【高考数学】圆锥曲线经典习题—抛物线大题合

1、【高考数学】圆锥曲线经典习题一抛物线大题合集未命名一、解答题1.已知动圆M恒过点F(1,0),且与直线l： x = 1相切.(1)求动圆圆心 M的轨迹C的方程；(2)探究在曲线C上，是否存在异于原点的两点 A(x1, y1) , B(x2, y2),当y1y2 = -16时，直线AB恒过定点？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)轨迹方程为y2 =4x; (2)直线AB过定点(4,0).【解析】因为动圆M,过点F(1,0)且与直线l : x = 1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离.根据抛物线的定义可以确定点M的轨迹是抛物线，易求其方程 .(II)本小题属于存在性

2、命题，先假设存在 A,B在y2 =4x上，直线AB的方程：y2 - y12.2y y1=(x凡),即 ab 的方程为(y1+y2)y y 一 yy2 = 4x y1，然后根据x2 - x1y1y2 =-16,.-.ab的方程为(y1+y2)y+(164x)=0，从而可确定其所过定点.解：(1)因为动圆M,过点F (1,0)且与直线l：x = 1相切， TOC o 1-5 h z 所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离. 2分所以点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且卫=1巾=2,4分22所以所求的轨迹万程为 y =4x6分2(2)假设存在 A,B在y =4x上，7分丫2 一 丫1 ,、1

3、直线ab的万程：y y1=八(x x1)，9分*2 一为Q 山、,一4y即 ab 的万程为：y y1 =(x - -), 10小 y 4即(y y2)y- y；-火丫2 =4xy； 11 分又yy2 = T6 .-.ab 的方程为(y1 +y?)y +(164x) =0 , 12分试卷第1页，总70页令y =0得x = 4 ,所以，无论yi, y2为何值，直线ab过定点(4,0).222. (I)求以x +y 2y = 0的圆心为焦点的抛物线方程;(n)若P(xo,y0)为(I)中所求抛物线上任意一点，求点 P到直线x-y 2 = 0的距离的最小值，并写出此时点P的坐标.【答案】(I) x2=

4、4y (n) P(2,1),最小值 也2【解析】【分析】(I )将圆的方程配成标准式，即可得出圆心坐标，利用抛物线的标准方程即可求解。(n)利用点到线的距离公式求最值。【详解】(I ) ； x2 + y2 -2y =022.xy -1 =1故圆心坐标为(0,1),同时抛物线焦点为(0,1),故抛物线方程为 x2 =4y ;2(n ) ：p(x0,y0)且在抛物线x2 =4y上，:y0 =包.从而点P到直线x-y-2 = 042x _x0_2x0/24d=2的距离为1 ,c、2 ,(x0 2) 1 r即P( 2,1)时，取得最小值24拒，当 x0 = 2一 .2本题考查圆的标准方程，求抛物线的标

5、准方程及抛物线上的点到定直线的距离最值问题, 属于一般题。3.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线C上一点M(4,m)到其焦点的 距离为6.(I )求抛物线 C的标准方程；(n)若抛物线C与直线y =kx-2相交于不同的两点 A、B,且线段AB中点的横坐 标为2,求实数k的值.【答案】(1) y2 =8x (2) 2试卷第2页，总70页【解析】解：(I )由题意设抛物线方程为1广，其准线方程为x =-上，(2分)2P(4, m)到焦点的距离等于 A到其准线的距离,- 4十 = 6 - p = 42，抛物线C的方程为/ =&* (2分)(n)由 - 消去 y,得 k2x2 -(4k +

6、8)x + 4=0(2 分)y =融-21 u ,;直线/二上T 2与抛物线相交于不同两点A、B,则有k =0Q=64(k+1) 0,解得 A |与羊 0, (2 分)x1 x2 2k 42 一 k2解得卜=2,或卜=1(舍去)所求k的值为24.如图所示，已知点M (a,4)是抛物线y2 =4x上一定点，直线AM、BM的倾斜角互补，求证：直线 AB的斜率为定值.1【答案】(1)5; (2)2【解析】【分析】(1)把点M的坐标代入抛物线的方程，求出点M的坐标，然后根据抛物线的定义求出点M到其准线的距离；(2)设出直线MA的方程，与抛物线方程联立，得出 A的纵坐标，同理得出 B的纵坐 标，由已知条

