用含绝对值不等式的解法

1、2.4含绝对值不等式复 习 回 顾：2. 绝对值的意义：1. 不等式的性质：202202220202220202022220202022220202 问：为什么要加上a0这个条件呢？如果a0呢？a=0呢？题型一结 论：结 论：结 论：结 论：结 论：例题分析例1题型二题型二例2类形去掉绝对值符号后解的含义区别|ax+b|ccax+bcx|ax+bcax+bcx|ax+bc【典例训练】1.不等式2x-32的解集是_.2.不等式x2+3x-810的解集是_.【解析】1.由2x-32得2x-32或2x-3-2,解得x 或 x ,故原不等式的解集是xx 或x . 答案：xx 或x 2.原不等式等价于-

2、10 x2+3x-810,即 原不等式的解集是(-6,-2)(-1,3) 答案：(-6,-2)(-1,3)【变式1】若把题1中不等式的左边改为 2呢？【解析】原不等式等价于 答案：【变式2】解不等式2x-24.【解析】原不等式等价于 -2x0或4x6.原不等式的解集为x-2x0或4x6.【典例训练】1.解不等式|x+1|+|x-1|3；【解析】1.方法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,（1）A,B两点间的距离为2,因此区间-1,1上的数都不是不等式的解.（2）设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.所以-1-x+1-x=3,得x=- .（3）同理设B

3、点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x,所以x-1+x-(-1)=3.所以x= .从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是(-,- ,+).【方法二】（1）当x-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)3, 解得x- .（2）当-1x1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)3,即23.不成立,无解.（3）当x1时,原不等式可以化为x+1+x-13.所以x .综上,可知原不等式的解集为x|x- 或x 方法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30.构造函数y

4、=|x+1|+|x-1|-3,即 -2x-3， x-1,y= -1， -1x1, 2x-3， x1.作出函数的图象(如图). 函数的零点是- , ,从图象可知当x- 或x 时,y0.即|x+1|+|x-1|-30.所以原不等式的解集为(-,- ,+).【典例训练】1.不等式2x-33x+1的解集是_.2.解关于x的不等式logaax2logax+2. (一)形如|f(x)|a(aR)型不等式 解法：等价转化法， 当a0时，|f(x)|a-af(x)af(x)a或f(x)-a. 当a=0时，|f(x)|af(x)0. 当a0时，|f(x)|af(x)有意义.常见题型解法归类 (二)|x-a|+|

5、x-b|c和|x-a|+|x-b|c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解.(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段讨论”求解.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解.(三)形如|f(x)|g(x)型不等式 解法:等价转化法，即 |f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x) (其中g(x)可正也可负). 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂.(四)形如a|f(x)|a0)型不等式 解法：等价转化法，即 a|f(x)|b(0ab)af(x)b或-bf(x)-a.(五)形如|f(x)|f(x)型不等式 解法：绝对值

6、的定义，即 |f(x)|f(x)f(x)0.【熟能生巧】1.解不等式|x|+|x-3|5.方法一几何意义：是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围,结合数轴易得出-1x4,所以原不等式的解集为-1,4.方法二:原不等式|x|+|x-3|5可等价转化为 或 或解不等式组得-1x4.所以原不等式的解集为x|-1x4.【思考】求解此类不等式的关键是什么？提示：关键是理解绝对值的几何意义.【变式训练】解不等式：3x-5-x+24.【解析】（1）当x-2时，不等式可化为5-3x+x+24,解得x ,与x-2矛盾；（2）当-2x 时，不等式可化为5-3x-x-24,解得x- ,故- x 为不等式的

7、解集；（3）当 x时，不等式可化为3x-5-x-24,解得x ,故 x 也为不等式的解集.综上，原不等式的解集为x- x .【解析】1.解题流程.答案：( ，+)审题转化|2x-3|0,原不等式转化为-(3x+1)2x-3g(x)的求解方法:()根据实数的绝对值的意义分类讨论，即|a|= ；a (a0)-a (a0)()根据公式:|x|a-ax0)；f(x)g(x)-g(x)f(x)axa或xg(x)f(x)g(x)或f(x)0. (1)当a=1时，求不等式f(x)3x+2的解集； (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1，求a的值.【解析】1.若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设

8、条件.若a1,则f(x)= -2x+a+1, xa 1-a, ax1,则f(x)= -2x+a+1,x1 a-1, 1x0,所以不等式组的解集为x|x .由题设可得 =-1,故a=2. 【易错误区】绝对值不等式变形不等价致误 【典例】不等式x+2-2x-11的解集是_.【解题指导】()()()无解，()的解集为0 x ,()的解集为 x2.综上(),(),()取并集，得原不等式的解集为0，2.答案：0，2【解析】原不等式等价于 ()【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：(此处的见解析过程)【即时训练】函数f(x)=2x+1-x-4的最小值是_.【解析】令y=2x

9、+1-x-4,则 -x-5,x- ,y= 3x-3,- x4, x+5,x4.在一个坐标系中分别画出以上分段函数，由图象可知，当x=- 时，y=2x+1-x-4取得最小值 .答案：1.若集合M=xx|2,N=xx2-3x=0，则MN=( )(A)3 (B)0(C)0,2 (D)0,3【解析】选B.M=x-2x2,N=0,3,MN=0.2.不等式|2x-log2x|2x|+|log2x|的解为( )(A)1x2 (B)0 x1 (D)x2【解析】选C.由|a-b|a|+|b|,其中等号成立的条件为：ab0,原不等式成立，即2xlog2x0,x1.3. 0的解集为( )(A)xx 或x- (B)x- x 或x0且x-3,