衡水市第十三2021-2022学年高三（最后冲刺）数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1命题“”的否定是（ ）ABCD2一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益

2、，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A甲件，乙件B甲件，乙件C甲件，乙件D甲件，乙件3如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）ABCD4已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）A内有无数条直线与平行B 且C 且D内的任何直线都与平行5复数在复平面内对应的点为则（ ）ABCD6我国古代数学巨著九章算术中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）A2B3C

3、4D17已知，则的大小关系为（ ）ABCD8已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）ABCD9若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ）A1B2C3D410如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）ABCD11用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A48B60C72D12012已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若的展开式中各项

4、系数之和为32，则展开式中x的系数为_14在的展开式中，的系数为_15己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_.16在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知数列，其前项和为，若对于任意，且，都有.（1）求证：数列是等差数列（2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值.18（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）过原点且倾

5、斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.19（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和.20（12分）已知函数，.（）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（）函数在区间上的极值点从小到大分别为，证明：21（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.22（10分）设函数f(x)=sin(2x-6)+sin(2x+3), xR.(I)求f(x)的最小正周期；(II)若(6,)且f(2)=12，求sin(2+6)的值.参考答案一、选择题：本题共12小题

6、，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，故选D【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.2D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，画出可行域如图所示，显然当经过时，最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.3A【解析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止

7、循环，即可求解，得到答案【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题4B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；B. 且，故，当，不能得到 且，满足；C. 且，则相交或，排除；D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直

8、线都与平行，充要条件，排除.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.5B【解析】求得复数，结合复数除法运算，求得的值.【详解】易知，则.故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.6B【解析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，求的值因为，解得，解得故选B【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.7D【解析】由指数函数的图像与性质易得最小，

9、利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知，由对数函数的图像与性质可知，所以最小；而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，综上可知，故选：D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.8D【解析】设，作为一个基底，表示向量，然后再用数量积公式求解.【详解】设，所以，所以.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9C【解析】由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【详解】解：因为，所以，又，

10、所以，又，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.10D【解析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11A【解析】对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个数字出现在第位时，同理也有个数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或

11、者位，共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。12D【解析】通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解.【详解】如图所示，函数与的图象，因为时，恒成立，于是两函数必须有相同的零点，所以，解得故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。132025【解析】利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中

12、的系数.【详解】依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为：令，得，所以的系数为.故答案为：2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.14【解析】根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.15【解析】首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案【详解】解：函数的定义域为，且，函数为奇函数，当时，函数，显然此时函数为增函数，函

13、数为定义在上的增函数，不等式即为，在上恒成立，解得故答案为【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目161【解析】由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为1【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）用数学归纳法证明即可；（2）根据条件可得，然后将用，表示出来，根据是一个整数

14、，可得结果【详解】解：（1）令，则即，成等差数列，下面用数学归纳法证明数列是等差数列，假设成等差数列，其中，公差为，令，即，成等差数列，数列是等差数列；（2），若存在正整数，使得是整数，则，设，是一个整数，从而又当时，有，综上，的最小值为【点睛】本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属于难题18（1），；（2）.【解析】（1）先将曲线化为普通方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：，可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）由已知可得出射线的极坐标方程为，联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标，从而得出，由的范围可求得的取值范围.【详

15、解】（1）曲线的普通方程为，即，其极坐标方程为；曲线的极坐标方程为，即，其直角坐标方程为；（2）射线的极坐标方程为，联立，联立， 的取值范围是【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系，属于中档题.19（1）；.；（2）【解析】（1）根据题意，知，且，令和即可求出，以及运用递推关系求出的通项公式；（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.【详解】解：（1）由题可知，且，当时，则，当时，由已知可得，且，的通项公式：.（2）设，则，所以，得是首项为8，公比为4

16、的等比数列，所以数列的前项和为：，即，所以数列的前项和：.【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.20（）函数在区间上有两个零点.见解析（）见解析【解析】（）根据题意，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；（）求导，由于在区间上的极值点从小到大分别为，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.【详解】解：（），当时，在区间上单调递减，在区间上无零点；当时，在区间上单调递增，在区间上唯一零点；当时，在区间上单调递减，；在区间上唯一零点；综上可知，函数在区间上有两个零点.（），由（）知在无极值点；在有极小

17、值点，即为；在有极大值点，即为，由，即，2，以及的单调性，由函数在单调递增，得，由在单调递减，得，即，故.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.21（1）证明见解析（2）【解析】（1）分别取，的中点，连接，要证明平面，只需证明面面即可.（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.【详解】（1）证明：分别取，的中点，连接，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以，又平面，平面，所以平面，由，有，又平面，平面，所以平面，由平面，平面，所以平面平面，所以平面（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系由面，所以面的法向量可取，点，点，点，设面的法向量，所以，取，二面角的平面角为，则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.22 (I)；(II)-74【解析】(I)化简得到fx=2sin2x+12，得到周期.(II)