《自动控制理论教学课件》第五章-控制系统的频域分析

1、 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 频率特性及其与时域响应的关系5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性5-2 典型环节的频率特性5-3 系统开环频率特性的极坐标图5-4 系统开环对数频率特性的绘制5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差及瞬态 响应的关系*5-7 系统的闭环频率特性5-8 根据闭环频率特性分析系统的时域响应5-1 频率特性及其与时域响应的关系一、频率特性的基本概念 频率响应：在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态 分量。 频率特性：系统频率响应与正弦输入信号之间的关系。 频域分析法：应用频率特性研究线性系统的经典方法。其 特点是根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能。如

2、图，设初始当输出阻抗足够大时有：消去对上式进行拉氏变换得：拉氏反变换得：暂态分量稳态分量响应的稳态分量为：式中： 可见， 分别为 的幅值 和相角 。设线性定常系统的传递函数为：为方便起见设系统无重极点，则：设：则：式中： 通常，把 称为系统的频率特性。它反映了在正弦输入信号作用下，系统稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比 称为幅频特性，它反映了系统对不同频率的正弦输入信号的衰减(放大)特性。系统稳态输出信号对正弦输入信号的相移 称为系统的相频特性，它表示系统输出对于不同频率正弦输入信号的相移特性。已知某闭环系统的传递函数为：时，试用频率特性的概念当输入为求其

3、稳态输出。解：根据频率特性的概念，系统的稳态输出为：二、频率特性与时域响应的关系 频率特性，传递函数，微分方程三种系统描述之间关系系 统频率特性传递函数微分方程 频率特性为什么能反映系统动态特性？ 物理上：正弦输入与阶跃输入不同，由于是强迫振荡 所以能反映系统动态特性。 数学上： ， 中的时间常数等反映 了系统结构。三、频率特性的几何表示法 幅相频率特性曲线：又称极坐标图或幅相曲线 实数和虚数的形式 复指数形式 幅频特性为 的偶函数，相频特性为 的奇函数，因此， 从 和 的幅相曲线关于实轴对称，一般只绘制 的幅相曲线。小箭头指示 时幅相曲线的变化方向。对于RC 网络：有： 表明RC 网络的幅相

4、曲线是以 为圆心，半径为 的半圆，如右图所示。 对数频率特性曲线：又称伯德(Bode)图，由对数幅频曲线 和对数相频曲线组成。对数频率特性曲线的横坐标按 (对数)分度，单位是 ；对数幅频特性曲线的纵坐标 按 线性分度，单位是分贝 。对数相频特性曲线的纵坐标按 线性分度，单 位为度 。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。仍以RC电路为例：当 时：当 时：在 处： 综上，RC网络的对数幅频特性可近似地用渐近线来表示。在 部分为一条 的水平线，在 部分为斜率等于 的直线。在渐近线的交接处的频率为 ，此处渐近线的幅值误差为 (最大)。用描点法绘制出 曲线如图，图中令：对数分度：当变量增大或减小10倍，称

5、为10倍频程 ， 坐标间距离变化一个单位长度。交接频率：又称为转折频率，是指两条渐近线交接处对应 的频率。 对数幅相曲线：又称尼柯尔斯图或尼柯尔斯曲线。其特点 是纵坐标为 ，单位为分贝 ；横坐标为 ， 单位是度 ，均为线性分度，频率 为参变量。5-2 典型环节的频率特性一、比例环节 传递函数： 频率特性：幅相曲线对数幅频特性对数相频特性伯德图二、惯性环节 传递函数： 频率特性：幅相曲线对数幅频特性对数相频特性伯德图三、积分环节 传递函数： 频率特性：幅相曲线伯德图对数幅频特性对数相频特性四、微分环节 传递函数： 频率特性：幅相曲线伯德图对数幅频特性对数相频特性 理想微分环节 一阶比例微分环节