7、件结合点差法推导出AB的斜率表达式，把 A, B的坐标代入，由此能证明直线AB的斜率为定值.试卷第3页，总70页(1) M (a, 4)是抛物线 y2=4x上一定点，42=4a, a=4,抛物线y2=4x的准线方程为x= - 1,故点M到其准线的距离为 5；(2)由题知直线 MA、MB的斜率存在且不为 0,设直线MA的方程为：y-4=k(x-4)； TOC o 1-5 h z y -4 = k(x -4)2联立/ 2= ky2-4y-16k+16 = 0,设 A(xA,yA), B(xB,yB),y =4x,4rr4 ,二 Na +4 =,即 yA = - 4 , kk;直线AM、BM的斜率互

8、为相反数，直线MB的方程为：y4 = k(x4),同理可得：yB = -4, 由A, B两点都在抛物线y = 4x上， Ya 4xa Yb = 4xb -kyA - yB _ yA - yB _4 kAB 一一 22 一xa -xb以YbYaYb4直线AB的斜率为定值1 .2本题考查了抛物线的定义考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题.22x V5.已知E , F2分别是椭圆E： + =1(cib0)的左，右焦点，点a b2 P(-1三椭圆E上，且抛物线y2=4x的焦点是椭圆 E的一个焦点。(1)求a, b的值: (2)过点F2作不

9、与x轴重合的直线| ,设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A, B两点，且与椭圆E相交于C,T D两点，当F1A F1B =1时，求 F1CD的面积。【答案】(1) a=T2, b=1 ; (2)4x67(1)由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出(2)设直线|方程为x=ty+1,联立直线与圆的方程可以求出t2,再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积.【详解】试卷第4页，总70页2(1) y =4x焦点为 F (1, 0),则 Fl(1, ), F2 (1, 0),2a= PFi + PF2 =2衣，解得 a = J2，c=l, b = 1,(n)由已知，可设直

10、线|方程为x=ty+1, A(x1, y1) , B(x2, y2)2tXx = ty 1联立22x2y2 =3y1y2 - -2-22t +1得(t十1)y十2ty2=0,易知 0,则2y1y2 = -72t +1F1A F1B = (x1 + 1)(x2 +1) + y1y2 = (ty/2)(ty 2+2)+丫也/ 2、/2-2t=(t +1) y1y 2+2t (y+y2)+4= t +1因为T -IF1A BB=1,所以联立x=ty 1x22 4万y=1222,得(t +2) y +2ty-1 =0 , = 8(t2+1) 0NJ+a, y3), B(x4, y,),则= 214 t

11、2+21y3y4=t2 21L=-F1 F2 y3-y 28(1+t2)t2 +284_4V6773本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。意在考查学生的数学运算能力。116.如图，在平面直角坐标系xoy中，设点F 了,0 L直线:x=-,点p在直线上移动，R是线段PF与y轴的交点，过R、P分别作直线11、12,使UPF, l2 -L l ,试卷第5页，总70页(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)已知。M : (x4)2 + y2=1,过抛物线C上一点H(xo, y0)(y0之1)作两条直线与O M相切于A、B两点，若直线

12、AB在y轴上的截距为t ,求t的最小值.【答案】(1) y2 =x ； (2)11.【解析】【分析】依题意知，得出|PQ = QF| ,利用抛物线的定义，即可求得抛物线的方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2, y2),求得直线HA与HB的方程，进而得到直线 AB的方程, 即可作出求解.【详解】依题意知，点 R是线段FP的中点，且RQ，FP ,所以RQ是线段FP的垂直平分 线，即|PQ = QF ,由抛物线的定义，可得动点Q的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线， TOC o 1-5 h z 112又由F 口?0 1直线1 ： x =-4，所以抛物线的万程为 y =x.y14 -x1(2)设

