难度：三级63判定函数 f ( x) arctan x x 的单调性。 解答：对于函数 f (x) arctan x x ，由于f ( x)211 x1所以函数 f (x)在( ,所属章节：第四章第四节 难度：一级x21 x) 上是单调减的。64证明函数 f ( x) 2x x2 在区间 (0,1) 内严格单调增，而在区间 (1,

46、2) 严格单 调减。解答：对于函数 f (x) 2x x2 ，定义域 0,2 ，由于1 x2x x2所以当 x (0,1) 时， f ( x) 0 ；当 x (1,2) 时， f ( x) 0；于是函数 f ( x) 2x x2 在区间 (0,1) 内严格单调增，而在区间 (1,2) 严格单调减。所属章节：第四章第四节难度：一级65确定下列函数的单调区间：（ 1） y x3 3x2 9x 14； （2） y（3） y ln( x 1 x2 )； （4） y（5） y 2 ln x； （6） y（7） y xne x (n 0,x 0)； （8） y4x ( x3；9x102 6x1) ；1)(

47、x 3x 2sin x(0 x 2)；3 (2 x a)(a x)2 (a 0) .2213 3 3 32 2 24 (x ) 1；解 答： （ 1） 对 函 数 y x3y 3x2 6x 9 3(x 1)x(y 0 ；所以单调增区间：3x 9x 14， 由 于 其定 义 域 为 x R， 导 函 数，3易)知当 x 1 或 x 3 时， y 0； 当 1 x 3 时，, 1 , 3, ，单调减区间： 1,3 ；（ 2 ） 对 函 数 y104x 9x3 2y( 4x3 2 x6 2，) 26 0 (x2 x1 ) ( 易1知)当 1， 由 于 其 定 义 域 为 x 0 ， 导 函 数6xx

48、 1时， y 0；当 x 0 或 0 x 1 或 x 1 时，y 0 ；所以单调增区间：,1 ，单调减区间： 21,0 , 0, , 1,2（ 3 ） 对 函 数 y ln(x 1 x2 ) ， 由 于 其 定 义 域 为 x R ， 导 函 数y x2 1 0，所以单调增区间： ；（ 4 ） 对 函 数 y ( x 1)(x 1)3 ， 由 于 其 定 义 域 为 x R， 导 函 数y 1 2，1 )易知当 x 1 时， y 0 ；当 x 1 时， y 0 ；所以单调减区间：y 4x1, ，单调增区间：1,22x x（ 5 ） 对 函 数 y 2x2 ln x ，1 ( 1 ( 2 ， 易

49、1知)当 x所以单调减区间： 0, ，单调增区间：2；21由 于 其 定 义 域 为 x时， y 0 ；当 0 x1, ；2210 ， 导 函 数时， y 0；（6）对函数 y x 2sin x(0 x 2)，由于其定义域为 0数 y 1 2cos x ，易知当 x 5 时， y 0 ；当 0 x 或 50,3y 0 ；所以单调减区间： ,（ 7） 对 函数 y x en x (ny xn 1e x (x n )，易知当 0 x增区间： 0,n ，单调减区间： n,5,2 ，单调增区间： 3 5, 3 30,x 0)， 由 于其 定义 域为 xn 时， y 0 ；当 x n 时， y ；x 2

50、 ，导函x 2 时，；0， 导 函数0 ；所以单调3(2x a)( x a)， 3x a 233x 时，x 2 1 x2 ，（8）对函数 y 3 (2x a)(a2y 2y 3 易知当 x所以单调增区间： , 2a , a ,所属章节：第四章第四节难度：一级x) 2 ( a 0) ，由于其定义域为 x R ，导函数a 或 x a 时， y 0；当 2 a x a 时， y 0；，单调减区间： 2a , a 。66证明下列不等式：（ 1）当 x（2）当 x（3）当 x（4）当 0（5）当 x0 时， ex 1 x；1 时， 2 x 30 时， x ln(1；x)；x1 sin x tan x 2

51、x；20 时， 1 xarctan x 1 x .解答： （1）令 f ( x) ex 1 x ，则 f (x) ex 1，当x 0 时 f ( x) 0 ，函数 f (x) 严格单调增，所以当 x 0 时， f (x) f (0) 0，当x 0 时 f ( x) 0 ，函数 f (x) 严格单调减，故当 x 0 时， f ( x) f (0) 0，仅当 x 0 时 f ( x) 0，于是当 x 0 时， f (x) 0 ，即 ex 1 x；3（2）令 f ( x) 2 x 3 ，则 f (x) 1x 2当x 1 时 f ( x) 0，故函数 f (x) 严格单调增，而当 x 1 时 f (

52、x) 0，cos x1 x 1 x ，13 x ；2arctan x 1 x 。1 x1x所以当 x 1 时， f (x) f (1) 0 ，即 2 x 1（3）令 f ( x) x ln(1 x) ，则 f (x) 1 1 x当x 0 时 f ( x) 0 ，函数 f (x) 严格单调增，所以当 x 0 时， f (x) f (0) 0 ，即 x ln(1 x)；（4）令 f ( x) sin x tanx 2x， 0 x ，则 2f (x) cos x sec2 x 2 cos x 2 0，所以当 0 x 时，函数 f ( x) 严格单调增，故 f (x) f (0) 0 ，即 sin x