6、传递函数： 频率特性：幅相曲线伯德图对数幅频特性对数相频特性 二阶微分环节 传递函数： 频率特性：伯德图对数幅频特性对数相频特性幅相曲线五、振荡环节 传递函数： 频率特性： 乃氏图 与虚轴交点处的频率为 (无阻尼自然振荡角频率) 谐振频率 与谐振峰值 上式说明，当 时，幅频特性存在极大值，记极大处的频率为 ，称为谐振频率，相应的幅值称为谐振峰值，记为 ，则谐振峰值为： 伯德图 当 时， ； 当 时， ；交接(转折)频率为: 振荡环节对数幅频率特性不仅与交接频率有关还与阻 尼比 有关，渐近线的误差随 的不同而不同； 当 时，误差不大；当 时，误差增大。 振荡环节的修正曲线与 有关。六、纯滞后环节

7、 传递函数： 频率特性：对数幅频特性对数相频特性伯德图幅相曲线5-3 系统开环频率特性的极坐标图 上节介绍了典型环节的极坐标图(乃氏图、幅相曲线)，要绘制开环系统的极坐标图，只要计算出对应各 的幅值及相角即可逐点描绘出。式中：计算出 即可绘制极坐标图。例5-1：解：计算结果如下0.710.830.971.151.41.762.263.044.47.038.910109876543210.50 系统开环幅相曲线的绘制 根据系统开环率特性的表达式可以通过取点、计算和作 图，绘制系统开环幅相曲线。 概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要特征： 开环幅相曲线的起点 和终点 开环幅相曲线与负实轴的

8、交点设 时， 的虚部为零：即：或： 称 为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为： 开环幅相曲线的变化范围(象限、单调性) 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制开环幅相曲线的基础。一、 型系统的极坐标图 开环幅相曲线的起点在正实轴上； 终点在原点； 一般情况下，分子阶次为m，分母阶次为n的开还传递函数可表示为： 终点处的幅值 终点处的相角：一阶二阶三阶例5-2：已知 型系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。解：起点：终点：二、型系统的极坐标图 起点：虚轴无穷远处 终点：原点终点处相角：二阶三阶例5-3：已知型系统的开环传递函数为：试绘制系统的极坐标图。解：起点：终

9、点：下面，求与负实轴的交点即与负实轴交点为求实轴交点的另一种方法令 ，得：代入实部得：概略实际三、型系统的极坐标图 起点：实轴无穷远处 终点：原点终点处相角：四、含纯滞后环节的开环系统的极坐标图例5-4：5-4 系统开环对数频率特性的绘制设开环系统由 个环节串联而成，其传递函数为：或：综上有： 因此，采用叠加法即可方便地绘制出系统开环对数频率特性曲线。实际上，系统开环对数幅频特性的渐进特性有如下特点： 低频段( 小于最小交接频率 )的斜率为： ， 为开环系统中所包含的串联积分环节 的数目。低频段(若存在小于1的交接频率时，则为延长 线)在 处的对数幅值为 。即低频段或其延长 线经过点 。 在典

10、型环节的交接频率处，对数幅频特性渐近线的斜率 要发生变化，若遇到 的环节，在交接频率 处，斜率改变 ；若遇到 的环节时，在交接频率处，斜率改变 。一、绘制系统开环对数幅频特性的步骤 开环传递函数典型环节分解； 计算各典型环节的交接频率； 修正。 通过点 ，绘制斜率为 的低频段； 从低频段开始，随着 的增大，每遇到一个典型环节的 交接频率，就按上述方法改变一次斜率；例5-5：已知系统的开环传递函数为：试绘制开环系统的伯德图。解： 开环传递函数典型环节分解：一个比例、一个惯性、 一个一阶比例微分和一个振荡环节组成。 计算各典型环节的交接频率； 惯性环节： 一阶比例微分环节： 振荡环节： 绘制低频段

