湖北省湖北大学2022年高三第三次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD2已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆

2、于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD3设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ）ABCD4下列结论中正确的个数是（ ）已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列；若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则；在中，“”是“”的必要不充分条件；若，则的最大值为2.A1B2C3D05若，则的值为（ ）ABCD6已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）ABCD7复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为ABCD9已知

3、等差数列的前项和为，且，则（ ）A45B42C25D3610已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11已知函数，若，则的值等于（ ）ABCD12若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为坐标原点)，则k的值为()A B C或D和二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_14已知函数

4、在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_15若点在直线上，则的值等于_ .16设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知均为正实数，函数的最小值为.证明：（1）；（2）.18（12分）已知两数（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，若恒成立，求的最大值19（12分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，且（1）求的方程；（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值20（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，是线段的中点.（）求证：平面；（）

5、若，求直线与平面所成角的正弦值.21（12分）已知函数，.（1）若时，解不等式；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.22（10分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）当，且时，求的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.【详解】当时，则，所以，显然当时，故，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，令，解得，令，解得，考

6、虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.2D【解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.3D【解析】根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定

7、的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数，则，所以.又的图象关于直线对称可得，即，由函数的单调区间知，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.4B【解析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；【详解】解：已知函数是一次函数，若数列的通项公式为，可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故正确；若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故错误；在中，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故错误；

8、若，则，所以，当且仅当时取等号，故正确；综上可得正确的有共2个；故选：B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题5C【解析】根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有.故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力6C【解析】根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解【详解】，故选：C【点睛】本题考查正态分布的应用掌握正态曲线的性质是解题基础随机变量服从正态分布，则7B【解析】利用复数的

9、四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：，则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.8B【解析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，利用数形结合即可得到的最小值【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，当位于时，此时的斜率最小，此时故选B【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键9D【解析】由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题

10、,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.10D【解析】根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】，故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.11B【解析】由函数的奇偶性可得，【详解】其中为奇函数，也为奇函数也为奇函数故选：B【点睛】函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：奇函数奇函数=奇函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；奇函数偶函数=奇函数12C【解析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=

11、1相交于P、Q两点，且POQ=120（其中O为原点），可以发现QOx的大小，求得结果【详解】如图，直线过定点（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由对称性可知k=故选C【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13100.【解析】分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数详解：由题意得，三等品的长度在区间，和内，根据频率分布直方图可得三等品的频率为，样本中三等品的件数为.点睛：频率分布直方图的纵坐标为，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视

12、为频率时常犯的错误14【解析】先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.【详解】因为在上有两个零点，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以 ，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难. 对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.15【解析】根据题意可得，再由，即可得到结论.【详解】由题意，得，又，解得，当时，则，此时；当时，则，此时，综上，.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角

13、函数的关系，考查计算能力，属于基础题.16【解析】根据，则当时，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可.【详解】因为，又当时，即.当时，显然成立；当时，由等价于，令，当时，单调递增，当时，单调递减，则，又，得，因此的最大值为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值，再运用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到结论，注意等

14、号成立的条件.【详解】（1）由题意，则函数，又函数的最小值为，即，由柯西不等式得，当且仅当时取“=”.故.（2）由题意，利用基本不等式可得，（以上三式当且仅当时同时取“=”）由（1）知，所以，将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18（1）唯一的极大值点1，无极小值点（2）1【解析】（1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点；（2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值【详解】解：（1）定义域为，当时，令得，当所以在上单调递增，在上单调递减，所以

15、有唯一的极大值点，无极小值点（2）当时，若恒成立，则恒成立，所以恒成立，令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以所以，所以，故的最大值为1【点睛】本题考查用导数求函数极值，研究不等式恒成立问题在求极值时，由确定的不一定是极值点，还需满足在两侧的符号相反不等式恒成立深深转化为求函数的最值，这里分离参数法起关键作用19（1）（2）【解析】（1）不妨设，计算得到，根据面积得到，计算得到答案.（2）设，联立方程利用韦达定理得到，代入化简计算得到答案.【详解】（1）由题意不妨设，则，又，故的方程为（2）设，则，设直线的方程为，联立整理得在上，上式可化为，【点睛】本题考查了椭圆方程，定值

16、问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20（）证明见详解；（）.【解析】（）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【详解】（）取的中点，连接，.如下图所示：因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，所以，.所以，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.21（1）（2）【解析】（1）零点分段法，分，讨论即可；（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.【详解】解：（1）若时，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，当时，原不等式可化为，解得，所以，综上述：不等式的解集为；（2）当时，由得，即，故得，又由题意知：，即，故的范围为.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考