数字信号处理课件 (2)

1、敏感，以及一个M阶的格型滤波器可以产生从1阶到M结构便于高速并行处理外，还具有对有限字长效应不5.4格型滤波器结构广泛应用在功率谱估计、语音处理、自适应滤波、线性预测、逆滤波等方面的格型滤波器，除了其模块化阶的M个横向滤波器的输出性能。本节分别讨论全零点、全极点、以及一般IIR系统的格型滤波器。一个M 阶直接形式FIR滤波器的系统函数为5.4.1 全零点(FIR)的格型滤波器(5.4-1)式中表示M阶FIR滤波器的第i个系数。 若式(5.4-1)的系数b0=1，则有M个 FIR直接结构实现，需要M次乘法，M次延迟。系数。如用对应的格型网络结构如图5.4-1所示。 x(n)y(n)p0q0p1q

2、1p2q2k1k1pMpM-1qMqM-1kMkM-1kMkM-1k2k2z-1z-1z-1z-1图5.4-1全零点格型滤波器格型基本单元级联组成。下两个输入、输出端。输出y(n)取自最后一级基本单元的上输出端。 由图可见全零点格型结构是由M个如图5.4-2所示的每个基本单元分别有上、输入x(n)同时到达第一级的上、下两个输入端， pmpm-1qmqm-1kmkmz-15.4-2可得基本单元的输入输出关系为输出包括从上端直通的部分以及分别经过一次延迟、两次延迟，直至M次延迟的部分。这种结构没有反馈通路，所以是FIR系统。它也有M个参数km (m=1,2,M)，通常称km为反射系数。系数按k1、

3、k2、kM-1、kM从左到右排列。实现格型结构时需要2M次乘法，M次延迟。由图x(n)y(n)p0q0p1q1p2q2k1k1pMpM-1qMqM-1kMkM-1kMkM-1k2k2z-1z-1z-1z-1p0(n)= q0(n)= x(n)并且y(n)= pM(n)式中pm-1(n)、 qm-1(n-1)分别是第m个基本单元的上、下端的输入序列；pm(n)、 qm(n)分别是第m个基本单pm(n)= pm-1(n)+ qm-1(n-1) km qm(n)= pm-1(n) km+ qm-1(n-1) 元的上、下端的输出序列。pmpm-1qmqm-1kmkmz-1定义Bm(z) 、Jm(z)分

4、别为输入x (n)至第m个基本单元的上、下端输出序列pm(n)、 qm(n)的系统函数，则Bm(z)=Pm(z)/P 0(z)（5.4-3a）时，Bm(z)= B (z)。Bm(z)是Bm-1(z)再级联一个基本单元后组合成的更高一级的FIR系统，所以格型结构形式很规则。特别的当m =MJm(z)=Qm(z)/Q0(z) ，（5.4-3b）(m=1,2,M) (m=1,2,M) 对基本单元的输入输出关系式Pm(z)= Pm-1(z) + km z -1Qm-1(z)可以利用直接形式FIR滤波器的系统函数H(z)= B(z)的系数bi ，得到格型结构的反射系数km 。(5.4-4a)(5.4-4

5、b )Qm(z)= Pm-1(z) km + z -1Qm-1(z)两边做z变换，得pm(n)= pm-1(n)+ qm-1(n-1) km qm(n)= pm-1(n) km+ qm-1(n-1) 滤波器高阶与低阶之间的递推关系为（5.4-5）或低阶与高阶之间的递推关系为（5.4-6）上两式的递推关系中均有Jm(z)，实际上已知的只有Bm(z)，还需求出Jm(z)与Bm(z)之间的关系。由式(5.4-3)及图5.4-1有B0(z) = J0(z)=1 ，因此即令m =2,3,可以得到(5.4-7)B1(z)= B0(z) + k1 z-1J0(z)= 1+ k1 z -1 J1(z)= k1

6、 B0(z) + z-1J0(z)= k1 + z -1 J1(z)= z -1 B1(z-1)Jm(z)= z -m Bm(z-1) 将上式代入高阶与低阶及低阶与阶高之间的递推关系(5.4-8a)(5.4-8b)上式的递推公式中只与B(z)相关。待定系数法能够得到两组递推关系：则有Bm(z)= Bm-1(z)+ km z-mBm-1(z-1) 将Bm(z)=Pm(z)/P 0(z)代入上式，利用 留作习题。上两式中，i =1,2,3,( m -1)，m =2,3,M，具体推导(5.4-10)(5.4-9)通常是已知FIR系统的H(z)=B(z)= BM(z)，要求其格型结构。利用上述的递推公

7、式可由求出反射系数km，m = M , M-1, , 2,1。由FIR系统的递推格型结构反射系数km的具体（5.4-11）步骤为第一步， 确定BM-1 (z)的系数 ，出BM-1 (z)，则第三步 重复第二步，求出全部 kM，kM-1，,k1，及系数 kM，。或由BM-1(z)，, B1(z)。，第二步 由式，递推公式直接求 例5.4-1 已知某FIR滤波器的差分方程为求其格型结构并作图。解：对上述差分方程两边作z变换，得对应的，； 第一步()3/133=b 第二步 由式（5.4-10）第三步格型结构如图5.4-3所示。图5.4-3 例5.4-1FIR系统的格型结构z-1z-1z-1x(n)y

8、(n)1/41/41/21/21/31/3FIR系统函数更一般的形式b01 ，即(5.4-12)式中表示M阶 FIR滤波器的第 i 个系数。对应的格型网络结构如图5.4-4所示。图5.4-4一般全零点格型滤波器x(n)y(n)k0k1k1kMkM-1kMkM-1k2k2z-1z-1z-1z-1 式中 i =1,2,3,(m-1)，m =1,2,3,M，km的递推计算(5.4-10)相同，仅将上图中系数km的递推关系除了k0=b0外，其余的系数与换为，即为 (5.4-13)步骤也相同。所以对任意的m =1,2,3,M，若有|km|=1 ，上述算法无效。即递推公式的|bM|不能为1，否则所以线性相

