上海长宁区2019届高三一模数学卷版附详细答案

1、2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷一.填空题(本大题共有 12题，？茜分54分，第16题每题4分，第712题每题5分)考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合 A = ”2,3,4, b= 2,4,6,则 AUB=x -12,已知 =3,则x =6 f 1、.二项式 x+- I的展开式中，常数项为 (结果用数值表不).I X).已知向量a = (3,m),b =(1,2),若向量all b,则实数 m=.若圆锥的侧面面积为2n，底面面积为n ,则该圆锥的体积为 26.已知哥函数f (x) = x的图像过点(2,三)，则f (x)的定义域为27,已知角 a n 1,且 ta

2、na = _2 ,贝U sin(n a )= 2 J.已知函数f(x)=logax和g(x) =k(x 2)的图像如右图所示，则不等式 上 之0的解集是 g(x).如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶.线段 AB的长度为600 m ,在A处测得/DAB =30，在B处测彳导/DBA = 105,且此时看楼顶D的仰角ZDBC =30。已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD =m (精确到1 m).若甲、乙两位同学随机地从 6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有 1门相同的概率 为.11已知数列n的前n项和为且前+=，若数歹0收敛于常数A,则首项a1 取值的集合

3、为.高三数学试卷共4页第1页.已知ai,a2,a3与Mh是6个不同的实数，若方程|x a1 | + | x a? | +1 x a31=| x 4 | + | x d | + | x |的解集 A是有限集，则集合A中最多有 个元素.二.选择题(本大题共有 4题，？分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.已知 xw R ,则 “ x 之0 ” 是 “ x3 ” 的().(A )充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件.有一批种子，对于1颗种子来说，它可能 1天发芽，也可能2天发芽，.下表是不同发芽天数

4、的种子数的记录:发芽天数1234567至8种子数826222412420 TOC o 1-5 h z 统计每个种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是().(A) 2(B) 3(C) 3.5(D) 415,已知向量a和b的夹角为一，且a =2 , b =3 ,则(2a b )a +2b )=().3(A) -10(B) -7(C) -4(D) -1 16.某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题:已知函数y = f (x)的定义域为D , %*2 w D .若当f (x1)+ f (x2)= 0时，都有xI+x2=0,则函数y = f (x)是D上的奇函数.若当f(x)f

5、(x2)时，都有xx2,则函数y = f (x)是D上的增函数.下列判断正确的是().(A)和都是真命题(B)是真命题，是假命题(C)和都是假命题(D)是假命题，是真命题三、解答题(本大题共有 5题，？t分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤.17 .(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 求下列不等式的解集：(1) 2x-30.高三数学试卷共4页第2页18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个 面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需.首届中国国际进口博览会的某展馆棚

6、顶一角的钢结构 可以抽象为空间图形阳马，如图所示.在阳马 P-ABCD中，PD _L底面ABCD.(1)已知AD =CD = 4m,斜梁PB与底面ABCD所成角为15、求立柱PD的长(精 确到 0.01 m);(2)证明：四面体 PDBC为鳖月需.19 .(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知AABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,复数z1 =a + bi ,Z2 =cosA+icosB (其中i是虚数单位)，且乙 4=3.(1)求证：acosB+ bcosA = c ,并求边长c的值；(2)判断AABC的形状，并求当b = J3时，角A的大小.20 .(

7、本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)2 .一 一. 二.已知函数 f(x)=-x +mx + 1 , g(x) =2sin(ox+一).6(1)若函数y= f(x)+2x为偶函数，求实数 m的值；高三数学试卷共4页第3页2 (2)若80, g(x )Eg(J),且函数g(x)在0,上单倜，求实数 的值； 32(3)令8=1,若当 w 1,2时，总有X2 0,n，使得g(X2)= f (xi),求实数m取值 范围.21 .(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列an的前n项和为Sn ,且a1 =1, a2 = a .(1)

8、若数列 Q是等差数列，且 %=15,求实数a的值；(2)若数列 Q满足an& - an =2 (nW N*),且S19 =1940,求证：数列 Q是等差数 列；(3)设数列是等比数列.试探究当正实数a满足什么条件时，数列an具有如下性质M：对于任意的n之2(nw N )，都存在m N，使得数列(Sm & X Sm - an书) 0 .写 出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合.2018学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准.填空题(本大题共有12题，？茜分54分，第1 6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 123,4,62. 13.

9、 204. -63 .“、5. -6. （0,二）2 57.59. 21210.一2038. 1,2）3二.选择题(本大题共有4题，？t分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.BB15. D高三数学试卷共4页第4页16. C三、解答题（本大题共有 5题，？t分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤.17 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） TOC o 1-5 h z 解：（1）由 |2x3|5 得52x35, 4分解得1x0 , 4分因为2、+20,所以2x6, 5分解得 xlog6. 7分所

10、以原不等式的解集是 （log26,z）. 8分 18 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱PD _L底面ABCD ,则侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB ,所以/PBD就是侧棱PB与底面ABCD所成的角，即/PBD=15K2分 TOC o 1-5 h z 在 APDB 中，/PDB =901DB = JAD2+CD2 =472 (m) ,3分PD rPD由 tan. PBD得 tan15 =产,解得 PD = 1.52 (m).DB4.2所以立柱PD的长约为1.52 m.6 分（2）由题意知底面 ABCD是长方形，所以ABCD是直角三角形. 2分因为侧棱

