第51节矩阵的特征值与特征向量(修改)

1、第5.1节 矩阵(j zhn)的特征值 与特征向量线性代数(xin xn di sh)1共二十九页主要(zhyo)内容:一、特征值与特征向量的定义(dngy)二、特征值与特征向量的求法三、特征值的性质四、特征向量的性质五、小结2共二十九页一、 特征值与特征向量的定义(dngy)定义(dngy)1:注：设 是 阶方阵，若数 和 维非零列向量 ，使得成立，则称 是方阵 的一个特征值，为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。是方阵 (2) 特征向量 是非零列向量3共二十九页二、 特征值与特征向量的求法或已知所以齐次线性方程组有非零解或定义2：数是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。4共二十九

2、页5共二十九页求A的特征值与特征向量的步骤(bzhu):6共二十九页解：第一步：写出矩阵(j zhn)A的特征方程，求出特征值.例1： 求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。7共二十九页齐次线性方程组为当 时，系数矩阵自由未知量:令 得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量。8共二十九页齐次线性方程组为当 时，常数)是对应于的全部特征向量。得基础(jch)解系9共二十九页例2：设求A的特征值与特征向量解10共二十九页11共二十九页得基础(jch)解系为：12共二十九页 设 阶方阵 的 个特征值为 则称为矩阵A的迹。（主对角(du jio)元素之和

3、）定理(dngl)1：三、特征值的性质注意：13共二十九页另一方面,由多项式相等(xingdng),系数相等(xingdng),即(1)得证.一方面,14共二十九页证明(zhngmng):因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式唯一(wi y)决定.命题1：而15共二十九页若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)命题(mng t)2：若 可逆，则 的特征值是的特征值是且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。16共二十九页 练习题1: 已知三阶矩阵(j zhn)A的三个特征值为1，2，3,则A的行列式等于_, A-1的三个特征值为_,A2+2 A+3

4、E 的三个特征值_，| +2 A+3E |=_.17共二十九页例3：18共二十九页.属于(shy)不同特征值的特征向量是线性无关的四、特征向量的性质(xngzh)19共二十九页. 属于(shy)同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3. 20共二十九页例如(lr)：(1):21共二十九页(2):22共二十九页结论(jiln)：(1)(2)(3)23共二十九页4.矩阵的特征向量总是(zn sh)相对于矩阵的特征值而言的，对应一个特征值的特征向量不唯一；但一个特征向量不能属于不同的特征值故一个(y )特征向量不能属于不同的特征值24共二十九页5.6.例1：例2：25共二十九

5、页五、小结(xioji)(2) 求矩阵(j zhn)特征值与特征向量的步骤： (1) 矩阵特征值与特征向量的概念 (3) 特征值的性质：(4) 特征向量的性质26共二十九页课后练习题 : 2. 设设 为矩阵 的特征值，求 的特征值；若 可逆，求 的特征值。求的特征值与特征向量.1.27共二十九页3. 判断下列命题是否(sh fu)正确(P143) (1) 如果(rgu)向量构成的集合是方阵的特征值，则对应的特征(2) 方阵(错)的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;(对)(3) 由于方阵和有一样的特征值, 故他们也有一样的 特征向量.(错)(4) 如果阶方阵的个特征值全为0, 则一定是零矩阵.(错)28共二十九页内容摘要第5.1节 矩阵的特征值 与特征向量(xingling)。第5.1节 矩阵的特征值 与特征向量(xingling)。设 是 阶方阵，。若数 和 维非零列向量(xingling) ，使得。是方阵 的一个特征值，。(2) 特征向量(xingling) 是非零列向量(xingling)。二、 特征值与特征向量(xingling)的求法。求A的特征值与特征向量(xingling)的步骤:。当 时，。令 得基础解系:。由多项式相等,系数相等,即(1)得证.