11、；所以，低频段的延长线经过 ，即 。 利用误差修正曲线进行必要的修正； 绘制各环节的相频特性，叠加后得到系统的相频特性。 处，斜率 处，斜率处，斜率二、最小相位系统和非最小相位系统的频率特性 定义 最小相位系统相位滞后是最小的。 最小相位系统：开环传递函数中的所有零、极点都位于 平面左半部的系统。各环节都是最小相位。 非最小相位系统：开环传递函数中具有位于 右半平面的零 点或极点的系统。含非最小相位环节的系统例5-6：最小相位系统非最小相位系统解：两系统的幅频特性是一样的 最小相位系统的对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一 的对应关系。 根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传

12、递函数，反之亦然。 时，幅频特性斜率：相频特性：例5-7：已知最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如 图所示，试写出系统的开环传递函数。解：由 可得：低频段的斜率为：三、含有纯滞后环节系统的伯德图例5-8：解：5-5 乃奎斯特稳定判据和系统的相对 稳定性 系统稳定条件？所有闭环特征根都位于S 左半平面 劳斯判据 根轨迹法(图解法)：根据开环零极点绘制闭环 特征根的轨迹。 频域稳定性判据 时域分析判断稳定性的方法？ 根据开环频率特性图和开环零极点判断闭环系统的稳定性。一、Nyquist稳定判据的数学基础1.映射(幅角)定理：设 为复变量， 为 的有理分式函 数。对于 平面上任意一点 ，通过复变

13、函数 的映 射关系，在 平面上可以确定关于 的象。在 平面 上选择一条封闭曲线 ，且不通过 的任一零、极点， 从闭环曲线 上任一点 起，顺时针沿 运动一周， 再回到 点，则相应地， 平面上亦从点 起，到 点止，也形成一条闭合曲线 。为方便起见，令：不失一般性，设 如下图分布：(a) S 平面(b) F(s) 平面设 沿 顺时针运动一周，研究 相角的变化情况：按复平面相角定义，逆时针旋转为正，顺时针旋转为负： 对于 ，作切线 ，则在 的 段， 的角度减小，在 的 段，角度增加，且有：同理： 映射(幅角)定理：设 平面闭合曲线 包围 的 个 零点和 个极点，并且，此曲线不经过 的任一零点 和极点，

14、则当复变量 沿封闭曲线顺时针方向移动一周 时，在 平面上的映射曲线 按逆时针方向包围坐标 原点 周。2.复变函数 的选择 的零点为闭环传递函数的极点； 的极点为 开环传递函数的极点。令： ，可见： 当 沿 运动一周所产生的 两条曲线 和 只相差常数1，即 可由 沿 实轴正方向平移(右移)一个单位长度获得。 包围 平面原点的周数等于 包围点 的周数。3. 平面闭合曲线 的选择 不经过 的任一零、极点。 包围 位于 平面右半部的 所有零点和极点。(a) 无虚轴上的极点 系统稳定的充要条件是： 的零点都位于 平面的左半部。即： 。 乃氏回线 可取右图所示的两种形式：(b) 有虚轴上的极点二、奈奎斯特

15、稳定(奈氏)判据 闭环控制系统稳定的充分必要条件是：当 从 时，系统的开环频率特性 不穿过 点，且按逆时针方向包围 点 周， 为位于平面右半部的开环极点数。 若开环系统稳定，即 ，则闭环系统稳定的充要条件是：系统的开环频率特性不包围 点。 实际上，常只画 从 的部分，故上述乃氏判据中的 周应改为 周。闭环极点在 平面右半部的个数： 半闭合曲线(奈氏图) 穿越 点左侧负实轴的次数。半次穿越：开环幅相曲线起始于(或终止于)点 左侧 的负实轴。若沿逆时针离开(或终止于)负实轴， 记为半次正穿越；若沿顺时针离开(或终止于) 负实轴，记为半次负穿越。正穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲线逆时针(从上) 穿