13、 A(x1, y1), B(x2, y?),因为 kMA 一 ,所以 kHA 一 ,x1 - 4y1可得，直线 HA的方程为(4-x1)x - yy+4x 一 15 = 0 ,同理，直线 HB的方程为(4 x2)x y2y+4x2 15 = 0 , 22所以(4xjy。yy。+4为15 = 0 , (4 x2)y0 y2y0+4x2 15 = 0 ,2所以直线 AB的万程为(4 -x) y0 yy0+4x15 = 0,试卷第6页，总70页, 一,15,、令 x =0 ,可得 t =4y -(y0 之 1),Y0t关于y的函数在1,十8)单调递增，所以 加所=-11 .【点睛】本题主要考查了抛物

14、线的定义，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系求得直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.217.已知在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y =2px( p 0)的准线万程是x = -2 . (1)求抛物线的方程；(2)设直线y =k(x-2 %k #0 )与抛物线相交于 M、N两点，O为坐标原点，证明：以MN为直径的圆过原点.【答案】(1) y2 =2x ； (2)见解析【解析】【分析】(1)根据抛物线的性质，即可求得P的值，求得抛物线方程； 2(2)将直线方程代入抛物线方程，利于韦达te理即可x1 x2 ,由(y1y2

15、) 4 4x1x2 ,即可求得力丫2,利用向量的坐标运算，即可求得OM _LON ,进而可得到结果.【详解】解：(1)由抛物线y2 =2px(p A0 )的准线方程为x = E,2则一卫二一1,则p =1,22抛物线方程为y2=2x；(2)证明：设 M (x1, y1 ), N (x2, y2),由 y-k(x-2)消去 y 整理得 k2x2 -2(2k2 +1)x + 4k2 = 0,y2 =2xxx2 =4 ,222.由 y =2xb y2 =2沟，两式相乘，得(yy2 ) =4x1x2,注意到y, y2异号，所以y y2 = -4 ,试卷第7页，总70页则 OM ON =x1x2 yly

16、2 =0,二 OM 1ON ,. MON =90，所以以MN为直径的圆过原点.【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.8.已知定点F (1,0 ),定直线l的方程为x = -1 ,点P是l上的动点，过点P与直线l垂直的直线与线段 PF的中垂线相交于点 Q,设点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程：(2)点A(a,0 ) (a 0),点B(a,05 过点A作直线li与曲线C相交于G、E两点，求证：.GBA-/EBA.【答案】(1) y2 =4x ； (2)见解析【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质以及抛物线的定义，求得

17、曲线C的轨迹方程.(2)设出直线 1 的方程，联立直线1i的方程和抛物线方程，消去 x,写出韦达定理，通过计算 kBG +kBE 0 ,证得 kBG =kBE ,从而证得 NGBA = NEBA.【详解】(1)由题知 |QF = QP =d ,点Q的轨迹是以F (1,0 )为焦点，直线x = -1为准线的抛物线，曲线C的方程为y2 =4x.(2)设直线11的方程为x = my + a,G(my1+a,y1 ), E(my2 +a,y2 ),x my a 2由 S 2 得 y -4my-4a = 0 ,y =4xy . y2 =4m , YiY2 =-4a ,试卷第8页，总70页又 kBG 二

18、一 J , kBE 二 一 J一, my1 - 2amy2 2a. i.yiy2kBG kBE -my1 2a my2 2a2myy2 +2a(y1 ”)my1 2a my2 2a2mA i4a2a 4m=0my 2a my2 2akBG = kBE /GBA=/EBA【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查根与系数关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题 .29.设抛物线r的方程为y2=2px,其中常数p 0, F是抛物线r的焦点.(1)若直线x=3被抛物线所截得的弦长为6,求p的值；I PAI(2)设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线上的动点，求J1的最大值

19、；| PF |(3)设p = 2 , li、I?是两条互相垂直，且均经过点F的直线，li与抛物线r交于点A、B ,12与抛物线交于点C、D ,若点G满足4FG = FA + FB + FC +FD，求点G的轨迹方程.3 一【答案】(1) p = ；(2)五；3) y =x-3.2【解析】【分析】(1)当x =3时，代入抛物线方程，求得 y ,可得弦长，解方程可得 p；(2)求得A的坐标，设出过 A的直线为y = k(x+-p) , k=tana ,联立抛物线方程，若要使侬1取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0,求得倾斜角，可得| PF |所求最大值；(3)求得 F (1,0),设A(