9、位FIR滤波器不能用格型滤波器实现。递推公式，中的分母为|kM|= |bM|=1又因为线性相位FIR滤波器有b0= |bM|，则 例5.4-2 已知某FIR滤波器的差分方程为求其格型结构并作图。解：差分方程的各系数为对上述差分方程两边作z变换，得b0=2，b1=13/12，b2=5/4；b3=2/3 ；，对应的，与例5.4-1相同，所以除了 k0=b0=2，格型结构如图5.4-5所示。z-1z-1z-1x(n)y(n)1/41/41/21/21/31/325.4.2 全极点(IIR)的格型滤波器全极点(IIR)的滤波器的系统函数H(z)为(5.4-14)式中表示M 阶IIR滤波器的第 I 个系

10、数。与全零点公式比较可见，若，则上式的是FIR系统的逆系统。4、按照习惯再画出输入在左，输出在右的结构图。求该逆系统结构图的步骤如下：1、将输入至输出无延时的直通通路反向，该通路的常数增益为原常数增益的倒数（此处 b0为1）。2、所有指向新直通通路各节点的所有增益乘以-1。3、交换输入与输出位置。极点的格型滤波器结构。按照求逆系统的方法，由图5.4-1得到如图5.4-6所示全图5.4-6全极点格型滤波器x(n)y(n)p0q0p1q1p2q2-k1k1pMpM-1qMqM-1-kMkM-1kM-kM-1k2-k2z-1z-1z-1z-1全极点格型结构是由M个如图5.4-7所示的格型基本单元级联

11、组成。每个基本单元 上支路输入为pm ， 基本单元的输入输出关系为pm-1 (n)= pm (n)- qm-1(n-1) km （5.4-15a）pmpm-1qmqm-1km-kmz-1输出为pm-1 。下支路输入为qm-1 ，输出为qm 。 qm(n)= pm-1(n) km + qm-1(n-1) （5.4-15b）pm-1 (n)= pm (n)- qm-1(n-1) km （5.4-15a），i =1,2,3,m，m =1,2,3,M的求解方法改为。并且x(n) = pM(n)（5.4-15c）p0(n)= q0(n) = y(n)（5.4-15d）由于两种结构的最基本的差分方程是相同

12、的，所以系数km以及与FIR系统相同，仅将qm(n)= pm-1(n) km + qm-1(n-1) （5.4-15b）由全零点格型滤波器图改画为全极点格型滤波器图时，可将流图最左边连接上、下部增益为1的直通支路移指向无延时的直通通路的支路增益乘以-1； z-1放置在至最右边；除了无延时的直通通路外，其余支路反向；各基本单元的右下侧；系数按 kM、kM-1、 k2、k1从左到右排列，特别的与kM有关的支路（虚线）可以不要。，；例5.4-3 已知某IIR的系统函数为求其格型结构系数并做图。解对应的 ，由例5.4-1已得到FIR格型结构的系数为格型结构如图5.4-8所示图5.4-8 例5.4-1F

13、IR系统的格型结构x(n)z-1y(n)z-1z-1-1/31/3-1/21/2-1/41/45.4.3 具有零、极点(IIR)的格型滤波器具有零、极点的IIR系统的系统函数为(5.4-16)通常 MN 。M=N系统的格型梯形结构如图5.4-10所示。图中c1、c2、cM-1、cM为确定系统函数零点的梯形 M=N IIR系统的格型梯形结构系数。x(n)y(n)p0q0p1q1p2q2-k1k1pM-1qMqM-1-kMkM-1kM-kM-1k2-k2z-1z-1z-1z-1pMc0cMc2c1cM-11、若c0=1，而c1=c2=cM-1=cM=0，则图5.4-10是一个由图5.4-10可见2

14、、若k1=k2=kM-1=kM=0，即所有反射支路开路，则图k1、k2、kM-1、kM、仍按全极点系统的方法得出。全极点的IIR格型结构。5.4-10是一个全零点的FIR直接型结构。3、由上述两点，图5.4-10的上半部分格型实现全极点系统1/A(z)；下半部分梯形实现全零点系统B(z)。因下半部分零点系统B(z)无反馈，对上半部分无影响，所以c1、c2、cM-1、cM 与全零点系统时的方法有所不同。而由于上半部分对下半部分有影响，因此求现在的任务是求出系数ci，i =0,1,2,3,M。 直接给出两种递推公式。（1）i =0,1,2,3,M（5.4-17）（2）（5.4-18a）i =0,1

15、,2,3,M -1（5.4-18b）cM=bM式系数 am 、 bm ，求出格型梯形结构系数 km 、利用MATLAB函数dir2ladr，可以由已知的零、极点形 cm 。利用MATLAB函数ladr2dir，还可以由已知的格型梯形结构系数 km 、 cm 求出零、极点形式系数 am 、 bm 。例5.4-5 已知某IIR的系统函数为求其格型结构系数并作图。解 求解例5.4-5的MATLAB的程序与结果如下。C =-0.2695 0.8281 1.4583 1.0000b=1 2 2 1;a=1 13/24 5/8 1/3;K,C= dir2ladr(b,a)答案K =0.2500 0.5000 0.3333即例5.4-5的格型结构如图所示。k1=1/4，k2=1/2，k3=1/3； c0=-0.2695，c1=0.8281，c2=1.4583，c3=1。z-1z-1z-1x