16、越点 左侧负实轴；负穿越 ：随着 的增大，开环幅相曲线顺时针(从下) 穿越点 左侧负实轴； 开环极点在 平面右半部的个数。判断：系统稳定；系统不稳定。例5-9：绘制开环传递函数为 的系统 的乃奎斯特图，并判断系统稳定性。解：起点：终点：系统稳定。例5-10：绘制 0型3阶系统幅相频率特性，并判别系统稳定性。解：起点：终点：系统在 右半平面上有两个极点，不稳定。思考：欲使系统稳定，该怎么办？系统在 右半平面上没有极点，稳定。-例5-11：设系统的开环传递函数为： ， 试绘制系统的乃奎斯特图，并判断闭环系统的稳定性。解：选取乃氏回线如下面左图所示。 小半圆：在 平面上相应的映射曲线为： 这是一个半

17、径为无穷大的圆弧，其相角由 经0变到 。 虚轴上，令 大半圆：在 平面上相应的映射曲线为：相角：系统在 右半平面上有两个极点，不稳定。讨论：当 有虚轴极点时 平面的半闭合曲线：可从 点起逆时针(曲线方向为顺时针)作半径为无穷大、圆心角为的圆弧。 平面的半闭合曲线：应从 点起以无穷大为半径顺时针作 的圆弧至 点。 开环系统含有积分环节 开环系统含有等幅振荡环节例5-12：已知单位反馈系统的开环幅相曲线 如右图所示，试确定系统闭环稳定时 值的范围。解：设交点处穿越频率分别为 。系统的开环传递函数形如：当 时，若令 ，可求得对应的 值：系统稳定系统不稳定系统稳定系统不稳定综上可知，系统闭环稳定时，

18、的取值范围是：三、根据伯德图判断系统的稳定性1. 乃氏图与伯德图的对应关系 乃氏图中单位圆对应于伯德图中 线； 乃氏图中负实轴对应于伯德图中 线； 乃氏图中单位圆以外对应于伯德图中 ； 乃氏图从上而下对穿过负实轴 线段，相角增加， 称为正穿越，伯德图中 从下而上穿过 线，意 味着相角的增加，称为正穿越； 乃氏图从下而上对穿过负实轴 线段，相角减小， 称为负穿越，伯德图中 从上而下穿过 线，意 味着相角的减小，称为负穿越；伯德图对数幅频特性对数相频特性:剪切频率:穿越频率2. 对数频率稳定判据 闭环系统稳定的充要条件是：当 时，在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 穿越 线的次数 满足 。 为

19、 平面右半部的开环极点数。半对数坐标下 的对数相频曲线 的确定 开环系统无虚轴上的极点时， 等于 曲线。 开环系统存在积分环节 时，需从 曲线 较小 且 的点处向上补作 的虚直线， 曲线和补作的虚直线构成 。 例5-13：解： 开环系统存在振荡环节 时，需从对数相频特性 曲线 点起向上补作 的虚直线至 处， 曲线和补作的虚直线构成 。 所以，系统稳定。四、系统的相对稳定性和稳定裕度 系统开环频率特性靠近 点的程度表征了系统的相对稳定性，距离 点愈远，闭环系统的稳定性愈高。系统的相对稳定性常用相角裕度 和增益裕度 来度量。1. 相角裕度 ：在频率特性上对应于 的角频率 称为剪切频率，以 表示。相

20、角裕度 的含义是对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后 度，则系统将处于临界稳定状态。2.增益裕度 ：在相频特性等于 弧度的频率 (穿 越频率)处，开环幅频特性的倒数 称为增益裕度，以 或 表示。 增益裕度的含义是，对于闭环稳定的系统，如果系统 的开环增益再增大 倍，则系统将处于临界稳定状态。系统稳定 为了得到较满意的暂态响应，一般取：例5-14：设单位反馈系统的开环传递函数为：试分别确定系统开环增益 和 时的相角裕度和增益裕度。解：首先作出 和 时的对数幅频渐进特性和 对数相频特性曲线，如下图所示。 当 时，令 得：(单位转换) 当 时，例5-15：已知系统开环传递函数为：试用乃氏判据