20、x, %) ,B(x2,y2), Cd ,y3),DM,y4),G(x, y),设li : y =k(x -1),联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，试卷第9页，总70页结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】_3(1)由 X =3可得 y =V6P 2 可得 246P =6 ,解得 p =-；(2) A是点F(, 0)关于顶点O的对称点，可得 A(- , 0),22设过A的直线为y=k(x+R), k = tana , 2联立抛物线方程可得2 22_k x (k p -2p)x由直线和抛物线相切可得 =(k2p2p)2 k4p2=0 ,解得k=1,可取k

21、 =1 ,可得切线的倾斜角为 45, I PAI 11由抛物线的定义可得 j一| =，而a的最小值为45,|PF | sin(90 - :) cos:|PA|PF|的最大值为,2 ；(3)由y2=4x,可得 F(1,0),设 A(xi,y1),B(x2,y?),C(x3,y3),D(x，y)，G(x, y), TOC o 1-5 h z 222 一2.2.设 l1 ： y =k(x -1),联立抛物线 y =4x ,可得 k x -(2k +4)x + k =0,4_.4即有 x1 x2 =22 , y1 y2 =k(x1 x2) 2k = HYPERLINK l bookmark114 o

22、Current Document kk1由两直线垂直的条件，可将k换为-一，可得k一 一2x3 x4 =2 4k , y3 y4 = -4k ,一、Ti - TT点 G 满足 4FG =FA +FB +FC +FD ,可得 4(x , y) =(x x2 x3 x4 -4 , y . y2 y3 . N24 -即为 4x =x , x2 , x3 , x4 -4 =4k2 CD ,k4 4y=w+y2+y3+y4=Yk 十一， k联立式消元可得y2=(k-l)2=k2+4-2=x-2 , kk则G的轨迹方程为y2 =x -2【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别

23、式和韦达定理的 具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题试卷第10页，总70页.已知抛物线 G的顶点在原点，焦点在 y轴正半轴上，点 P (m, 4)到其准线的距 离等于5.(1)求抛物线 G的方程；(2)如图，过抛物线 G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+ (y- 1) 2=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|?BD|为定值；(3)过A、B分别作抛物 G的切线11, 12且11, 12交于点 M,试求4ACM与 BDM面 积之和的最小值.【答案】(1) x2=4y； (2)详见解析；(3) 2.【解析】【分析】(1)利用抛物线的焦半径公式求 P; (2)设直线AB方y=

24、 kx+1 ,与抛物线联立消去 x ,结合焦半径公式化简从而得到定值；(3)欲求面积之和的最小值，利用直线AB的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题.【详解】(1)由题知，抛物线的准线方程为y+1 = 0,故f=1所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故直线AB的斜率一定存在，设直线 人3方丫=卜乂+1交抛物线 C于点A (x1，yj, B (x2,由抛物线定义知|AF|=y+1 , |BF|=y2+1 ,所以 |AC|=y1 , |BD|=y2,x2 =4y由 得 x 4kx 4=0,y = kx 1试卷第11页，总70页显

25、然则 Xi+X2=4k, 2/2= 4, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 22所以 yi?/2=Xl X2 =i,所以 |AC|?BD|为定值 1.1621 2,1(3)由 x2 = 4y, y = x , y =-x,4,21 21得直线 AM 万程 y_ x； = X1 (x-x“(1), HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 421 21_直线 BM 万程 y _-x2 =-x2 (x-x2)(2),42一 11 o 1 o由(2) (1)信一(xx2)x = -

26、 X - x2 ,2441所以 x= (x1+x2)= 2k, .y= 12所以点M坐标为(2k, - 1),k 2k +1 +1点M到直线AB距离d =-=2 2 ,1k2弦 AB长为 |AB| = V1+k27(x1 +x2)2 -4x1x2 = j1+k2 J16k2 +16 = 4( 1+k2), ACM与 BDM面积之和，112、22、$=稔(|AB|-2) ?d = -x (2+4k) & 山 + 小=2 ( 1+2k )4彳+小，当k= 0时，即AB方程为y=1时，ACM与4BDM面积之和最小值为 2.【点睛】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分

