第18讲 数学：无穷级数(三)微分方程(一)(2010新版) _secret

1、 HYPERLINK / t _self PAGE PAGE 7页【例 l - 4 - 9 】 幂级数的收敛域是（ A ） （- 1 ,l ） （ B ） （- l , 1 ） （ C ） （- l , l ） （ D ） （- l , 1 ）【 解 】 易知级数收敛半径 R = l ，当 x - 1 时，级数，当x = 1时，级数收敛，故应选（ D ）。（ A ）条件收敛 （ B ）绝对收敛（ C ）发散（ D ）收敛性不能确定【 解 】 由的结构知其收敛区间的中心为x = 1，已知 x = -1为此级数的一个收敛点，设其收敛半径为 R ，则，而 x = 2 与收敛区间中心x 1的距离为 1

2、 , 1 R ，由幂级数的收敛性（阿贝尔定理）知，此级数在 x = 2 处绝对收敛，故应选（ B ）。【 例 1 - 4 - 11 】利用逐项求导法求级数的和函数。【 解 】幂级数的和函数是即利用逐项求导公式，得【 例 l - 4 12】将函数展开成（x一 3 ）的幂级数。【 解 】 因为而因此【 例 1 4 13】 将函数展开成 x 的幂级数。解先将有理分式分解成部分分式之和：三、傅立叶级数（一）傅立叶级数概念 1 傅立叶系数和傅立叶级数设 f （ x ）是周期为 2 的周期函数，则下面公式中出现的积分都存在，则系数 a0，a1, ,bl 叫做函数 f （ x ）的傅立叶系数，级数叫做函数

3、f （ x ）的傅立叶级数。2 狄利克雷收敛定理设 f （ x ）是周期为 2 的周期函数，如果它满足条件： （ 1 ）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；（ 2 ）在一个周期内至多只有有限个极值点，则 f （ x ）的傅立叶级数收敛，且当 x 是f （ x ）的连续点时，级数收敛于f（ x ） ；当 x 是f（ x ）的间断点时，级数收敛于（二）正弦级数和余弦级数1 正弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的奇函数，则它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数2 余弦级数若 f （ x ）是周期为 2 的偶函数，则它的傅立叶系数为它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦

4、级数（三）周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数设 f （ x ）是周期为2l的周期函数，则它的傅立叶系数为而它的傅立叶级数为（四）例题【 例 1 - 4 14 】 设f（ x ）是周期为 2 的周期函数，它在 -，），上的表达式为问 f （ x ）的傅立叶级数在 x -处收敛于何值。【 解】所给函数满足狄利克雷收敛定理的条件，x -是函数的间断点，按收敛定理它的傅立叶级数在 x -处收敛于【 例1- 4 15】 将函数展开成傅立叶级数。【 解 】 将函数在外作周期延拓，注意到 f （ x ）是偶函数，故由于 f 在区间-，满足收敛定理的条件，在 -，上连续，且 f （）= f -（），因此在区

5、间-，上，有第五节 微分方程一、基本概念（一）微分方程表示未知函数及其导数、自变量之间的关系的方程，称为微分方程。微分方程中所出现的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。（二）微分方程的解、通解微分方程的解是一个函数，把这函数代人微分方程能使该方程成为恒等式。确切地说，对于n阶微分方程那么函数就称为微分方程（ 1 - 5 - l ）在区间 I 上的解。如果二元代数方程所确定的隐函数是某微分方程的解，那么称为该微分方程的隐式解。含有n个独立的任意常数的微分方程的解，称为n阶微分方程的通解。（三）初始条件与特解能用来确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。通常一阶微分方程的初始条件为；二阶微分方程卯

6、初始条件为，。通解中的任意常数全都确定后，就得到一个确定的解，称为微分方程的特解。（四）例题【 例1- 5 - l 】验证函数是微分方程的通解。【 证 】代人方程有所给方程是二阶的，所给函数中恰好含 Cl 、 C2 两个任意常数，且因常数，故这两个任意常数不能合并成一个，即它们是相互独立的，因此所给函数是所给方程的通解。二、可分离变量的方程一阶微分方程称为可分离变量的方程。把式中的 y 和 dy 归人方程的一端，x 和 dx 归人另一端，成为这一步骤称为分离变量。分离变量后，两端可分别积分设 g （y）、 f （ x ）的原函数依次为 G （y）与 F（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解【 例1- 5-2 】xOy平面上一条曲线通过点（ 2, 3 ） ，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求它的方程。【 解 】 设曲线上任一点为（ x ，y），依题意，曲线在点（x，