福建省罗源县2022年高三第二次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ）AB2C1D32的图象如图所示，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（ ）ABCD3若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D

2、第四象限4我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）ABCD5正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD6函数在的图像大致为ABCD7已知正四面体外接球的体积为，则这个四面体的表面积为（ ）ABCD8复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限9设，其中a，b是实数，则（ ）A1B2CD10已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A1B2C3D411已知，则的

3、大小关系为ABCD12已知函数满足=1，则等于（ ）A-BC-D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，则球的体积为_14函数的定义域为_15某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位，当它的底面半径和高的比值为_.时，可使得所用材料最省.16设，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围18（12分）已知函数.（1）求证：当时，；（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.19（12分）已知分别是内角的对边

4、，满足（1）求内角的大小（2）已知，设点是外一点，且，求平面四边形面积的最大值.20（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力

5、与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87922（10分）在ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共

6、60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【解析】根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.【详解】解：由已知得，经检验满足题意.，.由得；由得或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增.则，由于，所以在区间上的最大值为2.故选：B.【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题2B【解析】根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，则，取，则，可得，当时，.故选：B.

7、【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.3B【解析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.【详解】，则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.4B【解析】先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结

8、果，故概率.故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.5D【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键6B【解析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排

9、除选项C又排除选项D；，排除选项A，故选B【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查7B【解析】设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则，得因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有， 而正四面体ABCD的每条棱长均为

10、正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD的棱长为，因此，这个正四面体的表面积为故选：B【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题8D【解析】由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标得结论【详解】，对应点为，在第四象限故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义掌握复数的运算法则是解题关键9D【解析】根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.【详解】由题可知：，即，所以则故选：D【点睛】本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.10D【解析】先

11、用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.11D【解析】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，即，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指

12、数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确12C【解析】设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.【详解】解：设的最小正周期为，因为，所以，所以，所以，又，所以当时，因为，整理得，因为，则所以.故选：C.【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.【详解】解：因为，为正三角形，所以，因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以它

13、的外接球就是棱长为的正方体的外接球，因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，所以球的体积为故答案为：【点睛】此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.14【解析】根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则 ,即.则定义域为: .故答案为: 【点睛】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.15【解析】设圆柱的高为，底面半径为，根据容积为个立方单位可得，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值【详解】设圆柱的高为，底面半径为.该圆柱形的如罐的容积为个立方单位，即.该圆柱形

14、的表面积为.令，则.令，得；令，得.在上单调递减，在上单调递增.当时，取得最小值，即材料最省，此时.故答案为：.【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题16121【解析】在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令，得，令，得，两式相加，得，所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 () .().【解析】()时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式的解集即可；()不等式

15、的解集为，等价于，求出在的最小值即可【详解】()当时，时，不等式化为，解得，即时,不等式化为，不等式恒成立，即时,不等式化为，解得，即综上所述，不等式的解集为()不等式的解集为 对任意恒成立当时，取得最小值为实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型18（1）见解析；（2）【解析】（1）不等式等价于，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【详解】（1）设，则，当时，由，所以在上是减函数，所以，故.因

16、为，所以，所以当时，.（2）由（1）当时，；任意，存在和使成立，所以在上有两个不同零点，且，（1）当时，在上为减函数，不合题意；（2）当时，由题意知在上不单调，所以，即，当时，时，所以在上递减，在上递增，所以，解得，因为，所以成立，下面证明存在，使得，取，先证明，即证，令，则在时恒成立，所以成立，因为，所以时命题成立.因为，所以.故实数的最小值为.【点睛】本题考查导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.19（1）（2）【解析】（1）首先利用诱导公式及两

17、角和的余弦公式得到，再由同角三角三角的基本关系得到，即可求出角；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理可得：，则，得到，再利用辅助角公式化简，最后由正弦函数的性质求得最大值；【详解】解：（1）由，；（2）由（1）知，是正三角形，设，由余弦定理得：，所以当时有最大值【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换公式的应用，三角形面积公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题.20（1）见解析；（2）【解析】（1）取中点，中点，连接，.设交于，则为的中点，连接.通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）取

18、中点，中点，连接，.设交于，则为的中点，连接.设，则，.由已知，平面，.，平面，平面，平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，设平面的法向量为，令得.设平面的法向量为，令得，二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析【解析】（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；（2）由题中数据计算的值，对照临界值表可得答案；（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.【详解】解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5.0以上的频率为0.18，故全年级视力在5.0以上的的人数约为人（2），因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.（3）调查的100