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文档简介

1、线性代数综合练习题（二）一、选择题1. 设是四维列向量，且，则（ ）。（A） （B） （C） （D） 2. 如果为三阶方阵，且，则（ ）。（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 设为阶方阵，且，则（ ）。（A）中必有两行（列）的元素对应成比例 ，（B）中至少有一行（列）的元素全为0 ， （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合， （D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4. 设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（ ）。（A） （B） （C） （D） 5. 设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是（ ）。（A）与相似 （B）与等价（C）

2、与有相同的特征值 （D）与有相同的特征向量二、填空题1. 阶行列式 。2. 设，则 。3. 设三阶矩阵，满足，且，则 。4. 设四阶方阵，则 。5. 设向量组，线性相关，则 。6. 设三阶方阵的特征值为1，2，3，则 ，的特征值为 ，的特征值为 。7. 设二次型为正定二次型，则的范围是 。三、计算题1. 求向量组，的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2. 为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3. 三阶实对称矩阵的特征值为，对应于特征值的特征向量为, 求。4. 已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式，（2）用正交变换把化为标准形并写

3、出相应的正交变换。四、证明题1. 设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求逆。2. 设是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空题（每空3分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. 6. ， ，6，3，2 ；7. .三、计算题1. 解： ， 所以，是一个最大无关组，并且有 ，. 2. 解： ， 当，即且时，方程组有惟一解. 当时，此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 ， 当时，此时，方程组无解. 3. 解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有，因而，为不等于0的任意常数. 取，令，则有 ， 因此，. 4. 解：（1） （2） ，所以的特征值为， 当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，. 取，令，则为正交矩阵，且 ， 因此，所求的正交变换为，并且 四、证明题1. 证： 所以，可逆，并且.2. 证：

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