11、PD _L底面ABCD ,得 PD _ DC, PD _ DB,PD _ BC ,所以APDC、APDB是直角三角形. 4分因为 BC _L DC , BC _L PD ,又 PD 仆 DC = D , DC ,PD 当平面 PDC ,所以BC_L平面PDC. 6分又因为PC号平面PDC，所以BC _L PC ,所以APBC为直角三角形.7分由鳖月需的定义知，四面体 PDBC为鳖月需. 8分 19 .（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）高三数学试卷共4页第5页(1)证明：由余弦定理得cosB =-22. 2+ c -b “,cosA =2ac,222b +c -a2bc TO

12、C o 1-5 h z 22, 2, 222I a a+c-b , b+c-a 贝 U a cos B +b cos A =a+ b2ac2bc2 ,2. 2. 2 ,222c2ca +c -b ,b +c -a + =c所以 acosB +bcosA = c .由题意得(a+bi)cos A + icosB) =3i ,即(acosA-bcosB) + (acosB +bco*)i =3i ,由复数相等的定义可得 TOC o 1-5 h z acosA- bcosB = 0, H acosB+bcosA = 3 , 5分即 c=3. 6分(2)由(1)得 acosA - bcosB = 0.

13、 1 分由正弦定理得 sin A cos A -sin B cosB = 0 , 即 sin 2A =sin 2B . 2 分因为 Aw (0户)、所以2A =2B 或2A +2B =兀，即A=B或A + B =，即A = B或C=三. 22所以 AABC知等腰三角形或直角三角形. 4分-当 A = B 时，cos A =,所以 A = 一 ； 6 分b26当C=土时，cosA = -=,所以 A = arccos .8分2c 3320 .(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：(1)设 h(x)=f(x )+2x ,贝U h(x )= -x? + (m +

14、 2 )x +1由于h(x墀偶函数，所以对任意 x- R , h(-x)=h(x)成立.2分即(x)2 + (m +2)(x) +1 = -x2 + (m +2)x +1 恒成立.即2(m+2)x =0恒成立，3 分所以m+2 =0,解得m = -2.所以所求实数 m的值是 m = -2 .4 分高三数学试卷共4页第6页(2)由 g(x) 0 ),266 26因为y=sinx在区间2,2的单调递增，22所以工，再由题设得0切5分，1所以0=. 6分2(3)设函数f(x粒11,2上的值域为A, g(x )在10,冗上的值域为B,由题意和子集的定义，得 A1B. 2分,_当 x = 0,n时，x+

15、 , , g(x)w1,2. 3 分66 6所以当xwh,2时，不等式1 Wx2+mx+1 E2恒成立，,1 .一 L 一由m Wx+ ,xu 1,2】恒成立，得 m 2 ,x2由m之x,x=1,2】恒成立，得m之1, x TOC o 1-5 h z 综上，实数 m的取值范围为1,2】. 6分其它做法，对应给分。21 .(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：(1)设等差数列an的公差为d.由21=1, a8 =15得1+7d =15,解得d=2.2 分则得 a2 =a+d =1+2 =3 ,所以 a =3 . 4分10 99 8(2)由 S19 =19al

16、0,得 10 父1 +x2 + 9a+-2=19M(a+8), 解得a=2, 2分由 an 七-an = 2 ,且 a1 = 1, a2 = 2 ,得, n -1当n为前数时，an = a1 +乂2=门；2n - 2当n为偶数时， an = a2 +M2 = n. 4分2所以对任思n = N ,都有an = n，当n之2时，an - an7=1 ,高三数学试卷共4页第7页 TOC o 1-5 h z 所以数列an是以1为首项、1为公差的等差数列. 6分其它解法，对应给分。(3)由题意 an =anJL, 1 分当 0 a 1 时，a3 a2 0 , 2分因此数列不具有性质 M . 3分当 a

17、=1 时，% =1 , 0 = n ,所以对任意 m- N* ,都有(S -a2(Sm-a3 )=(m-1)2 0, 因此数列 QJ不具有性质 M . 4分当 1a0u a(2a)au loga12-a2-aa _ 1n orn logau -a u Sn an4F,- aa - 1An Aa 1n cn logau a u S 2+-aa -1取Loga 1 1=no( Ifx表示不小于x的最小整数)，则Sn0之为由，SO, 即对于任意me N* , 6Tl都不在区间(a*an0+)内， TOC o 1-5 h z 所以数列不具有性质M . 6分an -1 n (2-a )an -1 口当 a 之 2 时， S -a- =-a = an,a -1a-1即对任意的n 2 (n-N*),都有(4 aSm %书)1时，a单调递增，.单调递增，且n主2时，Sn an.若对彳E意n 2 （nw N ）,者B存在me N，使得（Sm 4工0 小书） 0,即存在Sm在 区间（an,an书）内.观察（a2，a3）, da）,， TOC o 1-5 h z 发现在（%,为书）内的Sm只能是S . 5分证明：在n _1