概率论第六章习题

1、概率论第六章习题第六章 大数定理和中心极限定理一、大纲要求(1)了解契比雪夫不等式；(2)了解辛钦大数定律,伯努利大数定律成立的条件及结论；(3)了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的条件和结论,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.二、重点知识结构图 契比雪夫不等式柯西-施瓦茨不等式伯努利大数定律 辛钦大数定律 林德伯格-列维定理(独立同分布中心极限定理) 棣莫佛-拉普拉斯定理三、基本知识1. 马尔科夫不等式若为只取非负值的随机变量,则对任意常数,有.2. 契比雪夫不等式若存在,则.3. 辛钦大数定律定理 1 设是独立同分布的随机变量序

2、列，且具有有限的数学期望，则对任意的,有4. 伯努利大数定律定理2 设，其中n=1,2, ，0p0，有5独立同分布的中心极限定理定理3 (林德伯格-列维定理) 设为独立同分布的随机变量,则对任意实数有式中,是标准正态分布的分布函数,即6. 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设独立同分布,的分布是则对任意实数,有四、典型例题例1 设随机变量和的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式.解 因为 根据契比雪夫不等式所以 例2 某保险公司经多年资料统计表明,在索赔户中被盗户占20%,在随意抽查的100家索赔户中以被盗的索赔户数为随

3、机变量,利用中心极限定理,求被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值.分析本题的随机变量服从参数的二项分布.如果要精确计算,就要用伯努利二项公式:.如果求近似值,可用契比雪夫不等式估计.解 由于,所以因此被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值为0.927.例3 某车间有200台机床,它们彼此工作独立,开工率都为0.6，工作时耗电都为1kW,问供电所至少给这个车间多少度电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.解 用表示工作的机床台数,则.设要向车间供电kW,则有由棣莫佛-拉普拉斯定理得即 因此 例4 用契比雪夫不等式确定当掷一均匀硬币时,需掷多少次,才能保证

4、使得出现正面的频率在0.40.6之间的概率不小于90%,并用正态逼近计算同一个问题.解 设需掷次，用表示出现正面的次数，则，有契比雪夫不等式得所以.由棣莫佛-拉普拉斯定理得即,查表得,故.例5 假设是独立同分布的随机变量,且,证明当充分大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数.证 由是独立同分布的随机变量序列可知,独立同分布,且有, , 由林德伯格-列维定理可知,对任意有即近似服从正态分布.例6 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度超过3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？解 设 则,记,则.由棣莫佛-拉普拉斯定理得例7 假设男婴的出生率为

5、,某地区有7000多名产妇,试估计她们的生育情况.分析重伯努利实验中出现的频率依概率收敛于它的概率，当很大时，有.解 设 显然,独立同分布且均服从分布,表示7000名产妇中生男婴的人数,有伯努利大数定理得由于已是足够大,因此即该地区估计有3581名男婴出生.例8 某电视机厂每月生产10000台电视机,但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管,该车间每月应生产多少只显像管?解 设显像管正品数为,月总产量为,则有,从而, 为了使电视机都装上正品的显像管,则每月至少生产10000只正品显像管,即所求为由棣莫佛-拉普拉斯定理得即由题意可知, ,且较大,

6、即,所以查表得,故因此,每月至少要生产只显像管才能以0.997的概率保证出厂的10000台电视机都能装上正品的显像管.例9 一养鸡场购进1万个良种鸡蛋,已知每个鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡发育成种鸡的概率为0.90，试计算这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率.解 设, ,令 则诸独立同分布,且显然,表示10000个鸡蛋育成的种鸡数,则,而根据棣莫佛-拉普拉斯定理可得于是,所求概率为因此,由这批鸡蛋得到的种鸡不少于7500只的概率为92%.五、课本习题全解6-1 设,再对利用契比雪夫不等式:故服从大数定理.6-2 设出现7的次数为,则有由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-3 由中心极限定

7、理可知,近似服从标准正态分布,所以6-4 设报各人数为,则.由棣莫佛-拉普拉斯定理可得6-5 设,则总保险费为(万元)(1) 当死亡人数在达到人时,保险公司无收入.所以保险公司赚钱概率为因而亏本的概率为.(2)若利润不少于40000，即死亡人数少于80人时,若利润不少于60000，即死亡人数少于60人时,若利润不少于80000，即死亡人数少于40人时,6-6 设总机需备条外线才能有95%的把握保证每个分机外线不必等候,设随机变量,则由中心极限定理可得6-7 密度函数为 故数学期望为 (1)设为第个数的误差,则(2) (3) 6-8 (1)设为第个螺钉的重量,则(2)设,则6-9 设随机变量,按

8、时进入掩体的人数为,则,所以有设有k人按时进入掩体，则所以至少有884人,至多有916.六、自测题及答案1.设随机变量服从,则对区间,恒有2.一大批产品中优质品占一半,现每次抽取一个,看后放回再抽,问在100次抽取中取到优质品次数不超过45的概率等于3.相互独立, ,则对任意给定的,有( ).4.设为独立随机变量序列,且服从参数为的泊松分布,则有( ).5.设为独立随机变量序列,且服从服从参数为的指数分布,则( ).6.设随机变量相互独立, ,根据林德伯格-列维定理,当充分大时,近似服从正态分布,只要( )7.某校有1000名学生,每人以80%的概率去图书馆自习,问图书馆至少应设多少个座位,才

9、能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位坐?8.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望(未知),方差.为了估计,随机地取只这种器件,在时刻投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为,以作为的估计,为了使,问至少为多少?9.利用中心极限定理证明答案1. 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得2. 令表示100次抽取中取得优质品的次数则 那么 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得3.由题意可得 又因为 故(D)项正确.4.因为服从参数为的泊松分布,故,由林德伯格-列维定理得当充分大时,近似服从分布,故C项正确.5.由题意可知 由林德伯格-列维定理可得即 6.由于林德伯格-列维定理要求独立同分布,且具有有限的数学期望与方差.因此C项正确.7.设表示同时去图书馆上自习的人数,并设图书馆至少有个座位,才能以99%