27、析问题和解决问题的能力，求解定值与最值的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数， 求其目标函数的最值.如图，马路l南边有一小池塘，池塘岸 MN长40米，池塘的最远端 O到l的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路AB,BC,CD ,且AB, BC,CD均与小池塘岸线相切，记 NBAD= 0.试卷第12页，总70页COB(1)求小路的总长，用日表示；(2)若在小路与小池塘之间(图中阴影区域)铺上草坪，求所需铺草

28、坪面积最小时，tan 8的值.tan-800.l皿【答案】(1) AB +BC +CD =+(0 tan6 0),试卷第13页，总70页因为M( 10,400)是曲线上一点，12所以p =,即抛物线方程为 y = x2 .2设AB所在的直线方程：y =kx +t(k = tan6),y = kx t 2联立2 ，即x -kx t = 0,y = x因为AB与抛物线相切，所以 = / +4t =0.记直线AB与抛物线切于点Q,k所以Q点的横坐标为一w (0, 20)，即k w (0, 40).2易得点B . ,0 |,点A .,400 I,由对称性可知 C , ,0 |,点.k. kk,400

29、.所以小路总长为 AB BC CD - -2- 2.400_ _ 2+ 4002 ，由及k = tan 8可知tan 二AB BC CD = 2/400、222 ： 400tan2 sin 二(0 tan 0),点M(2,0 )在G的焦点F的右侧，且M到G试卷第14页，总70页的准线的距离是 M到F距离的3倍，经过点 M的直线与抛物线 G交于不同的 A、B 两点，直线OA与直线x=-2交于点P,经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q.(1)求抛物线G的方程和F的坐标；(2)判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由； TOC o 1-5 h z 2222(3)椭圆 土+_L=1的两焦点

30、为E、F2,在椭圆 上+L=1外的抛物线G上取一 4 34 31点E ,若EFi、EF2的斜率分别为ki、k2,求-的取值范围.k1k2915 5)24【答案】(1) y2=4x, F(1,0)(2) PQ/AB,详见解析(3) ，收 HYPERLINK l bookmark161 o Current Document ,一_ _D_P(P * _(1)由题意得出 上2,以及2+2=3父2，可求出P的值，从而得出抛物线 G22I2J的方程以及焦点 F的坐标；(2)设点A(x1，y1 )、8区，丫2),直线AB的方程为x=my + 2,将直线AB的方程与抛物线G的方程联立，并列出韦达定理，并求出

31、 p、Q两点的坐标，在 m = 0时，由PQ与AB同时与x轴垂直得出PQ/AB，在m # 0时，由kpQ = kAB得出PQ/AB ,即可解答该问题；一 ,一 ，111 (3)设点E(Xo, yO ),得出 =Xo -一 ，由点E在抛物线G上且在椭圆外得出x0 -,由函数y = x-在.一，十无|上单调递增，可得出 的取值范围3x 3k1k2【详解】(1)由于点M在抛物线G的焦点F ,02的右侧，所以，卫2,2由于M到G的准线的距离是M到F距离的3倍，即2 +卫=3父12 卫L解得p = 2 ,22因此，抛物线G的方程为y2 =4x,其焦点F的坐标为(1,0 )；试卷第15页，总70页PQ/A

32、B ,理由如下:设 A(xi, yi ), B(x2,y2AB : x = my+2 ,联立x = my 2y2 = 4x/曰 2yi 丫2 =4m得 y 4my 8 = 0,/_y1y2 - -8xx22V1V216=4；OA: y =x,令 x = 2得 P 2,3 xiI X一 八x ., . 一一 4 一 TOC o 1-5 h z BQ : y - y2 =(x x2 ),令 y = 0得 Q ,0 , yi1,即3x243+16x0 -12 0 , Qx0 0,12丛 r由于函数y = x-在 j,+ I上单调递增，则kik241 x0 x0 ) 1(2 3：二 5-1=,4 3

