高考冲刺直线和圆锥曲线的位置关系

1、高考冲刺 直线和圆锥曲线的位置关系本周重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式的应用。 本周难点：直线与圆锥曲线位置关系的综合应用。 本周内容： 一、直线与圆锥曲线位置关系的判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。判断的方法均是把直线方程代入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲线的位置关系。一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。特别注意：当直线与双曲线的渐近线平行及直线与抛物线的对称轴平行时，直线与曲线只有一个公共点，但也称之为相交，这是特殊情况，请大家注意。 二、弦长公式： 直线与曲线交

2、于P(x1,y1), Q(x2,y2)两点，则|PQ|=|x1-x2|，此为弦长公式，k为直线的斜率，弦长公式实质是直线上任意两点间的距离。注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题，如何解决留给大家思考。 三、例题选讲： 例1已知：经过点P（1,1）的直线l与椭圆+=1交于A、B两点，若P恰为A、B中点。求：直线l的方程。 解法一：设直线l方程：y-1=k(x-1)或x=1. 当直线l为x=1时不满足题意，故直线l的斜率存在，则有： (4+9k2)x2-(18k2-18k)x+9k2-18k-27=0. P为A，B中点， x1+x2=2k=-, 直线l: 4x+9y-13=0. 解法

3、二：设A(x1, y1), B(x2, y2), A、B在椭圆上， ， 4(x1+x2)(x1-x2)=-9(y1+y2)(y1-y2) P(1,1)为A、B中点， x1+x2=2, y1+y2=2, 8(x1-x2)=-18(y1-y2)， k=-, l: 4x+9y-13=0. 解法三：设l: (t为参数) 代入曲线方程：4(1+tcos)2+9(1+tsin)2=36, (4cos2+9sin2)t2+(8cos+18sin)t-23=0 P为A、B中点， t1+t2=0, tan=-=k, l: 4x+9y-13=0. 例2求以椭圆+=1的焦点为焦点，且过直线x-y+9=0上一点的椭圆

4、中，长轴最短的椭圆的方程。 解法一：+=1的焦点为（3，0）， 设以（3，0）为焦点的椭圆为：+=1，且与直线x-y+9=0相切时满足条件。 即(2a2-9)x2+18a2x-(a4-90a2)=0 a4-54a2+405=0 (a2-45)(a2-9)=0，a2=45或a2=9（舍） 椭圆：+=1。 解法二：直线x-y+9=0上一点P(x,y)到F1（-3,0），F2（3,0）的距离之和为定长2a的最小值， 即变为在直线x-y+9=0上找一点P到F1(-3,0), F2(3,0)距离之和最小 F2（3,0）关于直线x-y+9=0的对称点F2(-9,12), (2a)min=|F1F2|=6

5、a=3. a2=45, c2=9, b2=36, +=1。 例3已知：直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A（-1，0），B（0，8）关于直线l的对称点都在C上。求：直线l与抛物线C的方程。 解法一：设l: y=kx (k0且k1), C: y2=2px(p0), 又设A（-1，0）关于l的对称点A(a, b) 则： ()2=2pp=.(1) 又设B（0,8）关于l的对称点 B(c,d）, 则： ()2=2p p=.(2) 由(1),(2)知：， l: y=x, C: y2=x. 解法二：设A（-1，0）关于l的对称点为A, |OA|=|OA|=1， AOX=,

6、A(cos, -sin) 设B(0,8)关于l的对称点为B, |OB|=|OB|=8, AOB=AOB=90, BOX=-, B(8sin,8cos) A，B在y2=2px上， 2cos=sintan=2 sin=, cos=, B(,) ()2=2pp=, C: y2=x, B，B中点（，4+）在l: y=kx上， 4+=k k=, l: y=x. 例4已知：两个定点，|AB|=3，动点P，PBA=2PAB0， 求P点轨迹。 解法一：以A为原点，AB所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系（如图），则A（0，0），B（3，0）， 设P(x,y)， PBA=2PAB， x, kPA=. (1)x3时，kPB=, PBA=2PAB0, tanPBA=tan2PAB, -= 3x2-6x-y2=0 (x且x3) (2)x=3时，PBx轴，PAB=，此时P(3，3), P(3,3)也在3x2-6x-y2=0上 方程：3x2-6x-y2=0(x) 轨迹为双曲线的右支。 解法二：建系如法一：设P(x,y), (x), 在AB上取一点C(c,0)，使|AC|=|PC| 则CPA=PAB，PCB=2PAB=PBA, |PC|=|PB| 取B