53、 tan x 2x；（5）令 f ( x) (1 x)2 arctanx， x 0 ，则f (x) 2(1 x) 2 0，于是函数 f (x) 严格单调增，所以当 x 0 时， f ( x) f (0) 0 ，即 1 x所属章节：第四章第四节难度：二级xln x 1 x ,67设函数 f (x) 0,1,x 0, x 1,x 0, 试证： f (x) 在定义域内连续，在 (0,1) 内x 1,单调减， f (1)解答： 对函数 f (x)且0lim f (x)lxi 1mf x(1。2，定义域 0, )，由于0 xlim) x l11 xx ln x1 xi mxl nx0 xlim x ln

54、 xx 1 l ixml f ( x) 在定义域内 x 0,x 1处显然连续，0 f (0)，f 1， ( 1 )所以 f ( x) 在定义域内处处连续。( x)0f (x)3x 9x4 5x21 3x(1 x)ln(1 x) 1f (x)x又当 0 x 1时，由于 f (x)ln x 1 x (1 x)20 （可先利用函数单调性证明当0 x 1 时， g(x) ln x 1 x 0），所以函数 f ( x) 在 (0,1) 内单调减。x 0 x x 0 x 2 。f (1) lim f (1 x) f (1) lim x 1所属章节：第四章第四节难度：二级68设函数 f ( x) 在 0,

55、上连续，且有 f (0)(0, )上函数 ( x) 是单调增的。【注意：题中区间 0, 应为0, ) 】0及 f ( x) 单调增，证明：在解答：当 x (0, )时，对函数 f ( x) 在 0,x 上应用拉格朗日中值定理，有f ( x) f (0) f ( ) x ，其中 0f (x) x f ( x) f (x)xx2x ，由于 f ( x) 单调增，又有 f ( x) f (0) f (x)x f ( ) xx2 x2f ( x) f ( ) ，故f (x) f ( )x所以在 (0, )上函数 (x)所属章节：第四章第四节 难度：三级是单调增的。x69求下列函数的极值：（ 1）（3）

56、（5）yyyxx3 3x2 9xln 2 x；3 (x2 a2 )2 (a14；0)；数 y x3， 点)为(x（ 1 ） 对 函6x 9 (解 答 ：y x当 1 x 3 时， y 0 ，所以极大值 y( 1)（ 2 ） 对 函 数 y x2 (a（2） y x2 (a x)2 (a 0)；（4） y ；（6） y ex sin x .2 14 ， 处 处 可 导 且, x) 3， 当 x 1 或 x 3 时， y 0；17 ，极小值 y(3) 47；x)2 (a 0) ， 处 处 可 导 且a2ln 2 xx12143474 2 425 5 5 1012 12 12 1y 2x(a x)2

57、 2x2 (a x) 2x(a x)(a 2x) ，a20 xy( )2 216a 或 x a 时， y 0； 当 x 0 或 aa4 ，极小值 y(0) 0, y( a) 0；驻 点 为 x 0 , xx a 时， y 0，a , x ， 当所 以极 大值（ 3）对函数 yx 1, x e2 ，当 1 x e2 时，当 x 0 时有意义且y 0 ；当 x 1或 xy ，驻点为ln x ( 2 lnx )x2e2 时， y 0 ，所以极大值ey(e2 ) ，极小值 y(1) 0；（4）对函数 y1 3x 4 5x2，处处可导且 y 5(x )53 ，驻点为 x (4 5x2 ) 212，当5x

58、 时， y 0 ；当 x 时， y 0 ，所以极大值 y( ) 205；（ 5）对函数 y 3 (x2 a2 ) 2 ( a 0) ，处处有定义，除 x a 外可导且y4 x 3( x2 a2 ) 3，驻点为 x 0，不可导点 x a，当或 a x 0 或 x a 时， y 0；当 xx 2ky 0a或 0 x a 时，（ 6 ） 对 函 数 y43, x 2k74； 当 2ky 0 ，所以极大值 y(0)ex si nx ，当 2kx 2k处 处 可 导 且x742k时34，4a 3 ，极小值 y( a) 0；y ( s i nx c oxs，)驻 点 为或2k x 2k 2 时，y 0 ，

59、 所 以 极 大 值y(3 2k) 2 e 2k ，极小值 y(7 2k)所属章节：第四章第四节难度： （1）（2）一级， （3） - （6）二级70利用二阶导数求下列函数的极值：（ 1） y arctan x 1 ln(1 x2 )； （2）22e722k。y2 ；101 sin x100 ，x k 2224 21(1 x ) 2e21，11 x2 .ye23（3） y xe x； （4） y cos x 1 cos 2x；（5） y 2x解答： （1）对函数 y arctanx 1 ln(1 x2 ) ，它处处可导，且1 x 1 x1 x2 1 x2 1 x2 ，驻点 x 1 ，此时，y

60、x 1 x2 2所以 x 1为极大值点，极大值 y(1) 1 ln 2；（2）对函数yy 1 sin 2 x ，它处处可导，且10sin 2x(1 sin 2 x) 2 ，驻点 x k , x ky 20，此时，由于2cos2x cos2x sin2 x sin2 2x(1 sin 2 x)2 ，所 以 y x k 20 0， y 5 于 是 x k 为 极 大 值 点， 极 大 值2y(k) 1 0， x k 2 为极小值点，极小值 y(k ) 5；（3）对函数 y xe x，它处处可导，且y e x(1 x)，驻点 x 1 ，此时，y x 1 e x (x 2) x 1 1 0所以 x 1