33、224【点睛】本题考查抛物线方程的求解， 考查两直线的位置关系以及两直线斜率之积的取值范围的计算，解题时要根据已知条件的类型选择合适的方法进行计算，另外对于两直线的位置关系，可利用斜率关系来进行转化，考查化归与转化思想，属于难题213.如图，设抛物线 Ci: y =-4mx(m 0 )的准线l与x轴父于椭圆试卷第16页，总70页x2 v21C2 ： f +2r =1（a b 0）的右焦点F2,E为C2的左焦点.椭圆的离心率为e =，抛a b2物线Ci与椭圆C2交于X轴上方一点P,连接PF1并延长其交Ci于点Q, M为C1上一动点，且在P,Q之间移动.（1）当a +Y3取最小值时，求Ci和C2的

34、方程; 2 b（2）若APFiFz的边长恰好是三个连续的自然数，当&MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线 MP的方程.【答案】(1) 土+匕=1 (2) &MPQ的面积最大值为W6 =125Q.此 432 2416时 MP : y = -5/6X +2/6 . 33【解析】 试题分析：（1）由椭圆的性质可得 a=2m, b = J3m,故可得m = 1,故而可求得C1和c 1C2的万程；（2）因为c =m,e=，则a =2m, b = J3m ,设椭圆的标准万程为 a 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document

35、222+-y-y =1，联立抛物线与椭圆的方程可得 3x2 -16mx-12m2 =0，得x0 = m4m2 3m23，可得m = 3 ,可得直线与抛物线的方程， 联立得2m 2、6m代入抛物线万程得 P ,33PQ =25,求出点到直线的距离,2结合面积公式可得最值c试题斛析：（1）因为c = m, e = a工，则a = 2m,b = ,所以+立取最小值时 22 b HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 22此时抛物线C1 : y2 = -4x ,此时a =2,b2 =3 ,所以椭圆C2的方程为 =1 ；43试卷第17页，总70页c(2)因为

36、c = m,e =一 aif, 一，则 a =2nb23r ，设椭圆的标准方程为24m2+2-123m22P(x0, V。),Q(X,y1 )(4m3m2=122得3x -16mx-12m =0,所以*。=2y - -4mx2m或 3x0 =6m2（舍去），代入抛物线方程得 y0=32m,即P -32m 2,6mPFi5m,PF2= 2a - PF1 =7m,F1F2 =2m =6m,又APFFz的边长恰好是三个连续的自然数，所以 m=3.此时抛物线方程为 y2 = -12x,FM-3,0 )P(-2,2而)，则直线 PQ 的方程为 y =2V6(x + 3).联立丫 = 2俑+3) y =

37、-12xQ 一:,6.所以9=或xi = -2 （舍去），于2PQ卜+2卜（2.娟吟t2I 12,t (t = (-376,2 J6)到直线PQ的距离为d ,则d=近/+近302时,d max*、J 6 75 5.6x=,所以 &MPQ 的3024面积最大值为1 25 5.6K K-V6x+Vo.14.已知动点16.5 - 1P到直线y =-的距离比到定点0,-的距离大1.4. 4（1）求动点P的轨迹C的方程.（2）若M为直线y=x-2上一动点，过点 M作曲线C的两条切线MA, MB,切点为A, B , N为AB的中点.求证：MN _Lx轴;直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若

38、不是，请说明理由【答案】（1）x2=y； （2）证明见解析；1,2 .12【解析】试卷第18页，总70页【分析】 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 11(1)由题意知，动点 P到直线y = -的距离等于到定点0,- I的距离，符合抛物线4. 4的定义，求轨迹 C的方程为x2=y；(2)设动点M (t,t -2) , A(Xi,Xi ), B(X2,X2 ),利用导数求出切线 MA,MB的方 22程分力为：y -x1= 2x1 (x-x1) yx2=2x2(xx2)，从而有x1，X2为万程x2 _2tx+t-2 =0的两根，证明点 N的横坐标与点 M的横坐标相等，从而证得MN _Lx轴；由中的结论，把直线 AB的方程写成含有参数t的形式，即2y -