21、求系统临界增益，当其中一个惯性环节时间常数为 时，临界增益有何变化。解：临界稳定时令 ，有：5-6 控制系统对数坐标图与稳态误差 及瞬态响应的关系一、稳态误差O型系统对数幅频特性特点：1. 0型系统 低频段斜率为0，高度为 ； 是静态位置误差系数。2.型系统低频段：型系统对数幅频特性特点： 低频段斜率为 ； 是静态速度误差系数。 斜率为 的低频段 (或其延长线)与 线的 交点为 ，则 斜率为 的低频段 (或其延长线)在 处的 高度为 。3.型系统低频段对数幅频特性幅频特性曲线特点： 低频段斜率为 ； 是静态加速度误差系数。 斜率为 的低频段 (或其延长线)与 线的 交点为 ，则 斜率为 的低频

22、段 (或其延长线)在 处的 高度为 。二、稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系例5-16： 如图所示， 落在 区段内， ，系统稳定。 若减小开环传递增 益，则相频特性不 变 ，幅频特性向下 平移。从而使得 。 若增大开环传递增益，则相频特性不变 ，幅频特性向上 平移。从而使得 。当 时，系统处于 临界稳定状态。当 时， ，系统不稳定。 若 落在 区段内，系统一定不稳定。以上分析表明： 系统对数幅频特性中频段斜率 时， 系统不稳定。 中频段斜率为 时，系统可能稳定，也可能 不稳定。即使稳定，相角裕量也较小。 中频段斜率为 时， 系统一般是稳定的。 因此一般总是使系统中频段斜率为 ，且为保证有足够

23、大的相角裕量，应使该区段占有一定的宽度。三、中频段宽度与稳定性的关系 稳定系统不仅对中频段的斜率有要求，而且对其宽度也有要求，一般要求： 低于 ， 斜率不低于 。 高于 ， 斜率不低于 。四、开环对数幅频特性与闭环系统动态性能的关系1.相角裕量 与动态响应关系说明：其中， 为开环频率特性若 很小 某 频段即该频段上闭环频率特性有谐振峰值。系统输入信号频谱中这一频段内谐波分量有很高增益 系统阶跃响应振荡。 可以证明：证明：注意到一般有：上式表明，当 时， 取极值。经验公式五、截止角频率和通频带 和 的关系：若 ，则工程上：当 时， 当 时， 若 ，则工程上：定义： 时,对应的频率 称为截止频率，

24、又称带宽频率。 为闭环对数频率特性， 称为闭环通频带(带宽)。 型和型以上的开环系统，故：即有：越能复现输入信号响应快，但易引入高频噪声六、闭环频域指标，开环频域指标和时域指标的关系 系统时域指标物理意义明确、直观，但仅用于单位阶跃响应且不能直接用于频域的分析和综合。 闭环系统频域指标 虽然能反映系统的跟踪速度和抗干扰能力，但由于需要通过闭环频域特性加以确定，在校正元件的形式和参数尚未确定时显得不便。 鉴于系统开环频域特性指标 ，可以由已知的开环对数频域特性曲线确定，工程上常用 设计。1. 闭环频域指标, 开环频域指标和时域指标 设计指标是频域参量，如： 闭环频域指标：谐振峰值 、闭环系统带宽 、谐振 频率 、系统开环增益 。2. 频域指标与时域指标的关系 设计指标是时域参量，如： 开环频域指标：系统开环增益 、相角裕度 、幅值裕度 、开环对数幅频特性的剪切频率 。时域指标： 二阶系统频域指标与时域指标的关系 谐振峰值： 谐振频率： 带宽频率： 剪切频率： 相角裕度： 超调量： 调节时间：或 高阶系统频域指标与时域指标的关系 谐振峰值： 超调量： 调节时间：*5-7 系统的闭环频率特性一、开环与闭环频率特性的关系对于单位反馈系统根据上式，不难从系统开环频率